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正交使用教材第四章
第四章配方均匀设计
配方设计在化工、橡胶、食品,材料工业等领域中十分重要,设某产品有种
s原料Ml,…,Ms,它们在产品中的百分比分别记作Xi,…,Xs。
显然
X!
_0,…,Xs_o,x•Xs欲寻找最佳配方,需要做配方试验或混料试验,由
于Xi,…,Xs之间不独立,前三章所介绍的各种试验设计方法均不适用于配方试
验,在文献中可以查到许多有用的方法,如单纯形格子点设计(Simplex-lattice
design),单纯形重心设计(Simplex-centrioddesign),轴设计(axialdesign)等,
Cornell[27]对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论,本章先简单介绍文
献中推荐的这些方法,然后指出这些方法的缺点,并推出配方均匀设计。
4.1配方试验设计
Scheffe于1958和1963创造了单纯形格子点设计和单纯形重心设计,其方法如下:
1、单纯形格子点设计
先确定一个正整数m,然后让每个原料取值
xi=o,—,—,1,i=1/,s-
mmm
例如当s=3,m=1时,只有3个试验点:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),当s=3,m=2时,有6个试验点:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),当s=3,m=3时,
有10个试验点:
(1,0,0,),(0,1,0),(0,0,1),(1/3,2/3,0),个试验点。
2、单纯形重心设计
一个s维的单纯开重心设计共有2s-1个试验点,其中s个单一成分的点,(1,0,0,…,0),…,(0,…,0,1)。
(;)个二种相等成分的试验点,即
G,;,o,…,0),…,(o,…,0,;,*),…,(:
)=1个s种相等成分的试验点:
Q,…,1).当s=3时,共有7个试验点,它们为:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),",0),Gg),(0,异),(3,梟).
除上述两种设计外,还有许多其他方法,如Cornell建议的轴设计。
3、轴设计
单纯形Ts={(X1,2)必_0,ih,,s"X=1}的重心和它各顶点的联线称为
轴,轴设计取s个试验点,每个轴上一个点,使这些点到重心有相等的矩离d.
通常0 图12对s=3时给出三种设计的点图,由这些点图我们发现这些设计有如下 两个问题: 1)试验点在试验范围Ts内分布不十分均匀 2)在试验边界上有太多的试验点。 众所周知,在化学试验中,若有s种成分, 如果缺少一种或多种,则或者不起化学反应,或者生成另外一种产品。 为了克服上述两个缺点,王元、方开泰「9『建议用均匀设计的思想来做配方设计,产生了配方均匀设计。 4.2配方均匀设计 s种原料的试验范围是单纯形ts,在上节已经提及,设我们打算比较n种不同的配方,这些配方对应Ts中n个点,配方均匀设计的思想就是使这n个点在ts中散布尽可能均匀.其设计方案可用如下步骤获得: 1)给定s和n,根据附录的使用表查到生成向量(h八,hs」),并由这个生成向量产生均匀设计表U;(ns」)或Un(n*),用{qik}记U;(ns」)或Un(ns」)中的元素。 2)对每个i,计算 3)计算 (4.2) s4s_j XksDj^Cj,k=1,…,n 由{Xki}就给出了对应n,S的配方均匀设计.并用记号UMn(nj)示之。 表26对n=11,s=3时给出了产生UM11(113)的过程.这时计算公式(4.2)有如下简 表26umii(ii3)及其生成过程 No. C1 C2 X1 X2 X3 1 1/22 13/22 0.787 0.087 0.126 2 3/22 5/33 0.631 0.285 0.084 3 5/22 19/22 0.523 0.065 0.412 4 7/22 11/22 0.436 0.282 0.282 5 9/22 3/33 0.360 0.552 0.087 6 11/22 17/22 0.293 0.161 0.546 7 13/22 9/22 0.231 0.454 0.314 8 15/22 1/22 0.174 0.788 0.038 9 17/22 15/22 0.121 0.280 0.599 10 19/22 7/22 0.071 0.634 0.296 11 21/22 21/22 0.023 0.044 0.993 单形式 公式(4.2)可以用递推方法以节省计算量,其算法如下: (a)令gks=1,gko=0,k=1,,n.. (b)递推计算 1/j gkj二gk,j1,j^s-1,s-2,,2,1 (c)计算 Xkj「gk^gkj1,j=1,,s,k=1,,n 则{Xkj}即为所求,用这个算法便于写计算程序。 由于编写产生UMn(ns)表的程序极其简单,因此无需列出各种配方均匀设计表,有关的软件已经形成,读者可以直接使用,而节省研制时间。 用配方均匀设计安排好试验后,根据试验的目的,获得反应变量Y的值{Y}进一步的分析和以前一样也是用回归分析,当因素间没有交互作用时,用线性模型,当因素间有交互作用时用二次型回归模型,或其他非线性回归模型,现用下例来说明之。 例6在一个新材料研制中,选择了主要三种金属的含量x「X2,x3作为因素.