考研数学三真题与解析.docx
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考研数学三真题与解析
2004年考研数学(三)真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)
若lim
sinx
b)
5,则a=______,b=______.
(cosx
x0ex
a
(2)
设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数
g(y)可微,且g(y)
0,则
2f
.
u
v
xex
2
1
1
设f(x)
2
x
2,则
2
(3)
1f(x1)dx
.
1
x
1
2
2
(4)
二次型f(x1,x2,x3)
(x1
x2)2
(x2
x3)2
(x3
x1)2的秩为.
(5)
设随机变量X服从参数为
λ的指数分布,
则P{X
DX}
_______.
(6)
设总体
X
服从正态分布
N(μ,σ2)
总体
Y
服从正态分布
N(μ,σ2)
X
X
2
X
n1
和
Y,Y,
Y
1
2
1
12
n2
分别是来自总体
X和Y的简单随机样本
则
n1
2
n2
2
(Xi
X)
(Yj
Y)
E
i1
n1
n2
j
1
.
2
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
函数f(x)
|x|sin(x
2)
(7)
x(x
1)(x
2)2在下列哪个区间内有界.
(A)(1,0).
(B)(0,1).
(C)(1,2).
(D)(2,3).
[
]
1
0,则
(8)
设f(x)在(
+
)内有定义,且
lim
f(x)a,g(x)
f(x
),x
x
0
x
0
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.
(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=
0处的连续性与
a的取值有关.
[
]
(9)
设f(x)=|x(1
x)|,则
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[]
(10)设有下列命题:
(1)若
(u2n1u2n)收敛,则
un收敛.
n1
n1
-1-
(2)
若
un收敛,则
un
1000收敛.
n1
n1
(3)
若lim
un
1
1,则
u发散.
n
un
n
n1
(4)
若
(un
vn)收敛,则
un,
vn都收敛.
n1
n1
n1
则以上命题中正确的是
(A)
(1)
(2).
(B)
(2)(3).
(C)(3)(4).
(D)
(1)(4).
[]
(11)设f(x)在[a,b]上连续,且
f(a)
0,
f(b)
0,则下列结论中错误的是
(A)
至少存在一点
x0
(a,b),使得f(x0)>f(a).
(B)
至少存在一点
x0
(a,b),使得f(x0)>f(b).
(C)至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0.
(D)至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)=0.[D]
(12)设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当|A|
a(a0)时,
|B|
a.
(B)当|A|
a(a
0)
时,|B|
a.
(C)当|A|
0时,|B|0
.
(D)当|A|0
时,
|B|
0.
[
]
(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*
0,
若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4
是非齐次线性方程组
Ax
b的
互不相等的解,则对应的齐次线性方程组
Ax0的基础解系
(A)
不存在.
(B)
仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量
.
(D)
含有三个线性无关的解向量.
[
]
(14)设随机变量X服从正态分布
N(0,1),对给定的α(0,1)
数uα满足P{X
uα}
α,
若P{|X|x}
α,则x等于
(A)
uα.
(B)uα.
(C)
u1α.(D)u1
α.
[
]
2
1
2
2
三、解答题(本题共9小题,满分
94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.)
(15)(本题满分8分)
求lim(
1
cos2x).
x0sin2x
x2
(16)(本题满分
8分)
-2-
求(x2y2y)d,其中D是由圆x2y24和(x1)2y21所围成的
D
平面区域(如图).
(17)(本题满分8分)
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
x
x
g(t)dt,x
b
b
a
f(t)dt
[a,b),f(t)dt
g(t)dt.
a
a
a
b
b
证明:
xf(x)dx
xg(x)dx.
a
a
(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为
Q=1005P,其中价格P
(0,20),Q为需求量.
(I)
求需求量对价格的弹性
Ed(Ed>0);
(II)
dR
Ed)(其中R为收益),并用弹性
Ed说明价格在何范围内变化时,
推导
Q(1
dP
降低价格反而使收益增加.
(19)(本题满分9分)设级数
x4
x6
x8
(
x
)
2
4
2
4
6
2
4
6
8
的和函数为S(x).求:
(I)S(x)所满足的一阶微分方程;
(II)S(x)的表达式.
