奥数训练之韦达定理.docx
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奥数训练之韦达定理
奥数训练之韦达定理
一、不解方程。
求两根的代数式的值
Ⅰ、求两根对称式的值
对称式:
把式子中的两个字母x1、x2对掉后如果能和原式的值相等。
这样的式子叫对称式。
例如:
|x1-x2|把x1换成x2把x2换成x1后为|x2-x1|而|x1-x2|=︱x2-x1︱
所以|x1-x2|是轮换式,所有轮换式都可以转换成这两个字母和与积的混合运算。
在总体带入数值即可解答
例题:
已知:
方程3x2+5x+1=0的两根为x1、x2,不解方程.求下列代数式的值.
①
+
②x21+x22③x21x2+x1x22④(x1-3)(x2-3)⑤|x1-x2|⑥
+
Ⅱ、利用根的定义结合韦达定理求根的非对称式的值
例题:
已知:
方程3x2+5x+1=0的两根为x1、x2,不解方程.求下列代数式的值.
(1)3x21+5x1+x1.x2
(2)3x12+6x1+x2+x1x2
(3)4x21+x22+6x1+x2+10(4)3x13-5x22-x2+3
Ⅲ、求隐形根的代数式的值
以隐蔽的形式给出方程的根简称为隐形根
例题:
已知a、b为实数,且a≠b若满足
求
的值
结后语:
把上述的已知式可以改写成①a2=2a+1b2=2b+1或②a2-1=2ab2-2b=1可以求同样的问题,解决这类问题的一般方法是化为一般式
例题:
已知:
实数a、b满足
a·b≠1求:
的值
针对性练习
1、已知:
实数a、b满足
且a·b≠-1求:
的值
2、已知实数a≠b.且满足
求:
的值
3、已知
,求
的值
4、设实数 s、t满足
,求
的值
5、若正数x、y满足x+y=x·y求x+y的最小值
Ⅳ、注意陷阱
例题:
方程x2-x+1=0和2x2-3x-1=0的所有实根的和为
二、已知方程的根,求方程中的字母系数
Ⅰ:
已知一根可求一个字母的值
例题:
已知:
方程x2+mx+3=0有一个根为1.求:
另一个根及m
例题:
已知关于x的方程x2+(m-1)x+m2-1=0有一个根为0,求另一根及m的值
Ⅱ:
已知两根.可求两个字母系数的值.
例题:
已知方程x2+px+q=0的两个根为2和3,求p与q的值
例题:
已知关于x个方程x2+(p+q-1)x+3q-2=0的两个根为1和2.求:
p2+q的值为:
Ⅲ:
解两个根含三个字母系数的问题.
例题:
已知:
ax2+bx+c=0的两个根为2和3求:
的值
例题:
已知:
ax2+(b+1)x+c-2=0的两根分别为1和3,且a+2b+3c=6.求:
a、b、c.的值
三、已知两个根的关系式的值求方程中的字母系数.
例题:
已知关于x的一元二次方程:
x2-2(m+1)x+m2-3=0当两根满足下列关系时,分别求m的值,
(1)互为相反数,
(2)互为倒数,(3)有一根为0,(4)两根之比为
(5)两根的平方和为10
例题:
已知关于x的方程x2+4x+k-1=0的两根之差为6.求k值
例题:
已知关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根是x1、x2.而y1、y2是方程y2+5my+7=0的两根.且x1-y1=2.x2-y2=2求m、n的值
针对性练习:
1、已知:
关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两个根之比为2:
3判别式的值为1.求方程的根.
2、已知:
x1、x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根.且满足x21-x22=0.
求m的值
3、已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0.问:
是否存在实数m是方程的两个实数根的平方和等于56?
若实数m存在.求出m的值.若不存在.请说明理由.
4、已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根.且这两个根的平方和比两个根的积大21.求m的值
5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根.求m的值
6、已知方程组
的两组解为
,且x1,x2是两个不相等的实数,若
,
(1)求a的值
(2)不解方程组能否判断方程组的两组解都是正数,为什么?