根据试验条件的允许和精度的要求,选择了UM15(153)表来安排试验,其试验方案 和丫值列于表27由于XiX2X^1,故表中仅仅列出Xi和X2。 利用二次型回归模型和逐步回归最终选定回归方程为 Y=10.090.797X1-3.454X: -2.673X;0.888X1X2 相应的R=0.90,? =0.289.由于XiX2X3=1,回归方程中仅有Xi和X出现,我们看到Xi和X2有交互作用。 限于篇幅,有关寻求最优配方的内容就不详尽叙述了,有兴趣的读者请参考方开泰和王元[i6],张金廷[i3]。 表27 试验方案和结果 No. xi x2 丫 i 0.8i7 0.055 8.508 2 0.684 0.i79 9.464 3 0.592 0.340 9.935 4 0.5i7 0.048 9.400 5 0.452 0.2i0 i0.680 6 0.394 0.384 9.748 7 0.342 0.592 9.698 8 0.293 0.ii8 i0.238 9 0.247 0.326 9.809 i0 0.204 0.557 9.732 ii 0.i63 0.809 8.933 i2 0.i24 0.204 9.97i i3 0.087 0.456 9.88i i4 0.05i 0.727 8.892 i5 0.0i7 0.033 i0.i39 4.3有约束的配方均匀设计 上两节我们讨论的配方设计对各个因素是一视同仁的,但是在许多配方中, 有些成分的含量很大,有些则很小,这种配方称为有约束的配方,这时上两节所介绍的方法均不能直接运用,本节介绍有约束的配方均匀设计。 设在一配方中有s个成分Xi「,Xs,它们有约束条件如下: (4.4) 兀半…+Xs=1 Ia 当某个因子Xj没有约束时,相应的aj=O,bj=1. 例7若一配方有三个成分X-X2和X3,它们目前按70%,20%,10%组成配方,为了提高质量,希望寻求新的配比,这时我们希望设计一个试验,使 0.6空Xi乞0.8 彳0.15^X2^0.25(45) 0.05乞X3乞0.15 X1X2X3=1 这时如何用均匀设计来给出试验方案呢? 本例由于X1的含量较高,我们可以将X2和X3在试验范围内按独立变量的均匀设计去选表,然后用X1=1-X2-X3给出X1的比例,若X2和X3都在试验范围内取11个水平,并用u;1(112)来安排X2和X3,得表28之试验方案.该方案并不十分理想,因为X1只有三个水平: 0.64,0.70,0.76若选用5(112)表,其试验方案列于表29,这时不仅X2和X3有11水平,X1也有11水平。 上述的两个方案重点在考虑X2和X3,而X1似乎是一种“陪衬”,不得已而变之,而且X1的变化范围和原设计并不十分吻合.故这种方法所设计的试验均匀性有时不一定很好.能否将X1,X2,X3同时来考虑,其中没有一个是陪衬呢? 目前尚没有特别好的方法,我们仍以例7来讨论,令「《,Ck2,k=1/,Z为C2中的一组分散均匀的点集,由变换(4.3)我们可获得单纯形T3上的一组点因此,'ck1,Ck21应满足约束(4.5),即 0.6乞1一Ck1乞0.8 」0.15兰臥(1—Cq)兰0.25 *0.05兰*: 。 山弦兰0.15 上式的约束成为 0.04兰ck1兰0.16 —空<c“一空 1厂一Ck2_1丁 \Ck1VCk1 0.05””0.05 Ck2 一Ck2一 Ck1L.■: Ck1 由它们所决定的区域D如图13所示,不难求得,区域D落于矩形R=[0.04,0.16][1/6,0.5]之中,于是,我们若在矩形R之中给出一个均匀设计, 其中落在D的点可以视为在D上的一个均匀设计,然后再利用(4.3)便可获得我们要求的均匀设计方案。 表28U;(112)之试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.76 0.15 0.09 2 0.70 0.16 0.14 3 0.76 0.17 0.07 4 0.70 0.18 0.12 5 0.76 0.19 0.05 6 0.70 0.20 0.10 7 0.64 0.21 0.15 8 0.70 0.22 0.08 9 0.64 0.23 0.13 10 0.70 0.24 0.06 11 0.64 0.25 0.11 表29 Un(112)之试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.74 0.15 0.11 2 0.77 0.16 0.07 3 0.69 0.17 0.14 4 0.72 0.18 0.10 5 0.75 0.19 0.06 6 0.67 0.20 0.13 7 0.70 0.21 0.09 8 0.73 0.22 0.05 9 0.65 0.23 0.12 10 0.68 0.24 0.08 11 0.60 0.25 0.15 设取n=21,由附录I中的A1.25,查到应当用u;(2i2)的第1和第5列,由它们生成的均匀设计(见表28前两列)再通过变换(3.6)变到单位正方体之中(见表28,第3,4列),记变换后的点为{(cgcjk=1,…,21}.其次将这些点通过线性变换到矩形R上去,其变换为 c;=0.040.16-0.04ck1 *1 (1) Ck2=—+0.5——|Ck2k=1,2,…,21 6i6丿 它们的值列于表30的最后两列,其中在试验点编号上加了“*”的表示该点落 在区域D之内,未加“*”的表示落在D之外,我们看到编号为4,6,7,8,9,10,11,13,16,18的点落在D内.