人教版七年级数学下册第五章第三节命题定理证明试题含答案50.docx
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人教版七年级数学下册第五章第三节命题定理证明试题含答案50
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明复习试题(含答案)
命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______.
【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形
【解析】
【分析】
逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形,结论为三个内角相等,互换即可.
【详解】
解:
命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.
【点睛】
本题考查逆命题的概念,解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念,知道题设和结论互换.
92.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是_______________,结论是______________.
【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线平行;
【解析】
【分析】
每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述.“如果”后面的内容是“题设”,“那么”后面的内容是“结论”.
【详解】
命题:
“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线,结论是这两条直线平行.
故答案是:
两条直线平行于同一条直线,这两条直线平行.
【点睛】
解决本题的关键是理解命题的题设和结论的定义.题设是命题的条件部分,结论是由条件得到的结论.
93.命题“相等的两个角是内错角”是__________命题(填“真”或“假”).
【答案】假
【解析】
【分析】
根据平行线的性质进而判断得出答案.
【详解】
解:
命题“相等的两个角是内错角”是假命题.
故答案为:
假.
【点睛】
本题考查了命题与定理,正确掌握平行线的性质是解题的关键.
三、解答题
94.
(1)证明:
“三角形内角和是180°”;
(2)请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题,判断这一逆命题是真命题还是假命题,如果是真命题给出证明,如果是假命题,说明理由.
【答案】
(1)详见解析;
(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质、平角的定义证明;
(2)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明
【详解】
(1)证明:
已知:
△ABC,求证:
∠BAC+∠B+∠C=180°,
证明:
过点A作EF∥BC,
∵EF∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∵∠1+∠2+∠BAC=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
即知三角形内角和等于180°
(2)解:
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形,是真命题.已知,如图,△ABC中,D是AB边的中点,且CD=
AB
求证:
△ABC是直角三角形,
证明:
∵D是AB边的中点,且CD=
AB,
∴AD=BD=CD,
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A,
∵BD=CD,
∴∠BCD=∠B,
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°,
∴2(∠ACD+∠BCD)=180°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【点睛】
本题考查命题与定理,解题的关键是掌握平行线的性质、平角的定义等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明.
95.锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,点E在边AB上.
①如果DE∥BC,那么DE=
BC
②如果DE=
BC,那么DE∥BC.
判断上述两个命题是否成立,若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.
【答案】成立,理由见解析
【解析】
【分析】
根据中位线定理和命题进行判断即可.
【详解】
①∵锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,DE∥BC,
∴AE=EB,
即DE是△ABC的中位线,
∴DE=
BC
故①正确;
②∵锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,DE=
BC,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC.
故②正确.
【点睛】
此题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
96.已知
,求证:
.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
假设a+b>2,则a>2﹣b,2=a3+b3>(2﹣b)3+b3,整理得出(b﹣1)2<0,导出矛盾式,从而可肯定原结论成立.
【详解】
假设a+b>2,则a>2﹣b,
故2=a3+b3>(2﹣b)3+b3,
即2>8﹣12b+6b2,
即(b﹣1)2<0,这不可能,
从而a+b≤2.
【点睛】
本题考查了不等式的证明,着重考查反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾,考查推理论证能力,属于中档题.
97.已知:
,求证:
.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
利用反证法进行证明即可.
【详解】
假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,
则有a2+b2+c2+d2+ab+cd﹣ad+bc=0,
可得(a+b)2+(a﹣d)2+(b+c)2+(d+c)2=0,
∴
,
∴b=﹣a,a=d,b=﹣c=d,有﹣a=a,即a=0,
∴ad﹣bc=a2﹣(﹣a•a)=0.
这与ad﹣bc=1矛盾,
∴假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1不成立,
故a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
【点睛】
本题考查了不等式的证明,正确运用反证法是关键.
98.证明:
不存在正整数m和n,使得
.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
假设存在整数m、n使得m2=n2+1994,因式分解后根据数的奇偶性可得(m+n)(m﹣n)是4的倍数或奇数,这与1994不是4的倍数且是偶数矛盾,故假设不成立.
【详解】
假设存在整数m、n使得m2=n2+1994,则m2﹣n2=1994,即(m+n)(m﹣n)=1994.
当m与n同奇同偶时,m+n,m﹣n都是偶数,
∴(m+n)(m﹣n)能被4整除,但4不能整除1994,此时(m+n)(m﹣n)≠1994;
当m,n为一奇一偶时,m+n与m﹣n都是奇数,
所以(m+n)(m﹣n)是奇数,
此时(m+n)(m﹣n)≠1994,
∴假设不成立则原命题成立.
【点睛】
本题考查了用反证法证明数学命题,根据m、n的奇偶性进行分类讨论是解题的关键.
99.设a是有理数,x是无理数,证明:
是无理数,且当
时,
是无理数。
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可.
【详解】
假设
是有理数,则
也是有理数,这与题中“
是无理数”矛盾,所以
是无理数.
同理假设
是有理数,
也是有理数,这与题中“
是无理数”矛盾,所以
是无理数.
【点睛】
本题考查了用反证法证明数学命题,推出矛盾,是解题的关键和难点.
100.证明:
是无理数.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
用反证法证明.假设
是有理数,则
(m、n为互质的整数),得到
,两边平方可得
,得到
为有理数,与已知
为无理数矛盾,即可得到结论.
【详解】
假设
是有理数,则
(m、n为互质的整数),
所以
,
两边平方得
,
.(
均为有理数).
因为有理数对四则运算是封闭的,
所以
为有理数,与已知
为无理数矛盾,
所以
是无理数.
【点睛】
本题考查了用反证法证明数学命题,掌握有理数可表示为
(m、n为互质的整数)是解题的关键.
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