北师大版初中数学七年级下册《44 用尺规作三角形》同步练习卷1.docx
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北师大版初中数学七年级下册《44用尺规作三角形》同步练习卷1
北师大新版七年级下学期《4.4用尺规作三角形》
同步练习卷
一.填空题(共4小题)
1.如图所示,求作一个角等于已知角∠AOB.
作法:
(1)作射线 ;
(2)以 为圆心,以 为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以 为圆心,以 为半径画弧,交O′B′于点D′;
(4)以点D′为圆心,以 为半径画弧,交前面的弧于点C′;
(5)过 作射线O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角.
2.如图,使用直尺作图,看图填空:
(1)过点 和 作直线AB;
(2)连接线段 ;
(3)以点 为端点,过点 作射线 ;
(4)延长线段 到 ,使BC=2AB.
3.如图,使用圆规作图,看图填空:
(1)在射线AM上 线段 = ;
(2)以点 为圆心,以线段 为半径作弧交 于点 ;
(3)分别以点 和点 为圆心,以大于
PQ的长为半径作弧,两弧分别交于点 和点 ;
(4)以点 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB两边 , 于点 ,点 .
4.要画出∠AOB的平分线,分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接CF,DE,交于P点,那么∠AOB的平分线就是射线OP,要说明这个结论成立,可先说明△EOD≌△ ,理由是 ,得到∠OED=∠ ,再说明△PEC≌△ ,理由是 ,得到PE=PF;最后说明△EOP≌△ ,理由是 ,从而说明了∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.
二.解答题(共30小题)
5.已知:
线段AB和AB外一点C.
求作:
AB的垂线,使它经过点C(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
6.已知:
∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.
7.如图,已知点D为OB上的一点,按下列要求进行作图.
(1)作∠AOB的平分线OC;
(2)在OC上取一点P,使得OP=a;
(3)爱动脑筋的小刚经过仔细观察后,进行如下操作:
在边OA上取一点E,使得PE=PD,这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系,请写出∠OEP与∠ODP的数量关系,并说明理由.
8.如图,已知△ABC中,∠C=90°.在BC上求作点D,使AD=BD.当AC=4,CD=3时,求AB的长,(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)
9.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)求作:
△ABC的角平分线AD(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在
(1)的条件下,若AC=6,BC=8,求CD的长.
10.如图,在△ABC中,请用两种方法作出BC边的中线AD.(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
11.已知△ABC中,∠A=90°.
(1)请在图1中作出BC边上的中线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,设BC边上的中线为AD,求证:
BC=2AD.
12.已知:
如图,线段AB和射线BM交于点B.
(1)利用尺规完成以下作图.(不写作法,保留作图痕迹)
①在射线BM上作一点C,使AC=AB;
②作∠ABM的角平分线交AC于D点;
③在射线CM上作一点E,使CE=CD,连接DE.
(2)在
(1)所作的图形中,猜想线段BD与DE的数量关系,并说明理由.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,P是AB上任意一点(P与A不重合),PQ⊥BC,垂足为D.
(1)操作:
作∠BAC的平分线AE交PQ于点E(保留作图痕迹,不用写作法);
(2)图中是否存在与AP相等的线段?
若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由.
14.平面上有四个点A、B、C、D,按照以下要求作图:
(1)连接AB并延长AB至E,使BE=AB;
(2)作射线CB;
(3)在直线BD上确定点G,使得AG+GC最短.
15.如图所示,已知锐角∠AOB及一点P.
(1)过点P作OA、OB的垂线,垂足分别是M、N;(只作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想∠MPN与∠AOB之间的关系,并证明.
16.如图,∠AOB
(1)用尺规作出∠AOB的平分线OD.
(2)以OA为一边在∠AOB的外部画,∠AOB的余角∠AOC.
(画图时不要求写出画法,但要保留画图痕迹)
17.如图,平面内有A、B、C、D四点,按照下列要求画图:
(1)顺次连接A、B、C、D四点,画出四边形ABCD;
(2)连接AC、BD相交于点O;
(3)分别延长线段AD、BC相交于点P;
(4)以点C为一个端点的线段有 条;
(5)在线段BC上截取线段BM=AD+CD,保留作图痕迹.
