射击比赛最佳阵容模型.docx

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射击比赛最佳阵容模型

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）

日期：

年月日

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要

本文对男子射击比赛的组队问题的优化模型进行分析,整体采用优化思想。

首先，根据参赛项目选拔人数和参赛选手成绩等诸多限制因素建立约束条件；再根据题目问题和约束条件可建立关于目标函数的0-1模型。

然后，针对不同问题，分别运用

整数规划模型及概率统计理论建立出相应模型，使用Lingo、Matlab等软件编程求解，得出在不同情况下的最佳阵容的安排方式。

最后，结合最佳阵容和获奖概率等为教练撰写报告。

针对问题一：

首先运用Excel软件对附件数据进行处理得出每个队员各单项得分最低情况和期望值。

其次，根据约束条件建立0-1规划模型。

再应用Lingo数学软件对模型求解，找出相应的最佳阵容，把每个选手的各单项得分按最悲观估算，得出最佳出场阵容团队见表5.2；最佳出场阵容团队得分为314.9分。

针对问题二：

首先，将参赛选手各项得分由最低值改为最高值，利用第一问所得出的约束条件，建立求解模型，并运用Lingo求解，得出运动员在得分取均值的情况下的最佳出场阵容见表5.3。

此时，该队的最高总得分为：

353.8分。

其次，运用概率统计理论和正态分布知识将问题简化典型求解最优解的模型，通过计算得出方差和期望，并将其带入标准正态规划函数中求得目标函数。

由于约束条件和前两问相似，故运用lingo软件将之前程序目标函数修改后即可求出本问最佳阵容见表5.4，并得出此阵容得冠概率

，以及该阵容有95%概率可以战胜总分为331.6分的对手。

针对问题三：

基于对问题一和问题二的分析，结合在不同出场阵容的情况下的夺冠概率，对不同的最佳阵容方案做出合理性的评估，给出最终确定的最佳出场阵容。

关键词：

0-1规划概率统计正态分布最佳阵容

一问题重述

国际射击联合会组织一场由六个项目（男子

米步枪

、男子

米步枪卧射、男子

米气步枪、男子

米手枪慢射、男子

米手枪速射、男子

米气手枪）组成的男子射击团体赛和个人赛，团体赛程规定：

每个队至多允许

名运动员参赛，每一个项目可以有

名选手参加。

每个选手参赛的成绩的从高到低依次为：

10,9.9,9.8...0.每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。

此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（六项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。

每个队应有

人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。

现某国家代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在

个得分上（见赛题B附件）,他们得到这些成绩的相应的射击次数也由统计得出。

请你回答以下问题：

1.每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队设计一个出场方案，使该队团体总分尽可能高；教练想获得尽可能多第一，你还需要获悉那些资料？

请你补充数据，设计一个更合理的出场方案。

2.若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：

本次夺冠的团体总分估计为不少于346.8分，该队为了夺冠应排出怎样的方案？

以该阵容出战，其夺冠的前景如何？

它有95％的把握战胜对手？

3.请你为教练撰写500字的报告。

二问题分析

本论文所讨论的是一个关于最佳阵容的问题。

最佳阵容问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题。

本案例的主要矛盾是队员已有成绩的限制和参赛时的要求与获得团队参赛最高分的矛盾。

对本案例处理的难点是参赛时的要求，参赛队员的4个成绩稳定值与相应概率的限制等诸多因素，针对各目标问题分别建立模型。

按照上述思路提出目标函数，要建立各个约束条件，要找到众多变量之间的数量关系。

因而，对约束条件和问题做出分析都是解决问题的关键。

由于队员的安排不可能为小数，所以最佳阵容问题属于整数规划中的0-1规划问题。

首先对问题所给条件进行分析。

此比赛共有

个项目，每个参赛队至多有10名运动员参赛，也就是说参赛人数

，同时每个项目可以有6名选手参加，由于每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者，所以每个队的教练在每个项目中都会派出6名运动员参赛。

此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类中的一类；每个队应有5人参加全能比赛，也就是说每个队有且仅有5人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。

由题中还可知道每项各选手的评分精确到小数点后一位。

然后，对问题进行分析:

第一问

（1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，这个最悲观就是在每个参赛选手各单项最差的成绩下进行计算.第一问

（2）每个选手的各单项得分按均值估算即按每个参赛选手各单项得分的期望值作为所要求的数据进行计算。

第一问（3）教练想获得尽可能多第一，你还需要获悉那些资料？

第二问

（1）本次夺冠的团体总分估计不少于346.8分，为了夺冠应为该队排出怎样的阵容，这里我们可理解为在该队团体总分不少于346.8的情况下，为该队排出一个阵容，使该队的夺冠概率最大。