由这些点通过变换(3.6)获得落在(4.5)所规定的区域的10个试验点,它们列在表31之中.用上述方法所获得的试验方案布点均匀,但试验数不易预先确定。 例如若我们希望做12次试验,用上述方法只能 获得10个试验的配方,为此,我们可以尝试开始时n>21,比如n=24,再用类 似办法看看最后有多少个点落在D之中,该方法已经纳入中国均匀设计学会所推荐的软件包之中。 表30有限制的配方设计 No. 1 5 C C2 * C * C2 1 1 13 0.0238 0.5952 0.0429 0.3651 2 2 4 0.0714 0.1667 0.0486 0.2222 3 3 17 0.1190 0.7857 0.0543 0.4286 4* 4 8 0.1667 0.3571 0.0600 0.2587 5 5 21 0.2143 0.9762 0.0657 0.4921 6* 6 12 0.2619 0.5476 0.0714 0.3492 7* 7 3 0.3095 0.1190 0.0771 0.2063 8* 8 16 0.3571 0.7381 0.0829 0.4127 9* 9 7 0.4048 0.3095 0.0886 0.2698 10* 10 20 0.4524 0.9286 0.0943 0.4762 11* 11 11 0.5000 0.5000 0.1000 0.3333 12 12 2 0.5476 0.0714 0.1057 0.1905 13* 13 15 0.5952 0.6905 0.1114 0.3968 14 14 6 0.6429 0.2619 0.1171 0.2540 15 15 19 0.6905 0.8810 0.1229 0.4603 16* 16 10 0.7381 0.4524 0.1286 0.3175 17 17 1 0.7857 0.0238 0.1343 0.1746 18* 18 14 0.8333 0.6429 0.1400 0.3810 19 19 5 0.8810 0.2143 0.1457 0.2381 20 20 18 0.9286 0.8333 0.1514 0.4444 21 21 9 0.9762 0.4048 0.1571 0.3016 表31试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.7551 0.1750 0.0700 2 0.7327 0.1739 0.0933 3 0.7223 0.2204 0.0573 4 0.7122 0.1691 0.1188 5 0.7024 0.2173 00803 6 0.6929 0.1608 0.1462 7 0.6838 0.2108 0.1054 8 0.6662 0.2013 0.1325 9 0.6414 0.2447 0.1138 10 0.6258 0.2316 0.1425 4.4均匀设计在系统工程中的应用 设有一个复杂的系统(如图14),有一批输入参数,当这些参数给定后,需要进行复杂的计算(如上百个微分方程),求得输出参数,用它们来控制该系统。 由于计算过于复杂,计算时间较长,很难做到载线控制,或者已经推动了控制时机。 因此,希望在输入参数和输出参数间建立一种简单的关系,通过这个关系,由输入可以极其快速地算出输出,这样图14中的“系统”部分可以视为“黑箱”,在应用中不必去过问。 由于输入参数的范围可能很大,要建立输入和输出之间的关系并能达到要求之精度,在如此大的范围内并不容易。 国外一批学者对此作了大量研究,并将这个研究方向称为“计算机试验设计” (designofcomputerexperiments)许多研究将问题弄得很复杂,失去了应用价 值。 我国早在70年代末就已成功地将均匀设计用于系统工程中(参见黄树山、丁常福、赵蓉华[36]、张建舟、潘乃强、申宗鹤[40]、张炳辉[41]等),并且比 輸出蓼數 图14 国外的方法先进,其思想大体如下: 将输入参数分成较多的水平(通常大于20),然后在其范围内给出一个均匀设计,设计给出了n组不同的输入参数•然后按系统的模型精确地算出(比如系统模型是微分方程组)输出参数。 利用多元统计分析中的许多方法(比如利用回归分析),可以建立输入参数和输出参数之间的关系,如果试验数足够多,模型精心选择,由输入估计输出的精度可以达到预期的要求,由于这方面的应用涉及到许多知识,这里难以详尽介绍。 有关计算机试验的文献,读者可以从文献[16]的第五章第六节的介绍中找到。 结束语 本书的目的是向广大读者介绍均匀设计的方法和应用,在文字上尽量简洁, 略去了所有的数学证明,考虑于已有相应的软件包,因此在数据分析方面也没有做到面面俱到,这样对于初学者易于领会均匀设计的思想和运用中的主要技巧,如果内容介绍太多,容易毛了西瓜拣芝麻,不久,王元教授和我将撰写一本有关均匀设计的专著,该书将包含有关的数学证明,并且包含更多的内容。 正交设计已有几十年历史,至今还在发展,均匀设计才有十几年历史,尚有许多总是有待去研究,例如拟水平的表还可以发现更多更好的表,有约束的配方设计给出更方便的设计方法,有多个试验指标(Y)时的数据分析方法,如第三章介绍,U*表比U表在均匀度方面有显著地改进,能否找到比U*更均匀的设计呢? 这些都是值得研究的问题,我们特别欢迎使用者提出各种应用课题与我们讨论,实践是理论的源泉,均匀设计产生是来自实际问题的刺激,它的发展和完善仍然要依靠实际的推动。
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