18.按要求完成下列问题
如图,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图
(1)画直线AB、CD交于E点,画线段AC、BD交于点F,并连接E、F交BC于点G;
(2)连接AD,并在AD的反向延长线上截取一点M,使AM=AC;
(3)画射线BC,并反射延长BC到N点,使BN=BC.
19.如图:
在∠AOB的边OB上有一点C.
求证:
过点C作CD∥OA(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(l)作∠ABC的角平分线BD交AC于点D;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若CD=3,AD=5,求AB的长.
21.根据下列语句用圆规和直尺,在下面方框内作图,保留作图痕迹.
已知:
如图,∠MPN.
求作:
①∠AOB,使得∠AOB=∠MPN;
②∠AOB的平分线OC.
22.读句画图:
如图,直线CD与直线AB相交于C,根据下列语句画图:
(1)过点P作PQ∥CD,交AB于点Q;
(2)过点P作PR⊥CD,垂足为R.
23.作图题:
已知∠AOB,利用尺规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=2∠AOB.
24.如图,已知∠AOB=120°.点C在∠AOB的内部,且∠BOC=30°;OP是∠AOB的角平分线.
(1)作∠BOC;
(2)尺规作图:
作∠AOB的角平分线OP;(不写作法,保留作图痕迹.)
(3)若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向,则射线OB表示 方向;
(4)在图中找出与∠AOP互余的角是 ;
(5)在图中找出与∠AOB互补的角是 .
25.如图,直线AB、CD相交于O,P是CD上一点按要求画图并回答问题:
(1)过P点画AB的垂线段PE,垂足为E;
(2)过P点画CD的垂线段,与AB相交于F;
(3)说明线段PE、PO、FO三者的大小关系,其依据是什么?
26.如图,平面内有A,B,C,D四点,按下列语句画图.
(1)画射线AB,直线BC,线段AC;
(2)连接AD与BC相交于点E.
27.已知不在同一条直线上的三点P,M,N
(1)画射线NP;再画直线MP;
(2)连接MN并延长MN至点R,使NR=MN;(保留作图痕迹,不写作图过程)
(3)若∠PNR比∠PNM大100°,求∠PNR的度数.
28.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方,将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.
(1)几秒后ON与OC重合?
(2)如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC,求此时t的值.
(3)若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,那么经过多长时间OC平分∠MOB?
请画图并说明理由.
29.如图,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用直尺和圆规过点C作边AB的垂线,交AB于点D(要求:
不写作法,保留作图痕迹);
(2)若AC=12,BC=5,求CD的长.
30.已知∠AOB,求作∠A′O′B′=∠AOB,保留作图痕迹,并说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 .
31.如图,在△ABC中,AB=3cm,AC=5cm.
(1)作图:
求作一条直线分别交AC,BC于点D、E.使得BD=CD,DE⊥BC.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要要求写作法):
(2)在
(1)的条件下,连接BD,求△ABD的周长.
32.如图,直线AB、CD相交于点O,P是CD上一点,
(1)过点P画PE⊥AB于E
(2)过点P画PF⊥CD,与AB相交于点F
(3)将线段PF、PE、FO从小到大排列为 ,这样排列的依据是 .
33.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,使∠A′O′B′=∠AOB.
34.尺规作图:
已知∠AOB,求作∠A′O′B′.使∠A′O′B′=∠AOB.(保留作图痕迹,写出作法)
北师大新版七年级下学期《4.4用尺规作三角形》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共4小题)
1.如图所示,求作一个角等于已知角∠AOB.
作法:
(1)作射线 O′B′ ;
(2)以 点O 为圆心,以 任意长 为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以 点O′ 为圆心,以 OC的长(或OD的长) 为半径画弧,交O′B′于点D′;
(4)以点D′为圆心,以 CD的长 为半径画弧,交前面的弧于点C′;
(5)过 点C′ 作射线O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角.