感悟:
在求解过程中.涉及求根过程的不用检验△.忽略根的值.只用韦达定理形式解决问题的必须检验△)
四、作方程:
ax2+bx+c=0可化为:
x2+
x+
=0而x1+x2=-
.x1·x2=
原方程又可以写为x2-(x1+x2)x+x1x2=0
说明:
两个之和是一次项系数的相反数.两根之积为常数项.
Ⅰ:
直接给出两根.求做方程
例题:
以
和
为根的一元二次方程为:
Ⅱ:
已知方程.所求做方程的根与已知方程的根有联系.
例题:
已知方程3x2-5x+1=0的两个根分别为x1与x2.当y1与y2满足下列条件时分别写出两根为y1与y2的方程.
①y1=
.y2=
②y1=x2+2.y2=x2+2③y1=2x1.y2=2x2
④y1=-x1.y2=-x2⑤y1=x21.y2=x22(6)y1=
.y2=
五、由韦达定理构造方程
例题:
已知两数的和为5.这两个数的乘积为6.求这两数
例题:
解下列方程组.
(1)
(2)
例题:
已知:
x、y是正整数,并且xy+x+y=23,x2y+xy2=120求:
x2+y2的值
例题:
已知:
a+b=2.ab-c2=1求:
a、b、c的值
例题:
已知:
a、b、c均为实数.且a-b=8ab+c2+16=0求:
a、b、c.的值.
六、由韦达定理解决方程的根的分布
两根同为正的条件:
两根同为负的条件:
两根异号的条件:
x1x2<0
两根同大于a的条件:
两根同小于a的条件
一个大于a另一个小于a的条件:
(x1-a)(x2-a)<0
例题:
关于x的方程x2-(m+1)x+5-m=0.有两个正根求m的取值范围.
例题:
当m为何值时.方程x2-(m+1)x+m=0的两根都大于-1
例题:
当n取何值时方程x2-11x+30+n=0的两实根都大于5.
六、韦达定理在函数中的应用
例题(千104、4)设二次函数y=x2+x-1的图像与x轴交点的横坐标分别是x1、x2,
求x15+5x2的值
例题(千106、13)在直角坐标系中,抛物线
与x轴交于A、B(A点在B点左侧)两点,若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB且满足
,求m的值
例题(千109、6)设二次函数y=x2+2(cosθ+1)x+cos2θ(0°<θ≤90°)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,且∣x1-x2∣≤
求θ的取值范围
例题(千111、5)已知抛物线C:
y=x2-(k-2)x+(k+1)2
(1)求证:
不论k为何值,抛物线的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9上;
(2)要使抛物线C和x轴有两个不同的交点AB求k的取值范围;(3)当
(2)中AB间的距离取得最大值时,求此时的k值和∠AMB的度数(M是抛物线C的顶点)
例题4:
已知抛物线y=
x2-mx-m-
与x轴交于A、B两点与y轴交于点C,若
∠ACB=90°,求m的值
例题2:
在平面直角坐标系中,过点P(0,2)任作一条直线与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点为A、B,若∠AOB=90°
(1)判断AB两点的纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由
(2)确定抛物线y=ax2(a>0)对应的函数关系式
(3)当△AOB的面积为
时,求直线AB所对应的函数关系式
例题(千、83、例23)已知抛物线y=2x2+x+1和直线
,如果直线被抛物线所截得的线段长为
,求m的值
七、韦达定理在不等式中的应用
例题:
已知不等式x2-bx+c<0的解集是3<x<5,则a+b=
八、韦达定理在三角函数中的应用
例题:
已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根正好是某直角三角形两锐角的正弦值,求m的值
例题:
【千巧119】在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a,b是关于x的一元二次方程x2-(c+4)x+4c+8=0的两个根,且9c=25asinA.
(1)求证:
△ABC是直角三角形;
(2)求△ABC的三边长。
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