222函数的奇偶性准高一新授课教案.docx
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222函数的奇偶性准高一新授课教案
2.2.2 函数的奇偶性
函数奇偶性的概念
【问题导思】
1.对于函数f(x)=x2,f(x)=|x|,以-x代替x.函数值发生变化吗?
其图象有何特征?
【提示】 以-x代x各自的函数值不变,即f(-x)=f(x);图象关于y轴对称.
2.对于函数f(x)=x3,f(x)=
,以-x代替x,函数值发生变化吗?
其图象有何特征?
【提示】 以-x代替x各自的函数值互为相反数,即f(-x)=-f(x);图象关于原点对称.
1.偶函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.
2.奇函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
3.奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有奇偶性.
4.奇、偶函数的图象性质
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=x2+
.
【思路探究】 首先判断函数的定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对称的情况下,判断f(x)与f(-x)之间的关系.
【自主解答】
(1)由
得x2=1,∴x=±1,
即函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
∵f(-1)=0=f
(1),
且f(-1)=-f
(1)=0,
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得
∴-2≤x≤2且x≠0,关于原点对称,
∴f(x)=
=
=
,
∵f(-x)=
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)2+
=x2+
=f(x),
∴f(x)是偶函数.
规律方法
1.判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则,如果定义域不关于原点对称,则该函数必为非奇非偶函数.
2.用定义判断函数奇偶性的步骤:
变式训练
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x-
;
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=
【解】
(1)f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)-
=-(x-
)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域为R.f(-x)=|-x+2|+|-x-2|
=|x+2|+|x-2|=f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x
=-(x2+x)=-f(x),
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x
=-(-x2+x)=-f(x),
综上所述,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
奇偶函数的图象及应用
例3 已知函数f(x)=
在区间[0,+∞)上的图象如图2-2-4所示,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,请说明你的作图依据.
图2-2-4
【思路探究】 先证明f(x)是偶函数,依据其图象关于y轴对称作图.
【自主解答】 ∵f(x)=
,∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R,都有f(-x)=
=
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
则f(x)的图象关于y轴对称,其图象如图所示:
规律方法
1.利用函数的奇偶性作用,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称,画图象时,一般先找出一些关键点的对称点,然后连点成线.
2.由于奇函数、偶函数图象的对称性,我们可以由此得到作函数图象的简便方法,如作出函数y=|x|的图象.因为该函数为偶函数,故只需作出x≥0时的图象,对x≤0时的图象,关于y轴对称即可.
变式训练
设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图2-2-5所示,则不等式f(x)<0的解集是________.
图2-2-5
【解析】 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称,用对称的思想方法画全函数f(x)在[-5,5]上的图象(如图),数形结合,得f(x)<0的解集为{x|-2 【答案】 (-2,0)∪(2,5] 利用函数的奇偶性求解析式 例3 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 【思路探究】 利用奇函数的定义可求f(0)的值,求x<0时的解析式,可利用奇函数的性质转化到x>0上求解. 【自主解答】 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0. 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-x+1=-x3-x+1. 又∵f(x)是奇函数, 则f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=-x3-x+1, 即f(x)=x3+x-1. ∴x<0时,f(x)=x3+x-1, ∴f(x)= 规律方法 1.本题在求x<0时,f(x)的解析式,用了化归的思想,即把待求x<0的范围向已知范围x>0转化. 2.如果奇函数f(x)在原点处有定义,则f(0)=0. 互动探究 把题设条件“f(x)是R上的奇函数”换成“f(x)是{x|x≠0}上的偶函数”,求相应问题. 【解】 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-x+1=-x3-x+1. 又∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴f(x)=-x3-x+1. ∴f(x)的解析式为: f(x)= 易错易误辨析 不理解单调性与奇偶性的关系致误 典例 已知f(x)是R上的偶函数,在区间(0,+∞)上是增函数,若有f(-2a+3)>f(2a-1)成立,求实数a的取值范围. 【错解】 由f(-2a+3)>f(2a-1)成立, 得-2a+3>2a-1, 解得a<1. 所以实数a的取值范围为(-∞,1). 【错因分析】 错解中虽然结论正确,但过程错误,题中忽略了函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数这一条件,由于无法确定-2a+3与2a-1的正负,因此需要根据函数的奇偶性,结合单调性的特征,以及函数图象自身的性质对变量加以判断,从而正确地求出参数的取值范围. 