【分析】求作一个角等于已知角∠AOB,只要在∠AOB的两边上取C,D,连接CD,在作射线O′B′,在O′B′上取点D′,使OD=O′D′,再利用圆的性质找出C′点,连接C′D′使△OCD≌△O′C′D′(SSS)即可.
【解答】解:
作法如下:
(1)作射线O′B′;
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以点O′为圆心,以OC的长(或OD的长)为半径画弧,交O′B′于点D′;
(4)以点D′为圆心,以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点C′;
(5)过点C′作射线O′A′,
则∠A′O′B′就是所求作的角.
【点评】本题考查了运用三角形全等的判定与性质,结合圆的性质作等角的方法,需同学们熟练掌握.
2.如图,使用直尺作图,看图填空:
(1)过点 A 和 B 作直线AB;
(2)连接线段 AB ;
(3)以点 O 为端点,过点 A 作射线 OA ;
(4)延长线段 AB 到 C ,使BC=2AB.
【分析】
(1)利用点与直线的位置关系即可求解;
(2)连接线段AB即可;
(3)利用射线的端点O积射线上的点A即可解决问题;
(4)延长线段AB到C,使BC=2AB.
【解答】解:
(1)过点A和B作直线AB;
(2)连接线段AB;
(3)以点O为端点,过点A作射线OA;
(4)延长线段AB到C,使BC=2AB.
【点评】本题的解决需熟练掌握常见的作图语言.
3.如图,使用圆规作图,看图填空:
(1)在射线AM上 截取 线段 AB = a ;
(2)以点 A 为圆心,以线段 r 为半径作弧交 FB 于点 C ;
(3)分别以点 P 和点 Q 为圆心,以大于
PQ的长为半径作弧,两弧分别交于点 M 和点 N ;
(4)以点 O 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB两边 OA , OB 于点 C ,点 D .
【分析】
(1)在射线AM上截取线段AB=a;
(2)以点A为圆心,以线段r为半径作弧交FB于点C;
(3)分别以点P和点Q为圆心,以大于
PQ的长为半径作弧,两弧分别交于点M和点N;
(4)以O点为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB两边OA,OB于点C,点D.
【解答】解:
(1)截取,AB,a;
(2)A,r,FB,C;
(3)P,Q,M,N;
(4)O,OA,OB,C,D.
【点评】本题需熟练掌握作图语言才能解决问题.
4.要画出∠AOB的平分线,分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接CF,DE,交于P点,那么∠AOB的平分线就是射线OP,要说明这个结论成立,可先说明△EOD≌△ FOC ,理由是 SAS ,得到∠OED=∠ OFC ,再说明△PEC≌△ PFD ,理由是 ASA ,得到PE=PF;最后说明△EOP≌△ FOP ,理由是 SSS ,从而说明了∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.
【分析】求∠AOB的平分线可利用三角形全等的性质作图.
【解答】解:
作法:
(1)分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接CF,DE,交于P点,
(2)连接OP即可,
∵OE=OF,∠EOF=∠EOF,OC=OD,
∴△EOD≌△FOC,∠OED=∠OFC,
在△PEC与△PFD中,∵∠OED=∠OFC,∠CPE=∠DPF,CE=DF,
∴△PEC≌△PFD,
故PE=PF,
在△EOP与△FOP中,OE=OF,PE=PF,OP=OP,
故△EOP≌△FOP,
故∠AOP=∠BOP,
即OP平分∠AOB.
【点评】此题考查了利用三角形全等求角平分线的方法,比较简便,是常用的方法.
二.解答题(共30小题)
5.已知:
线段AB和AB外一点C.
求作:
AB的垂线,使它经过点C(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
【分析】根据过直线外一点作一直直线垂线的方法即可得出结论.
【解答】解:
如图所示,直线CD即为所求.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.
6.已知:
∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.
【分析】以点O为圆心,以任意长为半径画弧,与边OA、OB分别相交于点M、N,再以点M、N为圆心,以大于
MN长为半径画弧,在∠AOB内部相交于点C,作射线OC即为∠AOB的平分线.
