中考数学总复习训练 三角形的基础知识解析版.docx
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中考数学总复习训练三角形的基础知识解析版
三角形的基础知识
一、典例解析
1.如图,点B、C、D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°,如果∠ECD=36°,那么∠A= .
2.已知a、b、c为三个正整数,如果a+b+c=12,那么以a、b、c为边能组成的三角形是:
①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上符合条件的正确结论是 .(只填序号)
3.如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于 度.
4.如图,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=36°,∠C=76°,则∠DAF= 度.
5.如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 cm.
7.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若∠BAC=70°,则∠BAD= °.
8.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= .
9.用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 个正三角形.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,则BC= cm.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为 .
12.如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= °.
13.一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,则这个三角形的周长为 .
14.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 .
15.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46°,∠1=52°,则∠2= 度.
16.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是 .
17.如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,∠An的度数为 .
二、选择题
18.若三角形的三边长分别为3,4,x﹣1,则x的取值范围是( )
A.0<x<8B.2<x<8C.0<x<6D.2<x<6
19.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于( )
A.315°B.270°C.180°D.135°
20.画△ABC中BC边上的高,下列画法中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
21.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A.2008B.2009C.2010D.2011
22.为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方,政府又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖,其中不能进行平面镶嵌的是( )
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
23.如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A、B两点在网格格点上,若点C也在网格格点上,以A、B、C为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C个数是( )
A.2B.3C.4D.5
24.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16B.18C.20D.16或20
25.如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为( )
A.100°B.90°C.80°D.70°
26.一个三角形三个内角的度数之比为2:
3:
7,这个三角形一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
27.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A.中线B.角平分线C.高D.中位线
28.如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为( )
A.120°B.180°C.240°D.300°
29.已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数为( )
A.45°B.75°
C.45°或15°或75°D.60°
30.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是( )
A.25°B.30°C.35°D.40°
31.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°B.45°C.50°D.55°
32.如图,已知:
∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
A.6B.12C.32D.64
33.不一定在三角形内部的线段是( )
A.三角形的角平分线B.三角形的中线
C.三角形的高D.三角形的中位线
34.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是( )
A.2B.3C.4D.8
35.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
36.如图,a∥b,∠1=65°,∠2=140°,则∠3=( )
A.100°B.105°C.110°D.115°
37.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.6B.7C.8D.9
38.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是( )
A.20°B.50°C.60°D.80°
三、解答题
39.如图,如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A,B落在四边形EFCD内,试探究∠A+∠B与∠1+∠2之间存在着怎样的数量关系,证明你的结论.
40.已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法:
方法1:
直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.
方法2:
补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.
方法3:
分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
现给出三点坐标A(﹣1,4),B(2,2),C(4,﹣1),请你选择一种方法计算△ABC的面积,你的答案是S= .
41.附加题:
如图,网格小正方形的边长都为1.在△ABC中,试画出三边的中线(顶点与对边中点连接的线段),然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系,你发现了什么有趣的结论?
请说明理由.
42.(6分)如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.
求证:
AB=AC.
三角形的基础知识
参考答案与试题解析
一、典例解析
1.如图,点B、C、D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°,如果∠ECD=36°,那么∠A= 54° .
【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.
【分析】由∠ACB=90°,∠ECD=36°,求得∠ACE的度数,又由CE∥AB,即可求得∠A的度数.
【解答】解:
∵∠ECD=36°,∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACE=∠ACD﹣∠ECD=90°﹣36°=54°,
∵CE∥AB,
∴∠A=∠ACE=54°.
故答案为:
54°.
【点评】此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.
2.已知a、b、c为三个正整数,如果a+b+c=12,那么以a、b、c为边能组成的三角形是:
①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上符合条件的正确结论是 ①②③ .(只填序号)
【考点】等腰三角形的判定;等边三角形的判定;勾股定理的逆定理.
【专题】压轴题.
【分析】根据a、b、c是三个正整数,且a+b+c=12,分情况讨论得出.
