等腰三角形与等边三角形.docx

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等腰三角形与等边三角形

等腰三角形、等边三角形

1.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=1200．以D为顶点作一个60°角，

使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．

2.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=

3.

（1）如图1，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）

（2）如图2，

（1）中的结论还成立吗，为什么？

（3）如图3，在图中标出相应的字母P、Q、O的位置，并说明

（1）中的结论还成立吗，说明理由。

4.如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是120°，将120°角的顶点绕一个小正三角形的中心O旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（　　）

6.如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（　　）

7.如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（　　）

①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．

8.D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=度．

9.已知：

如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．

（1）求证：

DP=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长

10.已知如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．

（1）求证：

AC=BE；

（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数．

11.已知：

如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，

易证结论：

①BM=AN．

（1）请写出除①外的两个结论：

；

（2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数；

（3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）；

（4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化（填变化或不变）；

（5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN=BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

12.如图，D为等边三角形ABC的边BC上的一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接BE．

（1）求证：

BE=CD；

（2）分别取BE、CD的中点M、N，连接AM、AN、MN，试判断△AMN的形状，并给出证明．

13.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数

14.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD，求∠A的度数

15.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，

求∠AFD的度数

16.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数

17如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，

若BE=AC,BD=，DE+BC=1,求∠ABC的度数

18.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD求∠B：

∠C的值

19.如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E

求证：

DE=BD+AE

20.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：

DF、AD、AE间有什么样的大小关系

21.如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O，求证：

AE+CD=AC

22.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：

BC=BD+AD（两种方法）

23.如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD=60°，求证：

CD=AB-BC

24.已知：

如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线求证：

CD=CE

25.如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC，求证：

BD=ED

26.如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G，求证：

EG=FG

27.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：

AF=FC

28.如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE

求证：

AH=2BD

29.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°，求证：

AD=DC

30.如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD,求证：

EC=ED

31.如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H,求证：

EH⊥FH

32.如图所示，在△ABC中，CD是中线，∠CDB＝60°，把△BCD沿直线CD折叠，得△B′CD．如果AB′=3cm，求AB的长．

33.△ABC是等边三角形，D为三角形外一点，且∠ADB＝60°.求证：

AD＝BD+CD.

34.如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

【2】

35.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD=，ΔEFC的周长=。

【2】

36.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BGAD，求证：

BP=2PG。

37.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

【4】

38.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：

GH∥AB。

39.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M

是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

ΔCMN是等边三角形。

40.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：

ΔCMN为等边三角形。

41.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。

42.如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:

CPA=5:

6:

7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。

43.如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？

若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

43.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

求证：

AMN的周长等于2。

44.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。

（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？

（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？

（3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？

（4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三

45.选择题

（1）如果等腰三角形一个底角是30o，那么顶角是（）

（A）60o．（B）150o．（C）120o．（D）75o．

（2）、已知等腰三角形的周长为40ｃｍ，以一腰为边作等边三角形，其周长为45ｃｍ，则等腰三角形的底边长是（　　　　）A、5ｃｍ　　　　　B、10ｃｍ　　　　　C、15ｃｍ　　　　D、20ｃｍ

（3）．下列说法中，正确的是（）

（A）一个钝角三角形一定不是等腰三角形．（B）一个等腰三角形一定是锐角三角形．

（C）一个直角三角形一定不是等腰三角形．（D）一个等边三角形一定不是钝角三角形．

（4）、若△ABC的三边ａ、ｂ、ｃ满足

那么△ABC的形状是（　　　　）

A、等腰三角形　　B、直角三角形　　C、等边三角形　　D、锐角三角形

（5）、等腰△ABC中，AC＝AB，两腰中线交于一点O，则AO与BC的关系是（　　　　）

A、相等　　　B、互相垂直　　C、AO垂直平分BC　　D、AO、BC互相垂直

（6）.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（）

（A）20．（B）16．（C）16或20．（D）以上都不对．

（7）．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为（）

（A）60o．（B）120o．（C）60o或150o．（D）60o或120o．

（8）．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为45o，则这个三角形是（）

（A）锐角三角形．（B）钝角三角形．（C）等边三角形．（D）等腰直角三角形．

（9）．两根木棒的长度分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（）

（A）3种．（B）4种．（C）5种．（D）6种．

（10）．已知△ABC中，AB＝AC，且∠B＝

，则

的取值范围是（）

（A）

≤45o．（B）0o＜

＜90o．（C）

＝90o．（D）90o＜

＜180o．

（11）．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（）

（A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半．

（12）、如图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有（）个

A．1个B、2个C、3个D、4个

46.填空

（1）．①等腰三角形、、互相重合．

②△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=。

③在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y=；用含y的代数式表示x，得x=。

（2）．若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为．

（3）．等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是．

（4）．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．

（5）．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边为．

（6）．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）

A．80°B．90°C．100°D．108°

47.已知线段a,h,用直尺和圆规做等腰三角形ABC,底边BC=a,BC边上的高为h

（要求尺规作图，不写作法和证明）

└─────┘a

└──────┘h

48.如图，已知在△ABC中，∠A=75º，

∠B=35º，∠C=70º，请将这个三角形分成两个等腰

三角形吗。

（要求标出每个等腰三角形的内角度数）

49．已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．

50．如图，在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：

BD＝2CE．

51．如图，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：

DE＝DF．

52.如图，已知△ABC中，AD⊥BC，∠ABC＝2∠C，试说明AB＋BD＝CD的理由。

53.如图，在△ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数。

53．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90o，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证

