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绝对值大全
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
一、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
cxc(c0)
(C°)
1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即|x|=X(X°),有|x| x(x°) xc或xc(c0) |X|>cx0(c0) xR(c0) 2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x| 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论a 或-bwx匚a”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有单项”绝对值的不等式,利用|x|2=x2可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法,是指: 若数人,X2,……,Xn分别使含有|x—X」|X—X2I,……, |x—Xn|的代数式中相应绝对值为零,称为,X2,,Xn为相应绝对值的零点,零点捲, %,……,xn将数轴分为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝对 值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。 数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于|xa||xb|m或|xa||xb|m(m为正常数)类型不等式。 对 |axb||cxd|m(或<m),当|a|农|时一般不用。 二、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 (一)、根据题设条件 例1: 设"一-化简一卜卜二的结果是()。 (A)--(B)-■■(C)二/(D)-■■ 思路分析: 由小•可知---可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待 合并整理后再用同样方法化去. 解: 2-|2-|x-2||=2-|2-(2-x)|=2-|x|=2-(-x)=2-bx •••应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 国一卜我l+k-间+0-H的值 (二)、借助数轴 例2: 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式等于() (A)7(B)二 思路分析由数轴上容易看出■--,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解: 原式•[: '■-■'-'': r' •••应选(C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄 清: 1零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. (三)、采用零点分段讨论法 例3: 化简弧-刃十+4 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采 用零点分段讨论法,本例的难点在于…-■■-! : 的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况一一讨论. 解: 令小二一「得零点: 「一: ;令小*一「得零点: •【一-,把数轴上的数分为三个部分(如图) 1 1 •4 0 2 1当盂巴2时,x-2>0? x+4>0 2当<2时,片-恥—+壮0, •原式—一二,一[“■-取 3当时,工-2Qk+4<0, ...原式一一二..-.: II -8+^(x>2) 2|j-2一|x+4二一3^(-4 归纳点评: 虽然…'的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点: 分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段: 根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把亠-等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 三、带绝对值符号的运算 在初中数学教学中,如何去掉绝对值符号? 因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视。 其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题。 那么,如何去掉绝对值符号呢? 我认为应从以下几个方面着手: (一)、要理解数a的绝对值的定义。 在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样定义的,在数轴上,表示数a的点到原点的 距离叫做数a的绝对值。 ”学习这个定义应让学生理解,数a的绝对值所表示的是一段距离, 那么,不论数a本身是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数。 (二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。 从数a的绝对值的定义可知,一个正数的绝对值肯定是它的本身,一个负数的绝对值必定 是它的相反数,零的绝对值就是零。 在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样 去表示a的相反数(可表示为-a”,以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用,二是括 号的作用)。 (三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如丨a丨的一类问题 只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号当a>0时,丨a|=a(性质1: 正数的绝对值是它本身); 当a=0时,|a|=0(性质2: 0的绝对值是0); 当a<0时;|a|=-a(性质3: 负数的绝对值是它的相反数)。 2、对于形如|a+b|的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快 速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时,|a+b|=(a+b)=a+b(性质1: 正数的绝对值是它本身); 当a+b=0时,|a+b|=(a+b)=0(性质2: 0的绝对值是0); 当a+b<0时,|a+b|=-a+b)=--b(性质3: 负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如丨a-b丨的一类问题 同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3个性质,去 掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。 