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湍流的混沌理论

湍流的混沌理论

1湍流

流体流动时，如果流体质点的轨迹是有规则的光滑曲线，这种流动叫层流。

没有这种性质的流动叫湍流。

1959年J.欣策曾对湍流下过这样的定义：

湍流是流体的不规则运动，流场中各种量随时间和空间坐标发生紊乱的变化，然而从统计意义上说，可以得到它们的准确的平均值。

在直径为d的直管中，若流体的平均流速为v，由流体运动粘度v组成的雷诺数有一个临界值（大约为2300～2800），若Re小于该范围则流动是层流，在这种情况下，一旦发生小的随机扰动，随着时间的增长这扰动会逐渐衰减下去；若Re大于该范围，层流就不可能存在了，一旦有小扰动，扰动会增长而转变成湍流。

雷诺在1883年用玻璃管做试验，区别出发生层流或湍流的条件。

把试验的流体染色，可以看到染上颜色的质点在层流时都走直线。

当雷诺数超过临界值时，可以看到质点有随机性的混合，在对时间和空间来说都有脉动时，就是湍流。

不用统计、概率论的方法引进某种量的平均值就难于描述这一流动。

除直管中湍流外还有多种多样各具特点的湍流，虽经大量实验和理论研究，但至今对湍流尚未建立起一套统一而完整的理论。

大多数学者认为应该从纳维－斯托克斯方程出发研究湍流。

湍流对很多重大科技问题极为重要，因此，近几十年所采取的做法是针对具体一类现象建立适合它特点的具体的力学模型。

例如，只适用于附体流的湍流模型；只适用于简单脱体然后又附体的流动；只适用于翼剖面尾迹的或者只适用于激波和边界层相互作用的湍流模型等等。

湍流这个困难而又基本的问题，近年来日益受到了物理学界的重视。

研究湍流的起因和特性的理论，包括两类基本问题：

①湍流的起因，即平滑的层流如何过渡到湍流；②充分发展的湍流的特性。

层流过渡为湍流的主要原因是不稳定性。

在多数情况下，剪切流中的扰动会逐渐增长，使流动失去稳定性而形成湍流斑，扰动继续增强，最后导致湍流。

这一类湍流称为剪切湍流。

两平板间的流体受下板面加热或由上板面冷却达到一定程度，也会形成流态失稳，猝发许多小尺度的对流；上下板间的温差继续加大，就会形成充分发展的湍流。

这一类湍流称热湍流或对流湍流。

边界层、射流以及管道中的湍流属于前一类；夏天地球大气受下垫面加热后产生的流动属于后一类。

为了弄清楚湍流过渡的机制，科学家们开展了关于流动稳定性理论、分岔（bifurcation）理论和混沌（chaos）理论的研究,还进行了大量实验研究。

对于从下加热流层而向湍流过渡的问题，原来倾向于下述观点：

随着流层温差的逐渐增加，在发生第一不稳定后，出现分岔流态；继而发生第二不稳定，流态进一步分岔；然后第三、第四以及许多更高程度的不稳定接连发生；这种复杂的流动称为湍流。

