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坐标方位角计算
二计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标,控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。
下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示,已知A点的坐标为
、
,A到B的边长和坐标方位角分别为
和
,则待定点B的坐标为
}(5—1)
式中
、
——坐标增量。
由图5—5可知
}(5—2)
式中
——水平边长;
——坐标方位角。
将式(5-2)代入式(5-1),则有
}(5—3)
当A点的坐标
、
和边长
及其坐标方位角
为已知时,就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。
式(5—2)是计算坐标增量的基本公式,式(5—3)是计算坐标的基本公式,称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出
是边长
在x轴上的投影长度,
是边长
在y轴上的投影长度,边长是有向线段,是在实地由A量到B得到的正值。
而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化,根据三角函数定义,坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种
情况,其正负符号取决于坐标方位角所在的象限,如图5—6所示。
从式(5—2)知,由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负,其符号归纳成表5—3。
图5—5坐标计算图5—6坐标增量符号
表5—3坐标增量符号表
坐标方位角
(°)
所在象限
坐标增量的正负号
⊿x
⊿y
0~90
90~180
180~270
270~360
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
-
-
+
+
+
-
-
例1已知A点坐标
=100.00m,
=300.10m;边长
=100m,方位角
=330°。
求B点的坐标
、
。
解:
根据公式(5—3)有
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长,这种计算称为坐标反算。
由式(5—1)有
}(5—4)
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。
在图5—5中
表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量;
表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。
坐标增量也有正负两种情况,它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图5—5中如果A点到B点的坐标已知,需要计算AB边的坐标方位角
和边长时
,
则有
}(5—5)
或
公式(5—5)称为坐标反算公式。
应当指出,使用公式(5—5)中第一式计算的角是象限角R,应根据⊿x、⊿y的正负号,确定所在象限,再将象限角换算为方位角。
因此公式(5—5)中的第一式还可表示为:
例2.已知
=300m,
=500m,
=500m,
=300m,求A、B二点连线的坐标方位角
和边长
。
解:
由公式(5-5)有
因为
为正、
为负,直线AB位于第四象限。
所以
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得:
AB边长为:
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式,应用十分广泛。
在测量计算时,由于公式中各元素的数字较多,测量规范对数字取位及计算成果作了规定。
例如图根控制点要求边长计算取至毫米;角度计算取至秒;坐标计算取至厘米。
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