(20)(本题满分13分)
α
(1,2,0)T
α
(1,α2,3α)T
α(1,b2,α2b)T
β(1,3,3)T
设1
2
3
试讨论当a,b为何值时,
(Ⅰ)
βα1,α2
α3
线性表示;
不能由
(Ⅱ)
β可由α1
α2,α3
唯一地线性表示,并求出表示式;
(Ⅲ)
β可由α1
α2,α3
线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
(21)(本题满分13分)
设n阶矩阵
-3-
1
b
b
A
b
1
b
.
b
b
1
(Ⅰ)
求A的特征值和特征向量;
(Ⅱ)
求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵.
(22)(本题满分
13分)
设A,B为两个随机事件,且P(A)
1
P(B|A)
1
P(A|B)
1
令
4
3
2
1,
发生,
1,
发生,
X
A
Y
B
,
不发生,
,
不发生
.
0
A
0
B
求
(Ⅰ)
二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)
X
与
Y
的相关系数
XY
ρ;
(Ⅲ)
Z
X2
Y2的概率分布.
(23)(本题满分13分)
设随机变量X的分布函数为
α
β
1
x
,
F(x,α,β)
x
α
x
,
,
0
α
其中参数α0,β1.设X1,X2,
Xn为来自总体X的简单随机样本,
(Ⅰ)当
α1
时,
求未知参数
β
的矩估计量;
(Ⅱ)当α1时,
求未知参数β的最大似然估计量;
(Ⅲ)当β
2时,
求未知参数
α
的最大似然估计量.
-4-
2004年考研数学(三)真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)
sinx
(cosxb)5,则a=
1
,b=
4
.
若lim
a
x0ex
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为
lim
sinx(cos
x
b
)5,且limsin
x
(cos
x
)
0,所以
a
b
x0ex
x
0
lim(ex
a)
0
,得a=1.
极限化为
x0
limsinx(cosxb)lim
x(cosx
b)
1b
5,得b=
4.
x0ex
a
x
0x
因此,a=1,b=
4.
【评注】一般地,已知
limf(x)=A,
g(x)
(1)若g(x)
0,则f(x)
0;
(2)若f(x)
0,且A0,则g(x)
0.
(2)
设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数
g(y)可微,且g(y)
0,
2f
g(v)
.
则
g2(v)
uv
【分析】令u=xg(y),v=y,可得到f(u,v)的表达式,再求偏导数即可.
【详解】令u=xg(y),v=y,则f(u,v)=
u
g(v),
g(v)
f
1
,
2f
g(v)
所以,
uv
g2
.
ug(v)
(v)
x2
1
x
1
xe
2
2
2
1
(3)设f(x)
,则
1f(x
1)dx
.
1
x
1
2
2
2
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:
x
1=t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
2
1
1
【详解】令x
1=t,1f(x1)dx
1f(t)dt1f(x)dt
2
2
2
1
2
1
1
1
=21xex
dx1
(1)dx0(
)
.
2
2
2
2
-5-
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.
(4)二次型f(x,x
x
)
(x
x
2
)2
(x
2
x
)
2
(x
x)2的秩为2.
1
2
3
1
3
3
1
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩
亦即标准型中平方项的项数
于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为f(x1,x2,x3)
(x1
x2)2
(x2
x3)2
(x3x1)2
2x
2
2x2
2x
2
2xx2xx
3
2x
x
3
1
2
3
1
2
1
2
2
1
1
于是二次型的矩阵为
A
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
由初等变换得
A
0
3
3
0
3
3
0
3
3
0
0
0
从而
r(A)
2,
即二次型的秩为
2.
【详解二】因为f(x1,x2,x3)
(x1
x2)2
(x2
x3)2
(x3x1)2
2x12
2x22
2x32
2x1x2
2x1x3
2x2x3
2(x1
1x2
1x3)2
3(x2
x3)2
2
2
2
2y1
2
3
y2
2
2
1
1
y1
x1
x3,
y2
x2
x3.
其中
x2
2
2.
2
所以二次型的秩为
(5)
设随机变量
X
服从参数为
λ
则
P{X
DX}
1
.
的指数分布,
e
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于DX
1
X的分布函数为
2,
λ
F(x)
1
eλx
x
0,
0,
x
0.
故
P{X
DX}1P{X
DX}
1P{X
1}1F(1
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