实验结果支持这一论点。

但是，这一运动过程在理论上得不出带有连续谱的无序运动，而与实验中观察到的连续谱相违。

最近，对不稳定系统的理论分析提出了另一种观点：

在发生第一、第二不稳定之后，第三不稳定就直接导致一个可解释为湍流的无序运动。

这一观点也得到实验的支持。

剪切流中湍流的发生情况更为复杂。

实验发现，平滑剪切流向湍流过渡常会伴有突然发生的、作奇特波状运动的湍流斑或称过渡斑。

可以设想，许多逐渐形成的过渡斑，由于一再出现的新的突然扰动而互相作用和衰减，使混乱得以维持。

把过渡斑作为一种孤立的非线性波动现象来研究，有可能对湍流过渡现象取得较深刻的理解。

因此，存在着不止一条通向湍流的途径。

过去认为，一个机械系统发生无序行为往往是外部干扰或外部噪声影响的结果。

然而，最近观察到：

在某个系统里进行确定的基本操作会导致混乱的重复发生。

这类系统可认为含有一个能吸引系统维持混乱的奇怪吸引子。

这种混乱现象称为短暂混沌。

预期对这种短暂混沌的可普遍化特性的研究将会得到说明完全发展的无序现象（湍流）的新线索。

2混沌

当今，混沌现象已经在数理科学、生命科学、空间科学、地球科学和社会科学等各种领域中发现并开始得到应用，引起了人们极大的兴趣。

现在对高等学校的学生和一般工程技术人员来说，具有一定的混沌物理知识已很有必要。

2.1　什么是混沌

科学家们往往喜欢使用普通语言中引人注目的词汇来描述一些科学技术上的重要现象，混沌（chaos）一词正是如此。

汉语中“混沌”一词通常指宇宙形成以前模糊不清的景象（或状态）；而英文“chaos”一词的原意是指混乱、无秩序，引用到科学技术上通常表示无规运动。

在自然界中，人们经常会遇到具有随机性的无规运动（由不能预料的原因引起的一种运动形式），例如布朗运动。

这种无规运动的描述一般借助于概率论方法加以分析。

但这里讨论的混沌现象原则上不包括这种无规运动。

在日常生活和自然科学，甚至社会科学的许多系统中人们可以观察到许多规则运动现象，例如钟表摆的周期振动。

对于产生这类运动的体系（或系统）的描述往往借助于以经典力学的确定论方法。

过去人们总认为一个能够用确定论描述的系统，只要初始条件给定，系统今后的运动状态就可以完全确定下来；初始条件的微小变化，只能使运动状态发生微小改变，否则“轨道”概念就失去了意义。

虽然在确定论描述的系统中也有不稳定状态存在，但人们一直认为它们在相空间中总体积为零（即测度为零）。

所以我们总认为物理学以规则的可预言的方式表现其行为，代表性的论点是法国科学家拉普拉斯的名言：

“只要知道初条件就可以决定未来的一切。

”但是，自20世纪60年代以来，人们发现：

即使以确定论方法描述的系统,只要系统稍微复杂一些（一般指具有非线性因素），在一定的条件下也会产生非周期的、表面上看起来很混乱的无规运动。

简单地说，就是没有随机外力，在一定的外界和初始条件下，物理系统可以同时表现出决定的运动和随机运动[1]。

我们将这种来源于用确定论方法描述的系统中的无规运动称为混沌。

由于混沌是在确定论系统中出现的明显的随机运动现象，而这种运动现象产生于系统内部又称之为“内在随机性”。

2.2　混沌现象的诞生过程

尽管追述其历史，早在牛顿的确定论时代Poincare’于1881年发表的总题名为“微分方程定义的曲线”的一组论文中就提出了确定论系统的运动解对初始条件可能存在极其敏感地依赖性：

“一个我们未曾注意的原因造成了我们不能不理会的相当大的影响，于是我们说这种影响是因为偶然性。

我们以为，如果我们精确地知道自然规律以及宇宙在初始时刻的状态，我们就能精确地预言这同一宇宙在以后时刻的状态等等。

然而事情并非总是这样，初始条件的微小差别有可能造成结果的很大差别，前面（初始条件）的微小误差会引起后面（后续状态）的巨大误差，预测成为不可能的，我们有的是不规则的现象。

”但由于长期以来对运动的观察时间不够长，要求精度又不够高，思想上又受牛顿的确定论因果关系的束缚，所以，自彭加勒以来经近百年的时间才意识到混沌运动。

使用计算机数值计算，才使得对非线性系统的进一步分析成为现实。

近期促使混沌研究热起来的，却是基于60年代的两项研究工作。

一项工作是：

1963年美国气象学家劳伦兹（Lorenz）在作天气预报方程的研究分析时总在想，为什么每天的天气总不一样呢？

他用其设计的一种极简化的天气模型在计算机上计算天气的演化过程，先用六位小数例如X0=0.506127作初值，后用三位小数X0’=0.506作初值，结果发现初值的微小变化，取三位小数而不是六位产生了完全不同的结果。

