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解题方法小结
数学思想方法
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:
整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一:
整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。
例110.(2012•德州)已知
,则a+b等于( )
A.3B.
C.2D.1
运用整体思想方法解题,要有强烈的整体意识,要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征,不拘泥于常规,不着眼于问题的各个组成部分,从整体上观察,从整体上分析。
运用整体思想方法,往往能起到化繁为简,化难为易的效果。
考点二:
转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2(2012•内江)已知A(1,5),B(3,﹣1)两点,在x轴上取一点M,使AM﹣BM取得最大值时,则M的坐标为 .
考点:
一次函数综合题;三角形三边关系;关于x轴、y轴对称的点的坐标。
分析:
作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′并延长与x轴的交点,即为所求的M点.利用待定系数法求出直线AB′的解析式,然后求出其与x轴交点的坐标,即M点的坐标.
考点三:
分类讨论思想
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则:
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
例3(2012•黔东南州)我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.甲家是35人(含35人)以内的按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙家是45人(含45人)以内的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人,你应选哪家宾馆更实惠些?
考点:
一次函数的应用。
分析:
当x≤35时,选择两个,宾馆是一样的;当35<x≤45时,选择甲宾馆比较便宜,当x>35时,两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数,比较两个函数值的大小即可.
例4(2012•丽水)在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=
.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=
,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
一次函数综合题。
分析:
(1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解;
(2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积;
(3)分两种情况讨论求解:
①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可.
考点四:
方程思想
从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例5(2012•广东)据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?
考点:
一元二次方程的应用。
分析:
(1)设年平均增长率为x.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1+x)万人次,2011年公民出境旅游总人数5000(1+x)2万人次.根据题意得方程求解;
(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7200(1+x)万人次.
例6(2012•桂林)李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:
米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
考点:
分式方程的应用。
分析:
(1)设步行速度为x米/分,则自行车的速度为3x米/分,根据等量关系:
骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程,解出即可;
(2)计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和,然后与42比较即可作出判断.
考点五:
函数思想
函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例7(2012•十堰)某工厂计划生产A、B两种产品共50件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元,购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元,且生产B产品不少于28件,问符合条件的生产方案有哪几种?
(3)在
(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费200元,生产一件B产品需加工费300元,应选择哪种生产方案,使生产这50件产品的成本最低?
(成本=材料费+加工费)
考点:
一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用。
分析:
(1)设甲材料每千克x元,乙材料每千克y元,根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元,购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元,可列出方程组
,解方程组即可得到甲材料每千克15元,乙材料每千克25元;
(2)设生产A产品m件,生产B产品(50﹣m)件,先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20(50﹣m)+25×20(50﹣m)=﹣100m+40000,根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000,根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28,然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22,而m为整数,则m的值为20,21,22,易得符合条件的生产方案;
(3)设总生产成本为W元,加工费为:
200m+300(50﹣m),根据成本=材料费+加工费得到W=﹣100m+40000+200m+300(50﹣m)=﹣200m+55000,根据一次函数的性质得到W随m的增大而减小,然后把m=22代入计算,即可得到最低成本.
函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括,是一种策略性的指导方法。
运用函数思想通常是这样进行的:
将问题转化为函数问题,建立函数关系,研究这个函数,得出相应的结论。
考点六:
数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。
例8(2012•襄阳)如图,直线y=k1x+b与双曲线y=
相交于A(1,2)、B(m,﹣1)两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;
(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b>
的解集.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。
分析:
(1)将点A(1,2)代入双曲线y=
,求出k2的值,将B(m,﹣1)代入所得解析式求出m的值,再用待定系数法求出k1x和b的值,可得两函数解析式;
(2)根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究;
(3)求不等式k1x+b>
的解集,就是求k1x+b>
时自变量的x的范围,从图象上看:
直线在双曲线上方,这是“以形助数”.
根据A、B点的横坐标结合图象进行解答.
点评:
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
一、选择题解题方法
选择题解题的基本原则是:
充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做.
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,又不要求写出解题过程.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略.具体求解时,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.事实上,后者在解答选择题时更常用、更有效.
中考典例剖析
方法一:
直接法
从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
例1(2012•白银)方程
的解是( )
A.x=±1B.x=1C.x=﹣1D.x=0
对应训练
1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有( )
A.7队B.6队C.5队D.4队
方法二:
特例法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好.
