春北师大版数学八下第一章《三角形的证明》word全章学案.docx

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春北师大版数学八下第一章《三角形的证明》word全章学案

§1.1你能证明它们吗？

（1）

学习目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。

学习重点：

了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

学习难点：

证明等腰三角形性质时辅助线做法。

一、学前导读

1．列举我们已知道的公理：

（1）公理：

同位角，两直线平行。

（2）公理：

两直线，同位角。

（3）公理：

的两个三角形全等。

（简称，字母表示）

（4）公理：

的两个三角形全等。

（简称，字母表示）

（5）公理：

的两个三角形全等。

（简称，字母表示）

（6）公理：

全等三角形的对应边，对应角。

2．什么叫做等腰三角形？

二、课堂导学

1、自学感知

①三角形全等的判定

判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？

推论:

（简写为）

②等腰三角形的性质定理

等腰三角形性质：

等腰三角形的两个相等（简称：

等对等）

2、合作探究

探索一：

已知：

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF

求证:

△ABC≌△DEF

证明:

探索二：

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：

∠B＝∠C

由此得到定理:

简述为:

探索三：

在上图中，若取BC的中点D，并连接AD，那么线段AD是BC边上的中线外还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

推论:

简述为

归纳：

1、在等腰△ABC中，若AD是∠A的平分线，则

2、在等腰△ABC中，若AD是BC边上的高，则

3、在等腰△ABC中，若AD是BC边上的中线，则

三、反思感悟

学而不思则罔，本节课我的反思：

四、知识反馈

1、如图1，若△ADC≌△ABE，则AD=AB，DC=；∠D=∠；∠=∠BAE；

2、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为

3、如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.

（1）求证:

△ABD是等腰三角形

（2）求∠BAD的度数

4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC和∠ACB的角平分线BD、CE相交于点O，求证：

∠OBC＝∠OCB

§1.1你能证明它们吗？

（2）

学习目标：

学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边，并体会反证法的含义。

学习重点：

会证明等腰三角形的判定定理，即：

“等角对等边”。

学习难点：

区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明。

一、学前导读

在等腰三角形中画出一些线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？

二、课堂导学

1、自学感知

①阅读课本第6页例1的证明

等腰三角形两底角的平分线

②等腰三角形的判定定理

有两个角相等的三角形是三角形

2、合作探究

探索一：

等腰三角形两底角的平分线相等吗？

1．已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线

求证：

BD＝CE。

得出定理：

。

问题：

等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

还有其他的结论吗？

请你证明它们，并与同伴交流。

结论：

2、议一议

在上图中

（1）如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗？

如果∠ABD=∠ABC,

∠ACE=∠ACB呢？

由此你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=AC,AE=AB，那么BD=CE吗？

如果AD=AC,AE=AB呢？

由此你能得到一个什么结论?

你能证明得到的结论吗？

探索二：

我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？

由此得到什么结论？

证明：

等腰三角形判定定理:

有两个相等的三角形是等腰三角形（简称：

等对等）

已知：

在△ABC中，∠B＝∠C，证明:

AB＝AC，

探索三：

证明：

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。

（以上的证明过程用了反证法）

反证法的一般步骤：

1、假设不成立；

2、由假设推出；

3、错误，原命题正确。

三、反思感悟

1．证明等腰三角形两底角的平分线相等及判定定理的推导，一般的思路是什么？

2．反证法是一种比较重要的证明方法，什么命题的证明比较适合用反证法？

四、知识反馈

1、已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC,且∠1=∠2

求证：

AB=AC

2、证明：

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

3、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：

△DGE是等腰三角形.

§1.1你能证明它们吗？

（3）

学习目标：

学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系。

学习重点：

等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

学习难点：

能够用综合法证明等边三角形的判定定理。

一、学前导读

1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。

你增加的条件是

2、利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。

二、课堂导学

1、自学感知

①等边三角形的判定定理

有一个角等于的等腰三角形是等边三角形

②300角所对的直角边与斜边关系定理

在直角三角形中，如果一个锐角是300，那么它所对的直角边等于

2、合作探究

探索一：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

（1）思考等腰三角形成为等边三角形的条件（从边和角两个角度考虑）

（2）分类讨论上述定理中当这个角分别是底角和顶角的情况

（3）得出证明过程

探索二：

含300角的直角三角形的性质

用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由。

根据操作，思考：

在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？

并试着证明。

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则∠B＝60°

延长BC至D，使CD=BC，连接AD

定理:

在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

如图：

△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高．

求CD的长．

三、反思感悟

1．本节重点探索了哪两个定理？

2．等边三角形与直角三角形关系密切，注意两者之间的转化？

四、知识反馈

1、证明:

三个角都相等的三角形是等边三角形

2、直角三角形的一个角等于30o,斜边长为4,用四个这样的直角三角形拼成如图所示,求正方形EFGH的边长.

3．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：

BD=3AD

§1.2直角三角形

（1）

学习目标：

进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

学习重点：

了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

学习难点：

结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

一、学前导读

1、勾股定理的内容是：

__________________

它的条件是：

______________________________

结论是：

__________________________________

2、每个命题都是由，两部分组成。

命题“对顶角相等”的条件是，结论是

二、课堂导学

1、自学感知

①勾股定理的逆定理

如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形是直角三角形。

②互逆命题

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题

③互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

2、合作探究

探索一：

证明定理：

如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

条件：

结论：

已知：

（如图）在△ABC中，AB2+AC2=BC2.

求证：

△ABC是直角三角形。

证明：

（1）

（2）

练习：

1.如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形

2.如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：

BA∥DC

探索二：

1.观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

在这几组的两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______和_______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题

注意：

1互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。

②一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。

练习：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）.四边形是多边形

（2）、等边对等角；

（3）、平行四边形的两组对边相等；

2.互逆定理

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

练习：

找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。

（1）内错角相等，两直线平行

（2）全等三角形对应角相等

（3）对顶角相等

三、反思感悟

1.运用勾股定理及其逆定理应注意什么?

2.写一个命题的逆命题应注意什么?

四、知识反馈

１．写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

A：

两直线平行，同位角相等。

B：

如果ab=0，那么a=0，b=0。

2、命题：

等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是____________________________

3、若一个直角三角形两直角边之比为3：

4，斜边长20cm，则两直角边为____

4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_____

５、在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm

求证：

AB=AC

§1.2直角三角形

（2）

学习目标：

运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。

学习重点：

直角三角形全等的判定定理（HL）。

学习难点：

直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明应用。

一、学前导读

在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法：

那么在直角三角形中还多了一种方法是：

二、课堂导学

1、自学感知

①斜边,直角边（HL）定理

斜边和一条直角边的两个直角三角形全等

证明的基本思路:

由勾股定理得出另一条直角边相等,再根据公理判定全等即可

②阅读课本做一做:

用三角尺作角平分线，并思考证明方法。

2、合作探究

探索：

如图：

已知∠ACB=∠BDA=90°。

要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？

把他们分别写出来，并说明理由。

例题1：

在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：

AD是∠BAC的角平分线

例题2：

如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，