第二问

（2）中的夺冠前景即指夺冠的概率。

第二问（3）就是在求该阵容有

的把握战胜多少总分数的对手。

第三问为教练撰写500字的报告。

三模型的假设

1.各运动员在比赛中获得的各种分数的概率遵循上面表格中给定的。

2.团体总分大于346.8一定能夺冠。

3.队员的得分不受其他队员的影响。

4.每个项目有6名选手参加，有5名选手参加全能比赛。

5.运动员在比赛中能正常发挥，不会出现意外情况。

四符号说明

符号

说明

选手号

项目名

选手是否参加

项比赛

团体总分

选手参加

项比赛所获得的分数

五模型的建立与求解

5.1问题一的求解

5.1.1悲观情况下最佳阵容的确定

给出了不同的得分计算标准要我们求出团体总分最高时的阵容，因此我们给出了一个0—1阵容模型A如下：

其中

对于行：

由假设可知，A必须存在这样的4行，在这4行中的

都为1，而除这4行外的其余6行中每行都至少存在一个

为0；

对于列：

由假设可知每一列必须存在6个

为1。

因为团体总分是参与了的队员各项得分的总和，因此我们给出了得分矩阵B如下：

因为参加全能比赛的选手占用了名额，因此我们还要建立一个参加全能的选手矩阵

：

其中

且

的约束条件为：

=5

因此团体总分z就是参加全能比赛的选手的得分和参加单项比赛选手的得分，

，

（前一项求和是参加全能比赛选手的得分，后一项求和是参加单项选手的得分）

5.1.1问题一

（1）的模型建立和求解

对问题一

（1）要求每个队员的各单项得分按最悲观估算的前提下，根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况。

