9平行线复习1.docx
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9平行线复习1
学大教育学科教师辅导教案
组长审核:
班组课
精品班
辅导科目
数学
课时数
2课时
学员姓名
张宏宇
年级
七年级
学科老师
崔玉珍
授课主题
相交线与平行线复习
(一)
教学目的
1、了解对顶角、邻补角、补角等有关的概念,知道等角的余角相等、对顶角相等
2、了解垂线、垂线段的概念,会利用三角板或量角器做垂线。
教学重点
利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理,及求一些角度的度数
授课日期及时段
2016年2月21日13:
00--15:
00(第九次课)
教学内容
知识点一:
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有:
(2)∠α与∠β是对顶角,那么一定有;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有个,而对顶角只有个。
(4)两直线相交形成的四个角中,共有组邻补角,组对顶角。
例1、
如图,∠1的邻补角是
例2、如图,直线AB与CD相交于O点,且∠COE=90°,则
(1)与∠BOD互补的角有________________________;
(2)与∠BOD互余的角有________________________;
(3)与∠EOA互余的角有________________________;
(4)若∠BOD=42°17′,则∠AOD=__________;∠EOD=______;
∠AOE=______.
例3、图中是对顶角的是().
例4、已知:
如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠DOE=4∶1.求∠AOF的度数.
例5、两条直线相交,共有4对邻补角,那么三条直线相交,共有()对邻补角。
知识点二:
垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
记作:
垂足为
⑵垂线性质1:
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
例1、D为直线l上一点,Q为直线l外一点,下列说法不正确的是()
A过点P可作直线垂直于l
B过点Q可作l的垂线
C连接PQ,使PQ垂直于l
D过点Q不可能作两条直线与l垂直
例2、下列命题中,错误的是()
A过一点可作一条直线与已知直线垂直
B互为邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直
C垂直于同一条直线的两条直线平行
D在同一平面内,不平行的两条直线必相交
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的,叫做点到直线的距离。
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
例:
要把河中的水引到农田A处,如何挖渠道使渠道最短?
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
1线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征,且都是图形。
(垂直的性质)
2点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度,是数量;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
3段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
例1、如图,CB=12cm,AC=5cm,AB=13cm,那么点A到BC的距离是()cm,点B到AC的距离是()cm,A,B两点之间的距离是()cm。
A
CB
例2、如图,已知∠AOB及点P,分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN.
图a图b图c
例3、如图,BC⊥AC,CD⊥AB,AB=m,CD=n,则AC的长的取值范围是().
(A)AC<m(B)AC>n
(C)n≤AC≤m(D)n<AC<m
知识点二:
平行线及其判定
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
注:
“在同一平面内”是定义的前提条件。
平行线是无限延伸的,无论怎样延伸都不相交。
若遇到说两条射线或线段平行,实际是指它们所在的直线平行。
在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会得出结论:
这两条直线平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
1
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
例:
如图所示,下列说法错误的是()
A.∠A和∠B是同旁内角B.∠A和∠3是内错角
C.∠1和∠3是内错角D.∠C和∠3是同位角
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
证明:
∵ ∠1=∠2,∠1=∠3(对顶角相等)∴∠3=∠2 ∴ AB∥CD
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
证明:
∵ ∠4+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∴∠3=∠2 ∴ AB∥CD
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
典型例题1:
判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:
⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。
“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。
⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。
因为如果这一点在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。
典型例题2:
如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
典型例题
例1、不重合的三条直线的交点个数可能是()
例2、如图所示
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角;
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角;
(3)∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角.
例3、已知图①~④,
图①图②图③图④
在上述四个图中,∠1与∠2是同位角的有
例4、如图,下列结论正确的是().
(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角
(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角
例5、已知:
如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?
并写出推理的根据.
(1)如果∠2=∠3,那么____________.
(____________,____________)
(2)如果∠2=∠5,那么____________.
(____________,____________)
(3)如果∠2+∠1=180°,那么____________.
(____________,____________)
(4)如果∠5=∠3,那么____________.
(____________,____________)
(5)如果∠4+∠6=180°,那么____________.
(____________,____________)
(6)如果∠6=∠3,那么____________.
(____________,____________)
练习1、已知:
如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)∵∠B=∠3(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(2)∵∠1=∠D(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(3)∵∠2=∠A(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(4)∵∠B+∠BCE=180°(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
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