【解答】解:
因为a、b、c是三个正整数,且a+b+c=12,
因此所有a、b、c可能出现的情况如下:
①2,5,5②3,4,5,③4,4,4,
分别是:
①等腰三角形;②直角三角形;③等边三角形.
故符合条件的正确结论是①②③.
【点评】本题综合考查了学生分类讨论的能力和特殊三角形的判定方法.
3.如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于 50 度.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【专题】压轴题.
【分析】根据折叠的性质可知.
【解答】解:
连接AA′,
易得AD=A′D,AE=A′E;
故∠1+∠2=2(∠DAA′+∠EAA′)=2∠A=100°;
故∠A=50°.
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决此类问题,应结合题意,最好实际操作图形的折叠,易于找到图形间的关系.
4.如图,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=36°,∠C=76°,则∠DAF= 20 度.
【考点】三角形内角和定理;角平分线的定义.
【分析】根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答.
【解答】解:
∵∠B=36°,∠C=76°,
∴∠BAC=180﹣∠B﹣∠C=180°﹣76°﹣36°=68°,
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=68°×
=34°,
在Rt△AFC中,∠FAC=90﹣∠C=90°﹣76°=14°,
于是∠DAF=34°﹣14°=20°.
【点评】主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理.
5.如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 5 cm.
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定,求得△DBP和△ECP为等腰三角形,由等腰三角形的性质得BD=PD,CE=PE,那么△PDE的周长就转化为BC边的长,即为5cm.
【解答】解:
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
∵PD∥AB,PE∥AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,
∴BD=PD,CE=PE,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm.
故答案为:
5.
【点评】此题主要考查了平行线的判定,角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点.本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长.
7.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若∠BAC=70°,则∠BAD= 35 °.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】先根据△ABC中,AB=AC,AD⊥BC可知AD是∠BAC的平分线,由角平分线的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=
∠BAC=
×70°=35°.
故答案为:
35.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键.
8.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= 40° .
【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数,再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数,再由三角形内角和定理解答即可.
【解答】解:
∵AB=AD,∠BAD=20°,
∴∠B=
=
=80°,
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°,
∵AD=DC,
∴∠C=
=
=40°.
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质,属较简单题目.
9.用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 4 个正三角形.
【考点】等边三角形的性质.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】先在平面内摆出一个正三角形,然后再在空间又可以搭出三个等边三角形.
【解答】解:
用6根火柴棒搭成正四面体,四个面都是正三角形.
故答案为:
4.
【点评】本题考查的是等边三角形的性质,解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平面图形.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,则BC= 3 cm.
【考点】含30度角的直角三角形.
【分析】根据含30度角的直角三角形性质得出BC=
AB,代入求出即可.
【解答】
解:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,
∴BC=
AB=3cm,
故答案为:
3.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用,关键是得出BC=
AB.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为 36° .
【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出∠ABE,最后根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE代入数据进行计算即可得解.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=
(180°﹣∠A)=
×(180°﹣36°)=72°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°.
故答案为:
36°.
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形的两底角相等的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
12.如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 66.5 °.
【考点】三角形内角和定理.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CAE+∠ACE,再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
【解答】解:
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
∴∠CAE+∠ACE=
(∠B+∠ACB)+
(∠B+∠BAC),
=
(∠BAC+∠B+∠ACB+∠B),
=
(180°+47°),
=113.5°,
在△ACE中,∠AEC=180°﹣(∠CAE+∠ACE),
=180°﹣113.5°,
=66.5°.
故答案为:
66.5.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,整体思想的利用是解题的关键.
13.一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,则这个三角形的周长为 20cm .
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分:
(1)当等腰三角形的腰为4cm;
(2)当等腰三角形的腰为8cm;两种情况讨论,从而得到其周长.
【解答】解:
(1)当等腰三角形的腰为4cm,底为8cm时,不能构成三角形.
(2)当等腰三角形的腰为8cm,底为4cm时,能构成三角形,周长为4+8+8=20cm.
故这个等腰三角形的周长是20cm.
故答案为:
20cm.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
14.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 6,4或5,5 .
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】此题分为两种情况:
6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边.然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形.