【解答】解:
如图所示,OC即为所求作的∠AOB的平分线.
【点评】本题考查了基本作图,主要是作角的平分线,是基本作图,需熟练掌握.
7.如图,已知点D为OB上的一点,按下列要求进行作图.
(1)作∠AOB的平分线OC;
(2)在OC上取一点P,使得OP=a;
(3)爱动脑筋的小刚经过仔细观察后,进行如下操作:
在边OA上取一点E,使得PE=PD,这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系,请写出∠OEP与∠ODP的数量关系,并说明理由.
【分析】
(1)以点O为圆心,以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交,再以两交点为圆心,以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧,相交于一点,过这一点与O作射线OC即可;
(2)在OC上取一点P,使得OP=a;
(3)以O为圆心,以OD为半径作弧,交OA于E2,连接PE2,作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN,利用HL证明△E2PM≌△DPN,得出∠OE2P=∠ODP,再根据平角的定义即可求解.
【解答】解:
(1)如图,OC即为所求;
(2)如图,OP=a;
(3)∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°.
理由是:
以O为圆心,以OD为半径作弧,交OA于E2,连接PE2,作PM⊥OA于M,
PN⊥OB于N,则PM=PN.
在△E2PM和△DPN中,
,
∴△E2PM≌△DPN(HL),
∴∠OE2P=∠ODP;
以P为圆心,以PD为半径作弧,交OA于另一点E1,连接PE1,
则此点E1也符合条件PD=PE1,
∵PE2=PE1=PD,
∴∠PE2E1=∠PE1E2,
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°,
∵∠OE2P=∠ODP,
∴∠OE1P+∠ODP=180°,
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是:
∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°.
【点评】本题主要考查了角平分线的作法,作一个角等于已知角,过直线外一点作已知直线的垂线,都是基本作图,需要熟练掌握,另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质.
8.如图,已知△ABC中,∠C=90°.在BC上求作点D,使AD=BD.当AC=4,CD=3时,求AB的长,(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)
【分析】作AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,先利用勾股定理计算出AD,从而得到BC的长,然后再利用勾股定理计算AB.
【解答】解:
如图,点D为所作,
在Rt△ACD中,AD=
=5,
∵AD=BD=5,
∴BC=3+5=8,
在Rt△ACB中,AB=42+82=4
.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:
熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)
9.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)求作:
△ABC的角平分线AD(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在
(1)的条件下,若AC=6,BC=8,求CD的长.
【分析】
(1)根据角平分线的尺规作图即可得;
(2)作DE⊥AB于点E,根据角平分线性质知DE=DC,继而可得AE=AC=6,设DE=DC=x,则BD=8﹣x,在Rt△BED中利用勾股定理可得x的值.
【解答】解:
(1)如图:
(2)过点D作DE⊥AB于E.
∵DE⊥AB,∠C=90°
∴由题意可知DE=DC,∠DEB=90°
又∵DE=DC,AD=AD
∴AD2﹣ED2=AD2﹣DC2
∴AE=AC=6
∵AB=10,
∴BE=AC﹣AE=4
设DE=DC=x,则BD=8﹣x
∴在Rt△BED中,(8﹣x)2=16+x2
∴x=3,
∴CD=3.
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图,解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等.
10.如图,在△ABC中,请用两种方法作出BC边的中线AD.(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
【分析】作BC的垂直平分线得到BC的中点,从而得到中线AD,如图1;分别以B、C为圆心,AC、AB为半径画弧得到平行四边形,然后利用平行四边形的性质得到中线AD.
【解答】解:
如图1,如图2,AD为所作.
【点评】本题考查了基本作图:
熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
11.已知△ABC中,∠A=90°.
(1)请在图1中作出BC边上的中线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,设BC边上的中线为AD,求证:
BC=2AD.
【分析】
(1)如图1,作BC的垂直平分线得到BC的中点D,从而得到BC边上的中线AD;
(2)延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC,从而得到BC=2AD.