首先把表1经Excel软件处理得出每个队员各单项得分最低情况下的表1.1。

表5.1：

最悲观估算数据

选手

项目

男子５０米

步枪３４０

男子５０米

步枪卧射

男子１０米

气步枪

男子５０米

手枪慢射

男子２５米

手枪速射

男子１０米

气手枪

选手总成绩c

选手最佳单项成绩d

最高两项成绩之和e

1

8.4

8.4

9.1

8.7

8.4

9.1

52.1

9.1

18.2

2

9.3

8.4

8.4

8.9

8.6

8.5

52.1

9.3

18.2

3

8.4

8.1

8.4

9.5

8.8

8.7

51.9

9.5

18.3

4

8.1

8.7

9

8.4

8.7

8.6

51.5

9

17.7

5

8.4

9

8.3

9.4

8.8

8.7

52.6

9.4

18.4

6

9.4

8.7

8.5

8.4

8.5

8.4

51.9

9.4

18.1

7

9.5

8.4

8.3

8.4

8.4

8.8

51.8

9.5

18.3

8

8.4

8.8

8.7

8.2

8.4

8.8

51.3

8.8

17.6

9

8.4

8.4

8.4

9.3

8.5

8.8

51.8

9.3

18.1

10

9

8.1

8.2

9.1

8.6

8.6

51.6

9.1

18.1

综上，这个问题的目标可以写作：

约束条件：

将此模型输入LINGO编程（程序见附表程序1）得出在每个选手的各单项得分最悲观情况下的团体总分Q最高为分，此时的最佳阵容A为

表5.2悲观情形下的参赛阵容

状态

成绩

运动员参赛项目

参加男子50米

步枪3*40的选手编号

参加男子50米

步枪卧射的选手编号

参加男子10米

气步枪的选手编号

男子50米

手枪慢射的选手编号

男子25米

手枪速射的选手编号

男子10米气手枪的选手编号

全能选手

阵容的团体总分

最悲观情形

7

8

4

3

3

8

1、2、5、6、9

314.9

5.1.2均值情形的最佳阵容的确定

对问题一（要求在每个队员的各单项得分按均值估算的前提下，这里我们把均值理解为期望值。

首先用Excel软件对表1进行处理得出每个队员各单项得分的期望值情况下的表。

表5.3：

均值情形下的估算数据

成绩

项目

男子５０米

步枪３４０

男子５０米

步枪卧射

男子１０米

气步枪

男子５０米

手枪慢射

男子２５米

手枪速射

男子１０米

气手枪

选手总成绩c

选手最佳单项成绩d

选手最高两项成绩之和e

1

9.25

9.00

9.50

9.10

8.77

9.36

54.98

9.5

18.86

2

9.60

9.00

9.00

9.30

9.25

8.82

54.97

9.6

18.9

3

9.00

9.10

9.25

9.80

8.96

8.93

55.04

9.8

19.05

4

9.10

9.10

9.50

9.00

9.22

9.09

55.01

9.5

18.72

5

9.25

9.40

9.00

9.70

8.96

9.32

55.63

9.7

19.1

6

9.70

9.10

9.00

9.25

9.11

9.06

55.22

9.7

18.95

7

9.80

9.00

9.00

9.21

9.30

9.30

55.61

9.8

19.1

8

9.00

9.80

9.10

9.30

8.97

9.19

55.36

9.8

19.1

9

9.25

9.20

9.00

9.70

8.84

9.34

55.33

9.7

19.04

10

9.40

9.10

9.20

9.50

8.92

8.99

55.11

9.5

18.9

综上，这个问题的目标可以写作：

将此模型输入LINGO编程（程序见附表程序1）得出在每个选手的各单项得分均值情况下的团体总分Q最高为分，此时的最佳阵容为：

表5.4：

均值情况下的参赛阵容

成绩

运动员参赛项目

参加男子50米

步枪3*40的选手编号

参加男子50米

步枪卧射的选手编号

参加男子10米

气步枪的选手编号

男子50米

手枪慢射的选手编号

男子25米

手枪速射的选手编号

男子10米气手枪的选手编号

全能选手

阵容的团体总分

均值情形

2

8

1

3

2

1

5、6、7、9、10

334.21

5.2问题二的求解

5.2.1模型的建立

首先分析，若按以往的资料及近期的各种信息，本次夺冠的团体总分不少于346.8分，因为如果最多36个项目且全参加总分才360分，所以本次要夺冠就必须参加全部的36个项目。

要满足条件的出场阵容且夺冠，则需要团体总分不少于346.8分的概率为最大，则此问题可转化为求解：

其中

表示第

名运动员参加第

个项目的得分，

表示第

名运动员是否参加第

个项目

设团体总得分为：

则得分期望为：

其中

为第

名运动员参加第

项运动得分均值。

得分方差为：

其中

为第

名运动员参加第

项运动得分方差（见表5.2.1）

经过对问题转化发现此问题服从正态分布，其中

将非标准正态分布转化为标准正态分布

其中，

由于得分概率服从正态分布，故该队的总分不少于346.8分的概率为：

对于服从标准正态分布的随即变量

，当

时，其得分密度函数为单增函数，故求

的最大值可以转化为求

的最小值，即目标函数

的最小值。

则满足条件的优化模型为：

5.2.2问题二的求解

有95%的把握战胜怎样水平的对手

若要有95%的把握战胜对手，则应该有

服从正态分布，所以有

查询正态分布表可得

经过变形化简整理得：

只需要求出后面的最大值，即可求出

的值。

所求最优模型为：

max

5.3问题三的解决

尊敬的各位体委领导：

为迎接国际射击联合会组织的下一场射击比赛，在训练的过程中，广大射击运动员积极参与活动，在运动场上尽情的挥洒着自己的汗水。

一分耕耘，一分收获。

最终根据运动员们的模拟训练成绩，选出了10位优秀的射击运动员代表国家队出战。

在这里，我将10位运动员的具体表现情况和出战会遇到的可能情况汇报给各位领导，希望领导能够采纳我的观点。

如今，我们已经对各个参赛运动员的成绩进行了大量的测试。

其次根据射击的最佳成绩和发挥的稳定程度对选拔出10位优秀的射击运动员进行了专业的分析和评估，并以此为基础，确定出参赛的5位全能运动员。

然后，根据其他选手对于不同射击项目的擅长程度，给出最合理公平的决策。

除此之外，我们还经过绝对周密的统计和分析，分别给出最悲观，均值及最乐观情形下的出场阵容的总成绩，并对相对情形的夺冠可能性进行了计算。

虽然，在正常的情形下，我们的夺冠的希望渺茫。

但令人惊喜的是，在最乐观的情形下，我们还是有可能胜出的。

天道酬勤，我相信，在全体射击运动员的辛勤付出和正确的出战策略下，我们势必会取得喜人的成绩。

六模型的评价与推广

6.1模型的评价

6.1.1模型的优点

（1）模型原理简单明了，容易理解和灵活运用。

（2）所得结果直观，易于理解和接受。

（3）此模型得到不同要求下的最佳阵容，能够很快地解决了所提出的问题。

6.1.2模型的不足

在建立模型过程中，仅从队员自身因素考虑，而忽略了实际中外界的影响，具有一定的局限性，从而可能与实际情况存在一定的偏差。

因为平时教练所测得每位运动员每单项的结果并不一定只有表中所给的四组数，即我们按该值进行计算最后得出的结果可能存在误差。

在实际比赛中也可能由于裁判的不公平、不公正以及各个项目的评分规则存在不公平、不公正和不完善也会引起偏差。

6.2模型的推广

该模型不仅能够很好的解决运动员出场最优阵容的安排问题，还能推广到生活中许多方面.例如股票的投资,生产人员的安排，生活中我们需要不断最求最优的选择组合，该模型能方便解决许多生活中对于组合排列的选择问题。