（1）△ABD≌△ACE；

（2）AF⊥DE．

54．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE．求证：

AH＝2BD．

55．在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，AD的延长线交BC于点E，求证：

AE⊥BC，BE＝EC．

56．已知：

如图，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，BE与CD相交于O点．

（1）在不添辅助线的情况下，请写出由已知条件可得出的结论（例如，可得出△ABE≌△ACD，∠DOB＝∠EOC，∠DOE＝∠BOC等．你写出的结论中不能含所举之例，只要求写出4个）．①；②；③；④．

（2）就你写出的其中一个结论给出证明．已知：

如图AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，BE与CD相交于O点．求证：

．

57.在ΔABC中，AB=AC

1

（1），如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（2），如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（3），思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

____________________

2如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由

（1）

（2）（3）

58．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，

△ABC的高为h．“若点P在一边BC上［如图

（1）］，此时h3＝0可得结论：

h1＋h2＋h3＝h．”请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内［如图

（2）］，以及点P在△ABC外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立？

若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．

（1）

（2）（3）

59.已知：

如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，请说明AN=BM的理由。

现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在下面图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在

（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？

请说明理由。

（3）在

（1）得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论成立的理由。

60.如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPD=90°，求证：

（1）PE=PD

（2）若AB=2，求四边形PEAD的面积.

61.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB=∠DAE=90O,求证：

（1）BD=CE

（2）BD⊥CE

62.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB=∠DAE=90O,M是CD的中点，

求证：

（1）AM=

BE

（2）AM⊥BE

63.已知如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F，连接DF，求证：

∠ADC=∠DCF。

64.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE

的延长线于点F，求证：

AB垂直平分DF.

64.等腰三角形的一个底角的余角等于（）

A．顶角B．底边上高与一腰的夹角C．顶角的两倍D．一腰上高与另一腰的夹角

65.如图1，点A在y轴的正半轴上，以OA为边作等边三角形AOC．

（1）点B是x轴正半轴上的一个动点，如图1当点B移动到点D的位置时，连接AD，请你在第一象限内确定点E，使△ADE是等边三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）在

（1）的条件下，在点B的运动过程中，∠ACE的大小是否发生变化？

若不变，求出其度数；若变化，请说明理由．

（3）如图2，把你在

（1）中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转，使点E落在y轴的正半轴上E′的位置，得到正△AE′D′，连接CE′、OD′交于点F．现在给出两个结论：

①AF平分∠CAD′；②FA平分∠OFE′，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，并进行证明．

66.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF

67.如图在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、

∠ABC的角平分线，求证：

BQ+AQ=AB+BP

68.如图1，等边△ABC中，点G、H分别自B、C点出发，以等速沿在线段BC、线段CA运动，连接AG、GH交于F点。

（1）直接写出∠AFH的度数；（不证明）

（2）如图2，连接FC，当G、H运动到AG⊥CF时，求BF：

AF的值；

（3）如图3，若点G、P分别自B、A点出发，以等速沿线段BC、BA的延长线运动，连接PG、PC，求证：

PG、PC。

69.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，

，点C为

轴上一动点，以BC为边作等边△BCD。

（1）求证：

OC＝AD；

（2）求∠BAD的度数；

（3）当C点运动时，AE的长度是否发生变化？

70．已知△ABC是边长为5的等边三角形。

（1）如图，若P是BC上一点，过点C、P分别作AB、AC的平行线，两线相交于点Q，连BQ，AP的延长线交BQ于D，试问：

线段AD、BD、CD之间是否一定满足某种等量关系？

请写出他们之间等量关系并证明你的结论。

（2）如图，若P是BC延长线上一动点，连AP，以AP为边作等边△APE（E、A在直线BC同侧），连CE交AP于F，当P点滑动时，求CE－CP的值。

71．如图，A点在

轴正半轴上，以OA为边作等边△AOC，点B为

正半轴上一动点，连AB，在第一象限作等边△ABE。

（1）在点B运动过程中，∠ACE大小是否发生变化？

若不变，请求出其值；若变化，请说明理由。

（2）将正△ABE绕A点逆时针旋转，使E落在

轴正半轴E的位置，得正△

，其中

、

交于F，求证：

FA平分∠

。