版 第1章 1 集合的含义与表示.docx
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版第1章1集合的含义与表示
§1 集合的含义与表示
1.了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系.(重点)
2.理解并掌握集合中元素的三个特征.(重难点)
3.掌握集合的表示方法及几个常见数集的表示符号.(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 集合的含义
阅读教材P3“一般地”自然段及以上内容,完成下列问题.
集合与元素的概念
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母A,B,C,D,…标记.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.常用小写字母a,b,c,d,…表示集合中的元素.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合.( )
(2)分别由元素1,2,3和3,1,2组成的集合是相等的.( )
(3)方程x2-2x+1=0的解组成的集合含有两个元素.( )
【解析】
(1)因为“漂亮”没有明确的标准,其不满足集合中元素的确定性.
(2)因为元素“1,2,3”和“3,1,2”除顺序外均相同,故由其分别组成的两个集合是相等的.
(3)因为方程x2-2x+1=0虽然有两个相等的实数根1,但是其解集中仅有1个元素,不满足集合中元素的互异性.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
教材整理2 元素与集合的关系
阅读教材P3~P4从“给定一个集合A”开始至“π∈R等”之间的内容,完成下列问题.
1.元素与集合的关系
关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中,就说a属于集合A
a∈A
“a属于A”
不属于
若a不在集合A中,就说a不属于集合A
a∉A
“a不属于A”
2.常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+或N*
Z
Q
R
用“∈”、“∉”填空:
1.5________N;-1________Z;0.4________R;
________N*;
________Q.
【解析】 因为1.5不是自然数,所以1.5∉N;
因为-1是整数,所以-1∈Z;
因为0.4是实数,所以0.4∈R;
因为
不是正整数,所以
∉N*;
因为
是有理数,所以
∈Q.
【答案】 ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
教材整理3 集合的表示法
阅读教材P4“集合的常用表示法”至P5“一般地”以上内容,回答下列问题.
1.列举法
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的方法.符号表示为{,…,}.
2.描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫作描述法.符号表示为{|}.
用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x2-4=0的解的集合;
(2)不等式x+1>0的解集;
(3)函数y=x的图像上的点的集合;
(4)所有偶数组成的集合.
【解】
(1)方程x2-4=0的解的集合用列举法可表示为{-2,2}.
(2)不等式x+1>0的解集用描述法可表示为{x|x>-1}.
(3)函数y=x的图像上的点的集合用描述法可表示为{(x,y)|y=x}.
(4)偶数是能被2整除的数,可以写成x=2n(n∈Z)的形式,因此,偶数集用描述法可表示为{x|x=2n,n∈Z}.
教材整理4 集合的分类
阅读教材P5从“一般地”到“练习”上方的内容,完成下列问题.
集合
下列四个集合中空集是( )
A.{x∈R|0 C.{x∈R|x2+1=0}D.{x∈R|x2-1=0} 【解析】 当x∈R时,方程x2+1=0,即x2=-1无解,集合{x∈R|x2+1=0}为∅,显然A,B,D中的集合均为非空集合. 【答案】 C [小组合作型] 集合的含义 下列每组对象能否构成一个集合: (1)我们班的所有高个子同学; (2)不超过20的非负数; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4) 的近似值的全体. 【精彩点拨】 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定. 【尝试解答】 (1)“高个子”没有明确的标准,因此不能构成集合; (2)任给一个实数x,可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;(3)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以“ 的近似值”不能构成集合. 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,则不能构成集合. [再练一题] 1.下列所给的对象能构成集合的是__________. (1)所有正三角形; (2)必修1课本上的所有难题; (3)比较接近1的正整数全体; (4)某校高一年级的16岁以下的学生. 【解析】 序号 能否构成集合 理由 (1) 能 其中的元素满足三条边相等 (2) 不能 “难题”的标准是模糊的、不确定的,所以所给对象不确定,故不能构成集合 (3) 不能 “比较接近1”的标准不明确,所以所给对象不确定,故不能构成集合 (4) 能 其中的元素是“16岁以下的学生” 【答案】 (1)(4) 集合的表示法 用适当的方法表示下列集合. (1)被3除余2的整数; (2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集; (3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合; (4)直角坐标系内第二象限的点组成的集合. 【导学号: 04100000】 【精彩点拨】 (1)类比奇数表示为x=2k+1,k∈Z. (2)求出方程的解后用列举法表示.(3)联立直线方程组求出交点后用集合表示.(4)结合直角坐标系第三象限内点的符号特征表示. 