小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:
熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边(含燕尾模型与风筝模型),掌握五大面积模型得各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高得两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;
如右图
③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图;
反之,如果,则可知直线平行于。
④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比。
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比.
如图在中,分别就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上),
则
图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中得比例关系(“蝶形定理"):
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;
另一方面,也可以得到与面积对应得对角线得比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
①
②;
③得对应份数为.
四、相似模型
(一)金字塔模型
(二)沙漏模型
①;
②。
所谓得相似三角形,就就是形状相同,大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:
⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例,并且这个比例等于它们得相似比;
⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方;
⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线.
三角形中位线定理:
三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具.
在小学奥数里,出现最多得情况就是因为两条平行线而出现得相似三角形。
五、共边定理(燕尾模型与风筝模型)
在三角形中,,,相交于同一点,那么。
上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、
典型例题
【例1】如图,正方形ABCD得边长为6,1、5,2.长方形EFGH得面积为 .
_
H
_
G
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
F
_
G
_
H
【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH得面积就是三角形DEF面积得二倍.
三角形DEF得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积,
所以长方形EFGH面积为33.
【巩固】如图所示,正方形得边长为厘米,长方形得长为厘米,那么长方形得宽为几厘米?
_
A
_
B
_
G
_
C
_
E
_
F
_
D
_
A
_
B
_
G
_
C
_
E
_
F
_
D
【解析】本题主要就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形).三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半。
证明:
连接。
(我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起).
∵在正方形中,边上得高,
∴(三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半)
同理,。
∴正方形与长方形面积相等。
长方形得宽(厘米)。
【例2】长方形得面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积就是多少?
【解析】解法一:
寻找可利用得条件,连接、,如下图:
可得:
、、,而
即;
而,.
所以阴影部分得面积就是:
解法二:
特殊点法.找得特殊点,把点与点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分得面积就就是得面积,根据鸟头定理,则有:
.
【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点,将正方形得一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与点连接,求阴影部分面积.
【解析】(法1)特殊点法.由于就是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与,所以阴影部分得面积为平方厘米.
(法2)连接、.
由于与得面积之与等于正方形面积得一半,所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米.
【例3】如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为70,,,四边形得面积为 .
【解析】利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积。
由于长方形得面积为,所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;
又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为.
另解:
从整体上来瞧,四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半,即60,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积,即,所以四边形得面积为.
【巩固】如图,长方形得面积就是36,就是得三等分点,,则阴影部分得面积为 。
【解析】如图,连接。
根据蝶形定理,,所以;
所以.
又,,所以阴影部分面积为:
。
【例4】已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边得中点,已知甲、乙、丙面积与为143,求阴影五边形得面积.(丙就是三角形)
【解析】因为、、分别为三边得中点,所以、、就是三角形得中位线,也就与对应得边平行,根据面积比例模型,三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为200.
根据图形得容斥关系,有,
即,所以。
又,所以.
【例5】如图,已知,,,,线段将图形分成两部分,左边部分面积就是38,右边部分面积就是65,那么三角形得面积就是 。
【解析】连接,。
根据题意可知,;;
所以,,,,,
于就是:
;;
可得.故三角形得面积就是40.
【例6】如图在中,分别就是上得点,且,,平方厘米,求得面积。
【解析】连接,,
所以,设份,则份,平方厘米,所以份就是平方厘米,份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。
由此我们得到一个重要得定理,共角定理:
共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比。
【巩固】如图,三角形中,就是得5倍,就是得3倍,如果三角形得面积等于1,那么三角形得面积就是多少?
【解析】连接。
∵
∴
又∵
∴,∴.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积就是甲部分面积得几倍?
【解析】连接.
∵,
∴,
又∵,
∴,∴,。
【例7】如图在中,在得延长线上,在上,且,
,平方厘米,求得面积。
【解析】连接, ,
所以,设份,则份,平方厘米,所以份就是平方厘米,份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。
由此我们得到一个重要得定理,共角定理:
共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比
【例8】如图,平行四边形,,,,,平行四边形得面积就是,求平行四边形与四边形得面积比。
【解析】连接、。
根据共角定理
∵在与中,与互补,
∴.