如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。 因为丨大-小丨=丨小-大丨=大-小,所以当a>b时, a-b|=(a-b)=a-b,Ib-aI=(a-b)=a-b。 口诀: 无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题, a在b的右边(不 根据3的口诀来化简,更快捷有效。 如Ia-bI的一类问题,只要判断出 论正负),便可得到Ia-b|=(a-b)=a-b,Ib-aI=(a-b)=a-b。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。 前面是正号的无所谓,如果是负 号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也! 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算 0比较,大于0直接去绝 万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与 对值号,小于0的整体前面加负号。 四、去绝对值化简专题练习 (1)设盂<-1化简的结果是(B)。 (A): (B): I(C)二I讥(D)-■■ (C)。 ⑶已知二二匚,化简I「卜I一"的结果是x-8。 ⑷已知%,化简_I"-'的结果是-x+8。 (5)已知—4三二〜,化简"的结果是-3x_ ,那么 (6)已知a、b、c、d满足«<-! 且匕+1円训卜4二H a+b+c+d=0(提示: 可借助数轴完成) (C)• a~¥btb-2a)fi-|b| (A)0(B)1(C)2(D)3 八””+彳+2x-2| (10)化简II= (1)-3x(x<-4) (2)-x+8(-4wx<2)(3)3x(x>2) (11)设x是实数,丁+|亢十1|下列四个结论中正确的是(d)。 (A)y没有最小值 (B)有有限多个x使y取到最小值 (C)只有一个x使y取得最小值 (D)有无穷多个x使y取得最小值 五、绝对值培优教案 绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基 础•绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程(组卜解不等 (组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人 手: a(a0) 1.绝对值的代数意义: a0(a0) a(a0) 2•绝对值的几何意义从数轴上看,a表示数a的点到原点的距离(长度,非负); 表示数a、数b的两点间的距离. 3.绝对值基本性质 aa2oo ①非负性: a0: ②abab: ③a_(b0): ④aa2a2. 培优讲解 (一)、绝对值的非负性问题 【例1】若x3y1z50,则xyz。 总结: 若干非负数之和为0,。 (二)、绝对值中的整体思想 【例2】已知a5,b4,且abba,那么ab=. 变式1.若|m—1|=m—1,贝Um1;若|m—1|>m—1,贝Um1; (三)、绝对值相关化简问题(零点分段法) 【例3】阅读下列材料并解决有关问题: xx0 我们知道x|0x0,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化 xx0 简代数式x1x2时,可令x10和x20,分别求得x1,x2(称1,2分 别为x1与x2的零点值)。 在有理数范围内,零点值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况: (1)当x 1时,原式 = x1 x2 2x1 (2)当 1x2时, 原式 =x1 x2 3; (3)当x 2时,原式= =x 1x 22x 1。 2x 1 x 1 综上讨论, 原式=3 1 x2 2x 1 x 2 通过以上阅读,请你解决以下问题: (1)分别求出x2和x4的零点值; (2)化简代数式x2x4 变式1•化简⑴2x1; 变式2•已知x3x2的最小值是a,x3x2的最大值为b,求ab的值。 (四)、ab表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离. 【例4】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5,2与 6,4与3. 并回答下列各题: (1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗? 答: . (2)若数轴上的点A表示的数为X,点B表示的数为一1,贝UA与B两点间的距离 可以表示为: (3) 结合数轴求得 x 2 x3 的最小值为_,取得最小值时 x的取值范围为 (4) 满足 x1 x 4 3的x的取值范围为• (5) 若 x1x 2 1 x 3L x2008的值为常数,试求 x的取值范围. (五)、绝对值的最值问题 【例5】 (1)当x取何值时,x3有最小值? 这个最小值是多少? (2)当x取何值时, 5x2有最大值? 这个最大值是多少? (3)求x4x5的最小值。 (4)求 x7x8x9的最小值。 【例6】.已知: <1,y1,设M xy y1 2yx4,求M的最大值与最小 值. 课后练习: 1、若 9 b 11与(9 b°互为相反数, 求 392b1的值。 2.若 9 b 1与(9 b°互为相反数, 则 9与b的大小关系是() A. 9 b B.9 bC.9b D.9b 3.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a,1,一I,那么91表示()• A.A、B两点的距离B.A、C两点的距离 C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和 4•利用数轴分析X2X3,可以看出,这个式子表示的是X到2的距离与X到3的距离之和,它表示两条线段相加: ⑴当X_时,发现,这两条线段的和随X的增大而越来越大; ⑵当X_时,发现,这两条线段的和随X的减小而越来越大;⑶当_X_时,发 现,无论X在这个范围取何值,这两条线段的和是一个定值,且比⑴、⑵情况下的值都 小。 因此,总结,X2X3有最小值_,即等于到_的距离 5.利用数轴分析X7x1,这个式子表示的是X到7的距离与X到1的距离之差它表示两条线段相减: ⑴当X_时,发现,无论X取何值,这个差值是一个定值_;⑵当X_时,发现,无论X取何值,这个差值是一个定值_; ⑶当—X—时,随着X增大,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零。 因此,总结,式子 X7 X1当X时,有最大值 ;当X时,有最小 值; A.-3B.1C.3或-1D.-3或1 10.若X2,则11X;若I99,则I9192 12.设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,并且abc,则 abbcca可能取得的最大值是. 4、当b为时,5-2b1有最大值,最大值是 当a为时,1+|a+3|有最小值是. 5、当a为时,3+|2a—1|有最小值是;当b为时,1-|2+b|有最大值是2、已知b为正整数,且a、b满足|2a—4|+b=1,求a、b的值。 八”、x1x3心2x1x3 7•化简: ⑴;⑵ 4、如果2x+|4—5x|+|1—3x|+4恒为常数,求x的取值范围。 7、若|x5||X2|7,求x的取值范围。
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