可见，尽管方程是确定型的，但它对初始条件极其敏感，初值的微小变化，使预报长时期后的天气状态发生困难（但短期预报尚还可以），也就是说天气的长期预报是不可预测的。

劳伦兹将这个结果写了一篇论文，题目是《确定性的非周期流》，发表在美国的《大气科学》上，这篇论文是世界上第一篇发现混沌的论文，论文的题目也可以说是混沌的含义。

另一项工作是：

1964年由数学家柯尔莫哥洛夫提出，后来由阿诺德和莫泽分别独立地给出的一个定理，这个定理以他们名字的第一个字母命名为KAM定理。

这个定理告诉我们，对于一个可积哈密顿系统，运动轨道都限制在一个不变环面上，称为KAM环面，当系统受到一个很小的微扰时，环面仍然存在但会发生变形，其内部会出现被包住的混沌河；但当微扰进一步加大时，整个KAM环面破裂，外层出现混沌海，有些混沌河与海相连，这时总体上看大部分是随机运动。

劳伦兹依靠的是数值计算，KAM用的是严格的数学推理，两者相辅相成，奠定了混沌理论的基础。

至此，国际上对混沌的研究迅速地进入了一个新纪元。

混沌学的产生和完善，启发了人们对自然规律全新的认识。

2.3　混沌运动的特征

混沌的一个特征是不可能用解析的方法求解。

目前只能在给定参量和初值条件下用计算机对其演变进行数值计算，这是非线性系统的一种自发无序性或内在“混乱性”的表现。

混沌的一个显著特征是对初值的极端敏感性，即使描述系统的确定型方程是完全正确的，其他条件也十分确定，但只要系统初始状态的微小差别和过程进行中的微小扰动将导致完全不同的行为，长时间后会对后续运动产生极大的影响，以致不能用已知的确定型规律和初始条件来长期预言后续的运动状态（但短期预言尚还可能）。

所有的混沌系统都存在着所谓的“敏感区”，这未常不是它的另一个重要特征。

在敏感区，系统的未来行为对初始状态的微小差别和微小扰动非常敏感，可以把这些敏感区类比于剃刀刀刃，即它们是一些不稳定平衡区域。

另一个不稳定平衡区有下面这个例子说明：

如果小球沿斜坡下滑到山脊上，方向上的微小差别以及小的扰动（例如蝴蝶引起的扰动，在混沌理论里蝴蝶效应常用以代表微小冲量）将决定小球是留在山脊上还是滚下左侧或右侧。

这里，山脊是敏感区，是不稳定平衡区。

又例如，小球以刚好能达到墙顶的能量掷向一堵墙，能量和初始方向上的极小差别以及小的扰动将决定小球能否掷过墙，这里也存在着上述意义的敏感区。

而在非力学的混沌系统中也有广义的“脊”和“墙”，例如磁摆，从敏感区的角度来观察混沌系统，尽管在多次重复试验中摆的初始位置及作用在摆上的冲量是大体相同的，摆的行为却不再具有规则性。

显然易见，经过一段时间即系统多次经过敏感区后，系统的未来行为再也无法预言。

当然混沌系统同样遵从决定性定律，它的行为用对非混沌系统所用的类似方法预言——不过仅限于不长的时间周期内。

[2]

2.4　混沌运动的普遍性

在自然界和人类社会生活中绝大多数系统是非线性系统，现在已经清楚地知道，混沌现象存在于绝大多数的非线性系统之中，如在非线性振荡电路系统中，在固体物理的Josephson结的动力学系统中，在Belousov-Zhabotinskii化学反应系统中，在生态学生物种群个体数目随世代变化的系统中，甚至在一些社会经济的宏观或微观系统中都可以观测到混沌现象。

而线性系统只是非线性系统的一种简化或近似描述，就拿弹簧振子来说，线性振子只是一种理想情况，实际的振子都具有或大或小的非线性，都可以表现出混沌的运动。

混沌现象对即使非常简单的物理系统也是不可避免的。

在自然界中，混沌的过程比比皆是，不需作长久的观察我们自己就会确信有那么多的过程属于我们最日常的经验。

例如，一支点燃的香烟的烟，在分散成许多涡状和旋转的烟之前，以一个细细的柱状上升；地球的大气，是受强度不等的对流运动推动的；一片落叶并不是以直线方式落地，而是按一条异常复杂的迂回曲折的轨迹落地；穿越空间的运动物体，在其过后留下一条长长的痕迹。