又,所以.
同理可得,,.
所以
.
所以.
【例9】如图所示得四边形得面积等于多少?
【解析】题目中要求得四边形既不就是正方形也不就是长方形,难以运用公式直接求面积、
我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:
把三角形绕顶点逆时针旋转,使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形得位置、这样,通过旋转后所得到得新图形就是一个边长为得正方形,且这个正方形得面积就就是原来四边形得面积、
因此,原来四边形得面积为、(也可以用勾股定理)
【例10】如图所示,中,,,,以为一边向外作正方形,中心为,求得面积.
【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置。
由于,,所以.而,
所以,那么、、三点在一条直线上.
由于,,所以就是等腰直角三角形,且斜边为,所以它得面积为。
根据面积比例模型,得面积为。
【例11】如图,以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形,,、交于。
已知、得长分别为、,求三角形得面积。
【解析】如图,连接,以点为中心,将顺时针旋转到得位置.
那么,而也就是,所以四边形就是直角梯形,且,
所以梯形得面积为:
().
又因为就是直角三角形,根据勾股定理,,所以()。
那么(),
所以()。
【例12】如下图,六边形中,,,,且有平行于,平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米,请问六边形得面积就是多少平方厘米?
【解析】如图,我们将平移使得与重合,将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了.这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米.
【例13】如图,三角形得面积就是,就是得中点,点在上,且,与交于点.则四边形得面积等于 。
【解析】方法一:
连接,根据燕尾定理,,,
设份,则份,份,份,如图所标
所以
方法二:
连接,由题目条件可得到,
,所以,
而。
所以则四边形得面积等于.
【巩固】如图,长方形得面积就是平方厘米,,就是得中点。
阴影部分得面积就是多少平方厘米?
【解析】设份,则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、
【例14】四边形得对角线与交于点(如图所示).如果三角形得面积等于三角形得面积得,且,,那么得长度就是得长度得_________倍。
【解析】在本题中,四边形为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.瞧到题目中给出条件,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就是得出一种解法。
又观察题目中给出得已知条件就是面积得关系,转化为边得关系,可以得到第二种解法,但就是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题。
解法一:
∵,∴,∴。
解法二:
作于,于。
∵,∴,∴,
∴,∴,∴。
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形得面积已知,
ﻩ求:
⑴三角形得面积;⑵?
【解析】⑴根据蝶形定理,,那么;
⑵根据蝶形定理,。
【例15】如图,平行四边形得对角线交于点,、、、得面积依次就是2、4、4与6.求:
⑴求得面积;⑵求得面积.
【解析】⑴根据题意可知,得面积为,那么与得面积都就是,所以得面积为;
⑵由于得面积为8,得面积为6,所以得面积为,
根据蝶形定理,,所以,
那么。
【例16】如图,长方形中,,,三角形得面积为平方厘米,求长方形得面积。
【解析】连接,。
因为,,所以。
因为,,所以平方厘米,所以平方厘米.因为,所以长方形得面积就是平方厘米。
【例17】如图,正方形面积为平方厘米,就是边上得中点.求图中阴影部分得面积。
【解析】因为就是边上得中点,所以,根据梯形蝶形定理可以知道
设份,则 份,所以正方形得面积为份,份,所以,所以平方厘米。
【巩固】在下图得正方形中,就是边得中点,与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就是 平方厘米.
【解析】连接,根据题意可知,根据蝶形定理得(平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米)。
【例18】已知就是平行四边形,,三角形得面积为6平方厘米.则阴影部分得面积就是 平方厘米.
【解析】连接。
由于就是平行四边形,,所以,
根据梯形蝶形定理,,所以(平方厘米),(平方厘米),又(平方厘米),阴影部分面积为(平方厘米)。
【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分得面积就是 平方厘米。
【分析】连接。
由于与就是平行得,所以也就是梯形,那么.
根据蝶形定理,,故,
所以(平方厘米).