【防范措施】 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,在利用f(x1)与f(x2)的大小关系推出x1与x2的关系时,必须要注意x1与x2是否属于同一个单调区间,若不属于同一个单调区间,需要利用奇偶性进行必要的转化,我们在解题中一定不要忽略这一点. 【正解】 由于f(x)是偶函数,在区间(0,+∞)上是增函数, 那么其图象关于y轴对称,且在区间(-∞,0)上是减函数. 由于f(-2a+3)>f(2a-1)成立, 根据其图象性质可知|-2a+3|>|2a-1|. 两边平方得(-2a+3)2<(2a-1)2, 整理得: 8>8a,解a<1, 所以实数a的取值范围为(-∞,1). 课堂小结 1.利用奇偶函数图象的对称性,我们可以作出函数的大致图象,然后观察图象得出结论. 2.已知奇偶函数在某个区间上的解析式,我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式.要注意“求谁设谁”. 3.解含“f”的不等式,应具备两个方面: 一是能转化为f(x1) 课堂练习 1.函数y=f(x)在区间[2a-3,a]上具有奇偶性,则a=________. 【解析】 由题意知,区间[2a-3,a]关于原点对称, ∴2a-3=-a,∴a=1. 【答案】 1 2.函数f(x)= 的奇偶性为________. 【解析】 ∵x∈R,又f(-x)= = =f(x), ∴f(x)是偶函数. 【答案】 偶函数 3.(2013·抚顺高一检测)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1,则f(-2)的值为________. 【解析】 ∵当x>0时,f(x)=1,∴f (2)=1,又f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f (2)=-1. 【答案】 -1 4.(2013·常州高一检测)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图象. 【解】 (1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0; ②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 综上: f(x)= (2)图象如图: 课后巩固练习 一、填空题 1.函数f(x)=-x+ 的奇偶性是________. 【解析】 ∵f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称. 又f(-x)=x- =-f(x).故f(x)为奇函数. 【答案】 奇函数 2.(2013·黄山高一检测)已知函数f(x)=a- 为奇函数,则a=________. 【解析】 ∵函数f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0, 即a+ +a- =0, ∴2a=0,即a=0. 【答案】 0 3.若函数f(x)=x3-bx+a+2是定义在[a,b]上的奇函数,则b-a=________. 【解析】 f(x)=x3-bx+a+2是定义在[a,b]上的奇函数,有f(-x)=-f(x),即-x3+bx+a+2=-x3+bx-a-2可得 解得 所以b-a=4. 【答案】 4 4.下列说法中正确的是________. ①函数y=3x2,x∈(-2,2]是偶函数; ②函数f(x)= 是奇函数; ③函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)=x2+1是偶函数. 【解析】 ①不正确,因为定义域不关于原点对称,故①不正确; ②不正确,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2=x2≠x3且x2≠-x3,故②不正确; ③正确,∵f(-x)=-x+1≠x+1,f(-x)=-x+1≠-x-1,故f(x)=x+1是非奇非偶函数,故③正确. ④正确,∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),故④正确. 【答案】 ③④ 5. 图2-2-6 已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图2-2-6所示,那么f(x)的值域是________. 【解析】 ∵x∈(0,2]时,f(x)的值域为(2,3],由于奇函数的图象关于原点对称,故当x∈[-2,0)时,f(x)∈[-3,-2), ∴f(x)的值域为[-3,-2)∪(2,3]. 【答案】 [-3,-2)∪(2,3] 6.设函数f(x)=ax3+cx+5,已知f(-3)=3,则f(3)=________. 【解析】 设g(x)=ax3+cx,则g(x)为奇函数, ∴g(-3)=-g(3). ∵f(-3)=g(-3)+5=3, ∴g(-3)=-2,∴g(3)=2, ∴f(3)=g(3)+5=7. 【答案】 7 7.(2013·青岛高一检测)定义在R上的奇函数f(x),若当x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时f(x)=________. 【解析】 设x<0,则-x>0,又f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2·(-x)]=-x2-2x. 【答案】 -x2-2x 8.(2013·武汉高一检测)若f(x)为R上的奇函数,给出下列四个说法: ①f(x)+f(-x)=0; ②f(x)-f(-x)=2f(x); ③f(x)·f(-x)<0; ④ =-1. 其中一定正确的有________. 【解析】 由奇函数的定义可知①②一定正确,对③、④,当x=0时,有f(0)=0,③、④均不成立. 【答案】 ①② 二、解答题 9.判断函数f(x)= 的奇偶性. 【解】 该函数的定义域为R,定义域关于原点对称. 当x<-1时,-x>1, f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x); 当|x|≤1时,|-x|≤1, f(-x)=0=f(x); 当x>1时,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x). ∴对一切x∈R,都有f(-x)=f(x).因此,函数f(x)是偶函数. 10.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式. 【解】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0. 又当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x(1+x). 又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=x(1+x), ∴函数f(x)的解析式为f(x)= 11.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围. 【解】 由f(m)+f(m-1)>0,且f(x)在[-2,2]上为奇函数,得f(m)>-f(m-1), 即f(1-m) 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,由奇函数图象的对称性可知: f(x)在[-2,2]上为减函数. ∴ 即 解得-1≤m< .
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