【尝试解答】 (1)被3除余2的整数表示为3k+2,k∈Z,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈Z}. (2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=± ,故其解集用集合表示为{-1,- , }. (3)由 解得 故两直线的交点为(1,0). 用集合表示为{(1,0)}. (4)代表元素是有序数对(x,y),用描述法表示为{(x,y)|x<0,且y>0}. 1.常见的集合表示: (1)数集,如偶数集; (2)不等式(方程)的解集;(3)点集,如直线(曲线)上的点,曲线的交点等.注意: 点用有序实数对(x,y)表示. 2.列举法和描述法各有优点,应根据具体问题确定采用哪种表示方法,一般遵循最简的原则.另外当集合中元素较多或有无限个时,不宜采用列举法. [再练一题] 2.用适当的方法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集. (1)由所有非负奇数组成的集合; (2)由所有小于20,既是奇数又是质数的数组成的集合; (3)方程x2+x+2=0的实数解组成的集合; (4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合. 【解】 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为: A={x|x=2k+1,k∈N},也可以表示为{1,3,5,7,…},A是无限集. (2)满足条件的数有3,5,7,11,13,17,19,所以所求集合为 B={3,5,7,11,13,17,19},B是有限集. (3)因为方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,故无实根. 所以所求集合是空集,是有限集. (4)所求集合为C={(x,y)|x>0,y<0,且x∈R,y∈R},C是无限集. [探究共研型] 集合元素的特性 探究1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合? 某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 集合定义中“某些确定的”含义是什么? 【提示】 某班所有的“帅哥”不能构成集合,因“帅哥”无明确的标准;高于175厘米的男生能构成一个集合,因标准确定.“某些确定的”含义是: 集合中的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. 探究2 集合{a,a2}中,元素a能否为1? 【提示】 集合{a,a2}中,元素a不能等于1,因为当a=1时,a=a2=1,不满足集合元素的互异性. 探究3 “中国的直辖市”构成的集合中,元素包括哪些? 甲同学说: 北京、上海、天津、重庆;乙同学说: 上海、北京、重庆、天津.他们的回答都正确吗? 由此说明什么? 怎样说明两个集合相等? 【提示】 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市,因此两个同学的回答都是正确的,由此说明集合中的元素是无先后顺序的,这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样,我们就称这两个集合是相等的. 若集合A={a-3,2a-1,a2-4}且-3∈A,求实数a的值. 【精彩点拨】 按-3=a-3或-3=2a-1或-3=a2-4分三类情况分别求解a的值,注意验证集合A中元素是否满足互异性. 【尝试解答】 (1)若a-3=-3,则a=0,此时A={-3,-1,-4},满足题意; (2)若2a-1=-3,则a=-1,此时A={-4,-3,-3},不满足题意; (3)若a2-4=-3,则a=±1. 当a=1时,A={-2,1,-3},满足题意; 当a=-1时,由 (2)知,不满足题意. 综上可知,a=0或a=1. 1.本题以-3是否等于a-3或2a-1或a2-4为标准分类,从而做到“不重不漏”;在解含字母的问题时,常常采用分类讨论思想,注意分类标准的明确. 2.本题在求解过程中,常因忽视检验集合中元素的互异性,而导致产生增解-1. [再练一题] 3.已知x2∈{1,0,x},求实数x的值. 【解】 若x2=0,则x=0,此时集合为{1,0,0}, 不符合集合中元素的互异性,舍去. 若x2=1,则x=±1. 当x=1时,集合为{1,0,1},舍去; 当x=-1时,集合为{1,0,-1},符合. 若x2=x,则x=0或x=1, 由上可知,x=0和x=1都舍去. 综上所述,x=-1. 1.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为( ) A.函数y=x2的值域 B.函数y=x2的定义域 C.函数y=x2的图像上的点组成的集合 D.以上说法都不对 【解析】 由于集合M={y|y=x2}的代表元素是y,而y为函数y=x2的函数值,因此M应为y=x2的值域.故A正确. 【答案】 A 2.下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R;② ∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ①π∈R显然是正确的; ② 是无理数,而Q表示有理数集,∴ ∉Q,正确; ③N*表示不含0的自然数集,∴0∉N*,③错误; ④|-4|=4∈N*,④错误,所以①②是正确的,故选B. 【答案】 B 3.若集合A={3,m+1},且4∈A,则实数m=________. 【解析】 ∵4∈A,A={3,m+1}, ∴4=m+1,∴m=3. 【答案】 3 4.方程组 的解构成的集合用列举法表示是________. 【导学号: 04100001】 【解析】 由 得 ∴集合为{(5,-4)}. 【答案】 {(5,-4)} 5.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集; (2)在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合; (3)不等式x-2>6的解的集合; (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合. 【解】 (1)∵方程x(x2+2x+1)=0的解为0和-1, ∴解集为{0,-1}; (2){x|x=2n+1,且x<1000,n∈N}; (3){x|x>8}; (4){1,2,3,4,5,6}.
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- 第1章 集合的含义与表示 集合 含义 表示
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