初中经典几何证明练习题含答案.docx
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初中经典几何证明练习题含答案
初中几何证明题
经典题
(一)
1、已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF.
证明:
过点G作GH⊥AB于H,连接OE
∵EG⊥CO,EF⊥AB
∴∠EGO=90°,∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆
∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90°
∴△EGO∽△FHG
∴
=
∵GH⊥AB,CD⊥AB
∴GH∥CD
∴
∴
∵EO=CO
∴CD=GF
2、已知:
如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD=∠PDA=15°。
求证:
△PBC是正三角形.(初二)
证明:
作正三角形ADM,连接MP
∵∠MAD=60°,∠PAD=15°
∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°
∵∠BAD=90°,∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°
∴∠BAP=∠MAP
∵MA=BA,AP=AP
∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA,MP=BP
同理∠CPD=∠MPD,MP=CP
∵∠PAD=∠PDA=15°
∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75°
∵BA=CD
∴△BAP≌∠CDP
∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD
∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形
3、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
证明:
连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN,CG=DG
∴GN∥AD,GN=
AD
∴∠DEN=∠GNM
∵AM=BM,AG=CG
∴GM∥BC,GM=
BC
∴∠F=∠GMN
∵AD=BC
∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
经典题
(二)
1、已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.(初二)
证明:
(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OG⊥AD于G
∵OG⊥AF
∴AG=FG
∵
=
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD
又AD⊥BC,OM⊥BC,OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
∴OM=GD ∴AH=2OM
(2)连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC,OM⊥BC
∴∠BOM=
∠BOC=60°∴∠OBM=30°
∴BO=2OM
由
(1)知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.
求证:
AP=AQ.
证明:
作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG,PQ⊥AG
∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE
∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF
在△AEP和△AFQ中
∠AFQ=∠AEP
AF=AE
∠QAF=∠PAE
∴△AEP≌△AFQ
∴AP=AQ
∴∠AEF=∠PAF
∵∠PAF+∠QAF=180°
∴∠FCQ=∠QAF
∴F、C、A、Q四点共圆
∴∠AFQ=∠ACQ
又∠AEP=∠ACQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
证明:
作OF⊥CD于F,OG⊥BE于G,连接OP、OQ、OA、AF、AG
∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA=∠DPC
经典题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
证明:
(1)将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,
∵BP=BE,∠PBE=60°
∴△PBE是正三角形。
∴PE=PB又EF=PC
∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF的值最小(如图)
在△ABF中,∠ABP=120°∴AF=
∴L=PA+PB+PC≤
(2)过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G
则△ADG是正三角形
∴∠ADP=∠AGP,AG=DG
∵∠APD>∠AGP
∴∠APD>∠ADP
∴AD>PA…………………………①
又BD+PD>PB……………………②
CG+PG>PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG>PA+PB+PC
∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC>PA+PB+PC=L
∵AB=AC=1∴L<2
由
(1)
(2)可知:
≤L<2.
2、已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
解:
将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF,连接PE,
则△BPE是正三角形
∴PE=PB
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF
∴要使PA+PB+PC最小,则PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)
此时AF=PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
∴GF=
,BG=
∴AF=
=
=
∴PA+PB+PC的最小值是
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
证明:
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ
则△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=
PB=
×2a=2
a
又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(2
a)2+a2=9a2=PC2
∴△PQC是直角三角形
∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a×a×(-
)
解得BC=
∴正方形的边长为
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30°,∠EBA=20°,求∠BED的度数.
解:
在AB上取一点F,使∠BCF=60°,CF交BE于G,连接EF、DG
∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60°
∴△BCG是正三角形∴BG=BC
∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA
又∵∠A=∠A,AB=AC∴△ABE≌ACF ∴AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=
(180°-∠A)=80°
又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°
∴△EFG是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°
∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°
∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG
∠BGD=∠BDG=
(180°-∠ABE)=80°
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°
又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG,DE=DE∴△EFD≌△EGD
∴∠BED=∠FED=
∠FEG=
×60°=30°
5、如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD的长。
解:
∵∠ACD=∠BCD ∴
=
∴AD=BD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10
∴AD=AB·cos∠DAB=10×
=5
又AE⊥CD,∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×
=3
在△ADE中,DE2=AD2-AE2 ∴DE2=
∴DE=
∴CD=CE+DE=3
+
=
∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴
∴PC=
PD,PA=
PD ∵PC=PA+AC∴
PD=
PD+6 解得PD=
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