【解答】
(1)解:
如图1,AD为所作;
(2)证明:
延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,
∵CD=BD,AD=ED,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∵∠CAB=90°,
∴四边形ABEC为矩形,
∴AE=BC,
∴BC=2AD.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:
熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形的判定与性质.
12.已知:
如图,线段AB和射线BM交于点B.
(1)利用尺规完成以下作图.(不写作法,保留作图痕迹)
①在射线BM上作一点C,使AC=AB;
②作∠ABM的角平分线交AC于D点;
③在射线CM上作一点E,使CE=CD,连接DE.
(2)在
(1)所作的图形中,猜想线段BD与DE的数量关系,并说明理由.
【分析】
(1)①以A为圆心,AB长为半径画弧交BC于C;②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线;③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E,再连接ED即可;
(2)根据角平分线的性质可得∠1=
∠ABC,根据等边对等角可得∠ABC=∠4,∠2=∠3,然后再证明∠1=∠3,根据等角对等边可得BD=DE.
【解答】解:
(1)如图所示.
(2)BD=DE.
理由如下:
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=
∠ABC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠4.
∴∠1=
∠4.
∵CE=CD,
∴∠2=∠3.
∵∠4=∠2+∠3,
∴∠3=
∠4.
∴∠1=∠3.
∴BD=DE.
【点评】此题主要考查了复杂作图,以及等腰三角形的性质,关键是正确画出图形,掌握等边对等角和等角对等边.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,P是AB上任意一点(P与A不重合),PQ⊥BC,垂足为D.
(1)操作:
作∠BAC的平分线AE交PQ于点E(保留作图痕迹,不用写作法);
(2)图中是否存在与AP相等的线段?
若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)利用尺规作出∠CAB的平分线即可;
(2)存在.结论:
PA=PE,只要证明∠PAE=∠PEA即可;
【解答】解:
(1)∠BAC的平分线如图所示;
(2)存在.PA=PE.
理由:
∵PD⊥BC,
∴∠C=∠PDB=90°,
∴AC∥PE,
∴∠CAE=∠AEP,
∵∠EAB=∠EAC,
∴∠PAE=∠PEA,
∴PA=PE.
【点评】本题考查作图、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握五种基本作图,属于中考常考题型.
14.平面上有四个点A、B、C、D,按照以下要求作图:
(1)连接AB并延长AB至E,使BE=AB;
(2)作射线CB;
(3)在直线BD上确定点G,使得AG+GC最短.
【分析】
(1)连接AB并延长AB至E,使BE=AB即可;
(2)作射线CB即可;
(3)连接AC交BD于点G,则点G即为所求.
【解答】解:
(1)如图;
(2)如图,射线CB即为所求;
(3)如图,点G即为所求.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知直线、射线的作法是解答此题的关键.
15.如图所示,已知锐角∠AOB及一点P.
(1)过点P作OA、OB的垂线,垂足分别是M、N;(只作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想∠MPN与∠AOB之间的关系,并证明.
【分析】
(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题;
(2)根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题;
【解答】解:
(1)过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示;
(2)猜想:
∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB.
理由:
左图中,在四边形PMON中,∵∠PMO=∠PNO=90°,
∴∠MPN+∠AOB=180°.
右图中,∵∠PJM=∠OJN,∠AMJ=∠JNO=90°,
∴∠MPN=∠AOB.
【点评】本题考查作图﹣基本作图,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.如图,∠AOB
(1)用尺规作出∠AOB的平分线OD.
(2)以OA为一边在∠AOB的外部画,∠AOB的余角∠AOC.
(画图时不要求写出画法,但要保留画图痕迹)
【分析】
(1)利用角平分线的作法得出OD即可;
(2)直接利用余角的定义进而得出符合题意的答案.
【解答】解:
(1)如图所示:
OD即为所求;
(2)如图所示:
∠AOC即为所求.
【点评】此题主要考查了基本作图以及余角的定义,正确掌握基本作图方法是解题关键.
17.如图,平面内有A、B、C、D四点,
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