所有这些人们不熟悉的不规则的过程，都是混沌运动的例证。

可见，混沌现象是自然界和人类社会生活中一种普遍现象，它是对自然的真实描述。

应当指出，混沌的这种不确定性结果并不是说自然界是不可知的，其实，混沌中有很好的规律性，它扩展了我们的认识和思维，只要我们认真认识混沌，研究混沌，掌握混沌，自然界虽复杂，毕竟是会逐步认识的。

3混沌理论在湍流中的应用

非线性科学的两大主体是分形和混沌，混沌是现象的深化，而分形是结构的深化，是刻划混沌运动的直观几何语言。

目前，混沌已经进入自然和社会科学的诸多领域，有着广泛的应用，并不断形成新的学科或新的研究领域[3]。

湍流是混沌的、随机的、无序的不可预测的系统，湍流中流体轨道行为的随机性及其复杂规律的刻划与描述一直是科学研究上的难题，湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”[4]。

湍流之所以如此难解，究其原因在于运用传统的数学方法，即线性的方法和观点去研究湍流这样的强非线性问题，无法取得突破性的进展。

而混沌理论在处理非线性问题方面具有明显的优越性，因此近年来它们在湍流研究中越来越被关注。

下面介绍近年来该研究的一些重要研究成果。

3.1　湍流的分形特征

湍流是一种典型的分形现象，其Kolmogorov图像就是大涡套小涡、小涡中再套更小的涡，这一嵌套结构显然是一种自相似结构[5]。

间隙、湍流斑这些拟序结构也表现出统计意义上的自相似性。

对于湍流的分形特征，一种解释是流体中的涡管在运动中不断地拉伸和折叠，根据Helmhotz定理，涡管不能在流动中消失，只能回避式的折叠。

与分子随机运动一样，涡管全部填满空间的可能性为零，呈不均匀分布，从而形成分形结构。

曼德布罗特和很多学者都将紊流图象当作分形的典型实例并做了大量研究工作。

文献[6]用实验证明了当系统的控制参数增加到特定值时，螺旋式的Taylor涡流吸引子的分维将会不连续地突然增加；文献[7]得出了紊流的等值面、层紊流交界面和耗散结构的分维；文献[8]通过信息熵和极值原理从理论上推导了耗散结构的分数维；文献[9]研究了几种典型湍流的边界线获得了K区的分维；文献[10]对圆形湍流射流和羽流进行了分维结构测量。

3.2　湍流的理论分形模型

湍流的理论分形模型主要集中在间歇模型和湍流扩散上。

继Richardson在1922年提出完全发展湍流由不同尺度的涡构成的思想后，Kolmogorov在1941年为完全发展湍流的理论研究提出了一系列重要概念，如能谱惯性子区的存在和-5/3次幂定律，形成了K41理论。

这个理论的核心之一是在惯性子区存在标度律。

Kolmogorov认为，这个标度律是普适性的，与大尺度脉动运动的统计特征、黏性耗散和流动环境无关。

但间隙性的存在暴露了K41理论的缺陷，因此,Kolmogorov和Obukhov等在1962年提出了修正自相似假设的K62理论。

文献[11]在1978年对间歇性完全发展湍流提出了湍流分形模型—β模型。

其关键假设是：

湍流的小尺度结构随着该尺度大小的减小，所占空间也变得越来越小，第n级涡只占第n-1级涡的体积的β部分（β<1）。

文献[12]在1990年根据Frisch导出的关系式，提出包含分维的新湍流尺度

（1）

式中，当D3=3时，l=（v3/ε）1/4就是经典的Kolmogorov尺度。

利用新的湍流尺度，可望将湍流模型与分形结合起来，从而改善现有湍流模型的特征，这是湍流模型改进的一个新方向。

文献[13]于1994年对完全发展湍流提出层次结构模型，该模型继承了K41理论的精髓，即惯性子区存在标度律，提出在完全发展湍流的惯性区，无量纲层次结构量之间有严格的自相似性，层次相似性反映了最强间隙结构与较弱的脉动结构之间的层次递推关系，认为层次结构由最高激发态与层次相似参数（间隙参数）共同决定，获得了简洁的标度指数公式[14]。