【解答】解:
当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理,
故该等腰三角形的另两边为:
6,4或5,5.
故答案为:
6,4或5,5.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,应从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法,难度适中.
15.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46°,∠1=52°,则∠2= 98 度.
【考点】平行线的性质;三角形的外角性质.
【专题】探究型.
【分析】先根据三角形的外角性质求出∠DEC的度数,再根据平行线的性质得出结论即可.
【解答】解:
∵∠DEC是△ADE的外角,∠A=46°,∠1=52°,
∴∠DEC=∠A+∠1=46°+52°=98°,
∵DE∥BC,
∴∠2=∠DEC=98°.
故答案为:
98.
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形的外角性质,用到的知识点为:
两直线平行,内错角相等.
16.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是 50° .
【考点】翻折变换(折叠问题);线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°,以及∠OBC=∠OCB=40°,再利用翻折变换的性质得出EO=EC,∠CEF=∠FEO,进而求出即可.
【解答】解:
连接BO,
∵∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,
∴∠OAB=∠ABO=25°,
∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∴∠OBC=65°﹣25°=40°,
∵
,
∴△ABO≌△ACO,
∴BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB=40°,
∵点C沿EF折叠后与点O重合,
∴EO=EC,∠CEF=∠FEO,
∴∠CEF=∠FEO=
=50°,
故答案为:
50°.
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识,利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键.
17.如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,∠An的度数为
.
【考点】等腰三角形的性质;三角形的外角性质.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律即可得出∠An的度数.
【解答】解:
∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,
∴∠BA1A=
=
=80°,
∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,
∴∠CA2A1=
=
=40°;
同理可得,
∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,
∴∠An=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.
二、选择题
18.若三角形的三边长分别为3,4,x﹣1,则x的取值范围是( )
A.0<x<8B.2<x<8C.0<x<6D.2<x<6
【考点】三角形三边关系.
【分析】三角形的三边关系是:
任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边.已知两边时,第三边的范围是>两边的差,<两边的和.这样就可以确定x的范围,从而确定x的值.
【解答】解:
依据三角形三边之间的大小关系,列出不等式组
,解得2<x<8.
故选B.
【点评】考查了三角形的三边关系,能够熟练解不等式组.
19.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于( )
A.315°B.270°C.180°D.135°
【考点】三角形的外角性质.
【分析】利用三角形内角与外角的关系:
三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答.
【解答】解:
∵∠1、∠2是△CDE的外角,
∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,
即∠1+∠2=2∠C+(∠3+∠4),
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°,
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系:
三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和.
20.画△ABC中BC边上的高,下列画法中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】三角形的角平分线、中线和高.
【分析】根据三角形的高的定义:
过三角形的顶点向对边作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高解答.
【解答】解:
表示△ABC中BC边上的高的是D选项.
故选D.
【点评】本题考查了三角形的高线,是基础题,熟记概念是解题的关键.
21.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A.2008B.2009C.2010D.2011
【考点】平面镶嵌(密铺).
【专题】压轴题;规律型.
【分析】根据图象显示的规律找到,1个三角形,2个三角形,3个三角形组成的周长,得到规律为第n个三角形的周长为3+(n﹣1),所以可求得2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长.
【解答】解:
由图中可知:
1个三角形组成的图形的周长是3;
2个三角形组成的图形的周长是3+1=4;
3个三角形组成的图形的周长是3+2=5;
…
那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010.
故选C.
【点评】本题需注意要以第一图为基数来找规律.
22.为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方,政府又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖,其中不能进行平面镶嵌的是( )
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
【考点】平面镶嵌(密铺).
【分析】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.
【解答】解:
A、正三角形的每个内角是60°,能整除360°,能密铺;
B、正方形的每个内角是90°,4个能密铺;
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°,不能整除360°,不能密铺;
D、正六边形的每个内角是120°,能整除360°,能密铺.
故选C.
【点评】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况,体现了学数学用数学的思想.由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形.
23.如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A、B两点在网格格点上,若点C也在网格格点上,以A
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