本模型可推广到其他团队比赛选队员及资源分配等问题上，如美国职业篮球赛NBA上场队员选拔，NBA赛季最佳阵容等比赛和企业内部的管理与资源的调配等优化问题。

七参考文献

[1]《概率论与数理统计教程》峁诗松,程依明,高等教育出版社2003年

[2]《数学模型》姜启源,谢金星叶俊,高等教育出版社，2003年

[3]工程数学学报编辑委员会第22卷7期,2005年

[4]袁新生，《LINGO和Excel在数学建模中的应用》科学出版社2007年

[5]《精通Matlab6.5版》　张志涌等　北京航空航天大学出版社，2003年

[6]《概率论及数理统计》　梁之舜　邓集贤等　高等教育出版社2005年

[7]《大学数学（第二版）数学实验》　萧树铁等　高等教育出版社2006年

八附录

附录一

model:

sets:

ten/1..10/:

y;

six/1..6/;

score（ten,six）:

a,x;

endsets

max=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

@for（score（i,j）:

x（i,j）>=y（i））;

@sum（ten（i）:

y（i））=5;

@for（six（j）:

@sum（ten（i）:

x（i,j））<=6）;

@for（ten（i）:

@sum（six（j）:

（1-y（i））*x（i,j））<=3）;

@for（ten:

@bin（y））;

@for（score:

@bin（x））;

M=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

data:

a=8.48.49.18.78.49.1

9.38.48.48.98.68.5

8.48.18.49.58.88.7

8.18.798.48.78.6

8.498.39.48.88.7

9.48.78.58.48.58.4

9.58.48.38.48.48.8

8.48.88.78.28.48.8

8.48.48.49.38.58.8

98.18.29.18.68.6;

enddata

End

附录2均值

model:

sets:

ten/1..10/:

y;

six/1..6/;

score（ten,six）:

a,x;

endsets

max=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

@for（score（i,j）:

x（i,j）>=y（i））;

@sum（ten（i）:

y（i））=5;

@for（six（j）:

@sum（ten（i）:

x（i,j））<=6）;

@for（ten（i）:

@sum（six（j）:

（1-y（i））*x（i,j））<=3）;

@for（ten:

@bin（y））;

@for（score:

@bin（x））;

M=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

data:

a=9.259.009.509.108.779.36

9.609.009.009.309.258.82

9.009.109.259.808.968.93

9.109.109.509.009.229.09

9.259.409.009.708.969.32

9.709.109.009.259.119.06

9.809.009.009.219.309.30

9.009.809.109.308.979.19

9.259.209.009.708.849.34

9.409.109.209.508.928.99;

enddata

End

附录三

model:

sets:

ten/1..10/:

y;

six/1..4/;

score（ten,six）:

a,x;

endsets

[obj]max=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

@for（score（i,j）:

x（i,j）>=y（i））;

@for（four（j）:

@sum（ten（i）:

x（i,j））<=6）;

@sum（ten（i）:

y（i））=5;

@for（ten（i）:

（@sum（four（j）:

x（i,j）））*（1-y（i））<=3）;

@for（ten:

@bin（y））;

@for（score:

@bin（x））;

M=@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j））;

data:

a=9.5109.89.99.59.6

9.89.4109.69.89.3

109.59.5109.19.8

9.59.99.7109.89.6

9.59.79.39.99.39.7

9.99.99.19.59.69.7

10109.39.89.810

10109.99.89.99.9

9.59.8109.99.39.9

9.79.59.69.89.59.3;

enddata

end

问题二

model:

sets:

ten/1..10/:

y;

six/1..6/;

score（ten,six）:

a,x,D;

endsets

[obj]min=（236.2-@sum（score（i,j）:

x（i,j）*a（i,j）））/@sum（score（i,j）:

x（i,j）*D（i,j））^0.5;

@for（score（i,j）:

x（i,j）>=y（i））;

@sum（ten（i）:

y（i））=5;

@for（six（j）:

@sum（ten（i）:

x（i,j））<=6）;

@for（ten（i）:

@sum（six（j）:

（1-y（i））*x（i,j））<=3）;

@for（ten:

@bin（y））;

@for（score:

@bin（x））;