文献[15]对湍流射流的实验研究发现，速度结构函数的标度指数依赖于流动区域，而且扩展自相似（ESS）在近尾流区的剪切流中也遵循。

文献[16]在1997年基于双变量对数Poisson模型利用层次结构模型发展了被动标量在惯性区的间隙模型，得到了与实验相符的标度结构函数的标度指数公式。

但文献[17]对将层次结构模型运用于标度（如温度）结构函数的做法提出质疑，通过对圆柱尾流中被动标量的实验测量和理论分析，得到了标量——速度混合结构函数的标度指数公式。

该成果的一个引人注目之处就是，实验发现广义自相似在大大超出惯性区的尺度范围内存在。

文献[18]在对湍流预混火焰热图像序列进行分形分析的基础上，提出了一种基于分形理论的湍流预混火焰传播速度模型，该模型将小尺度涡团在火焰锋面的强化湍流扩散效应归结为对封面结果的改变上。

文献[19]从分析湍流场中局域中涡旋的串级结构出发，得到了颗粒与液相间的湍流涡旋裂变传质模型。

在湍流扩散中，文献[20]在1983年利用标度和分形概念考虑了完全发展湍流间歇性的影响，通过引入分维修正了著名的Richardson4/3次方定律。

1984年又根据Lovejoy关于云的分维的测量结构，提出了新的湍流相对扩散理论[21]。

近年来，国外一些学者正积极利用子波变换研究湍流问题[22]，成为湍流研究的热点之一。

3.3　湍流的发生与混沌的关系

在湍流发生和混沌的交叉研究领域中,已经取得了很多成果，开始认为湍流发生过程是流动由层流状态到达充分发展的湍流状态的混沌过程[23]，普遍的观点是：

混沌与湍流有一定的关系，但终究不是一回事。

文献[24]研究了Couetter-Taylor流动中关于奇怪吸引子的问题，并得到结论：

尽管流动可能是非周期的，但确是确定的，正如混沌一样。

文献[25]研究了管道流动的间歇中湍流的发生机理，证明与初始随机扰动的性质有关,并指出以分叉和混沌的观点来研究转捩具有一定的物理意义。

文献[26]也就管流中的“猝发”现象进行了类似研究。

文献[27]对平板边界层中湍流的发生与混沌动力学之间的联系进行了分析。

混沌的理论分析困难较大，在湍流中都是针对一些具体问题提出的。

作者认为其原因一方面是由于湍流实验专家还对试验中所观察到的现象是否真正的混沌意见并未统一，另一方面是混沌现象的实验研究还很困难。

重要的是，混沌机理并未完全探明而是刚刚起步，用混沌模拟湍流，或者说，研究湍流中的混沌现象，还处于积累时期，但混沌理论中许多新的思想和新的方法的确可以使我们不依赖于方程也能研究湍流的动力学行为。

3.4　湍流机理的混沌模拟

以法国科学家Temam为首的里昂学派证明二维的N-S方程的解在时间演化过程中会被逐渐吸收到一个有限维的吸收集中，并证明这系统有有限维的整体吸引子[28]。

引入惯性流形的概念，奇怪吸引子就是被嵌入到这种光滑的流形中。

惯性流形的存在标志着奇怪吸引子的存在。

Temam认为，从物理学观点来看，惯性流形就是把湍流中小涡和大涡联系起来的一种相互作用规律[28]。

三维的N-S方程

（2）

对所有的t，使方程

（2）的解u（x，t）都无界的点x的集合，维数最多为1

（分数维）。

文献[29]认为，用B-K-dV方程描述一维湍流，意义深刻，进一步分析指出B-K-dV方程

（3）

含有三种因子：

非线性、耗散和色散。

非线性可以使能量集中，也是产生混沌的重要因素。

耗散对应着熵增，它使过程具有不可逆性，色散使能量可聚可散。

非线性、耗散、色散三因子的互相作用可以解释湍流的许多性状。

如能量级串散裂是耗散作用占主导地位，小涡形成大涡的能量逆转现象则是非线性和色散共同作用的结果。

采用非线性、耗散和色散相互作用的机制，可以解释湍流的许多现象。

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