例2(2012•常州)已知a、b、c、d都是正实数,且
,给出下列四个不等式:
①
;②
;③
;④
。
其中不等式正确的是( )
A.①③B.①④C.②④D.②③
思路分析:
由已知a、b、c、d都是正实数,且
,取a=1,b=3,c=1,d=2,代入所求四个式子即可求解。
对应训练
2.(2012•南充)如图,平面直角坐标系中,⊙O的半径长为1,点P(a,0),⊙P的半径长为2,把⊙P向左平移,当⊙P与⊙O相切时,a的值为( )
A.3B.1C.1,3D.±1,±3
方法三:
筛选法(也叫排除法、淘汰法)
分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.
例3(2012•东营)方程(k-1)x2-
x+
=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥1B.k≤1C.k>1D.k<1
思路分析:
原方程有两个实数根,故为二次方程,二次项系数不能为0,可排除A、B;又因为被开方数非负,可排除C。
故选D.
对应训练
3.(2012•临沂)如图,若点M是x轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数
y=
(x>0)和y=
(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是( )
A.∠POQ不可能等于90°
B.
C.这两个函数的图象一定关于x轴对称
D.△POQ的面积是
(|k1|+|k2|)
方法四:
逆推代入法
将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度.
例4(2012•贵港)下列各点中在反比例函数y=
的图象上的是( )
A.(-2,-3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(6,-1)
思路分析:
根据反比例函数y=
中xy=6对各选项进行逐一判断即可.
对应训练
4.(2012•贵港)从2,﹣1,﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+1中的k值,则所得的直线不经过第三象限的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
方法五:
直观选择法
利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
这种解法贯穿数形结合思想,每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速.
例5(2012•贵阳)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,
当-5≤x≤0时,下列说法正确的是( )
A.有最小值-5、最大值0B.有最小值-3、最大值6
C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值6
对应训练
5.(2012•南宁)如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是( )
A.k=nB.h=mC.k<nD.h<0,k<0
方法六:
特征分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法
例6(2012•威海)下列选项中,阴影部分面积最小的是( )
A.B.C.D.
分析:
根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可.
对应训练
6.(2012•丹东)如图,点A是双曲线y=
在第二象限分支上的任意一点,点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8,则k的值为( )
A.﹣1B.1C.2D.﹣2
方法七:
动手操作法
与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型,只凭想象不好确定,处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下,动手可以直观得到答案,往往能达到快速求解的目的.
例7(2012•西宁)折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,蕴含许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学猜想,把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论( )
A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形
思路分析:
严格按照图中的方法亲自动手操作一下,即可很直观地呈现出来,也可仔细观察图形特点,利用对称性与排除法求解.
对应训练
7.(2012•宁德)将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后,再沿图③中的虚线剪裁,最后将图④中的纸片打开铺平,所得到的图案是( )
A.B.C.D.
二、新概念型问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题”关键要把握两点:
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.
三、中考典例剖析
考点一:
规律题型中的新概念
例1(2012•永州)我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33,…就是一个数列,如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列,它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,…,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…,这是一个公差为4的等差数列,所以,数列1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数应是21
.
思路分析:
由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,…,由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一个数比13大8.
对应训练
1.(2012•自贡)若x是不等于1的实数,我们把
称为x的差倒数,如2的差倒数是
=-1,-1的差倒数为
=
,现已知x1=-
,x2是x1的差倒数,x3是x2的差倒数,x4是x3的差倒数,…,依次类推,则x2012=.
考点二:
运算题型中的新概念
例2(2012•菏泽)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成
,概念
=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若
=8,则x=2
.
思路分析:
根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程,整理后即可求出方程的解,即为x的值.
对应训练
2.(2012•株洲)若(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)•(6,8)= .
考点三:
探索题型中的新概念
例3(2012•南京)如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,
①若AB是⊙O的直径,则∠APB= °;
②若⊙O的半径是1,AB=
,求∠APB的度数;
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
思路分析:
(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解;
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧
上;点P在劣弧
上两种情况讨论求解;
(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
对应训练
3.(2012•陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是等腰
三角形;
(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?
若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
考点四:
开放题型中的新概念
例4(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下概念:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如:
点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(-
,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y=
x+3上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
思路分析:
(1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0,y).因为|-
-0|≥|0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-
-0|=
;
(2)①设点C的坐标为(x0,
x0+3).根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=
x0+2,据此可以求得点C的坐标;
②当点E在过原点且与直线y=
x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,即E(-
,
).解答思路同上.
对应训练
4.(2012•台州)请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:
1⊕2=2⊕1=3,(-3)
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