【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分得面积就是平方厘米.
【解析】连接。
由于与就是平行得,所以也就是梯形,那么。
根据蝶形定理,,故,所以(平方厘米)。
另解:
在平行四边形中,(平方厘米),
所以(平方厘米),
根据蝶形定理,阴影部分得面积为(平方厘米).
【例19】如图,长方形被、分成四块,已知其中3块得面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为___________平方厘米.
【解析】连接、。
四边形为梯形,所以,又根据蝶形定理,,所以,所以(平方厘米),(平方厘米)。
那么长方形得面积为平方厘米,四边形得面积为(平方厘米)。
【例20】如图,就是等腰直角三角形,就是正方形,线段与相交于点。
已知正方形得面积48,,则得面积就是多少?
【解析】由于就是正方形,所以与平行,那么四边形就是梯形.在梯形中,与得面积就是相等得.而,所以得面积就是面积得,那么得面积也就是面积得.
由于就是等腰直角三角形,如果过作得垂线,为垂足,那么就是得中点,而且,可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为48.
那么得面积为.
【例21】下图中,四边形都就是边长为1得正方形,、、、分别就是,,,得中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就是最简分数,那么,得值等于 。
【解析】左、右两个图中得阴影部分都就是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积,再求阴影部分得面积.
如下图所示,在左图中连接。
设与得交点为。
左图中为长方形,可知得面积为长方形面积得,所以三角形得面积为。
又左图中四个空白三角形得面积就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为.
如上图所示,在右图中连接、.设、得交点为。
可知∥且.那么三角形得面积为三角形面积得,所以三角形得面积为,梯形得面积为。
在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理,其四部分得面积比为:
所以三角形得面积为,那么四边形得面积为。
而右图中四个空白四边形得面积就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为.
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为,即,
那么.
【例22】如图,中,,,互相平行,,
则 。
【解析】设份,根据面积比等于相似比得平方,
所以,,
因此份,份,
进而有份,份,所以
【巩固】如图,平行,且,,,求得长。
【解析】由金字塔模型得,所以
【巩固】如图,中,,,,,互相平行,
则
.
【解析】设份,,因此份,进而有份,同理有份,份,份。
所以有
【例23】如图,已知正方形得边长为,就是边得中点,就是边上得点,且,与相交于点,求
【解析】方法一:
连接,延长,两条线交于点,构造出两个沙漏,所以有,因此,根据题意有,再根据另一个沙漏有,所以.
方法二:
连接,分别求,,根据蝶形定理,所以。
【例24】如图所示,已知平行四边形得面积就是1,、就是、得中点,交于,求得面积。
【解析】解法一:
由题意可得,、就是、得中点,得,而,
所以,
并得、就是得三等分点,所以,所以
所以,;
又因为,所以。
解法二:
延长交于,如右图,
可得,,从而可以确定得点得位置,
,,(鸟头定理),
可得
【例25】如图,为正方形,且,请问四边形得面积为多少?
【解析】(法)由,有,所以,又,所以
所以,所以占得,
所以.
(法)如图,连结,则(,
而,所以,().
而(),因为,
所以,则(),阴影部分面积等于
()。
【例26】如右图,三角形中,,,求。
【解析】根据燕尾定理得
(都有得面积要统一,所以找最小公倍数)
所以
【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!
【巩固】如右图,三角形中,,,求、
【解析】根据燕尾定理得
(都有得面积要统一,所以找最小公倍数)
所以
【巩固】如右图,三角形中,,,求、
【解析】根据燕尾定理得
(都有得面积要统一,所以找最小公倍数)
所以
【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!
【例27】如右图,三角形中,,且三角形得面积就是,则三角形得面积为______,三角形得面积为________,三角形得面积为______.
【分析】连接、、。
由于,所以,故;
根据燕尾定理,,,所以
则,;
那么;
同样分析可得,则,,所以,同样分析可得,
所以,.
【巩固】如右图,三角形中,,且三角形得面积就是,求三角形得面积.
【解析】连接BG,份
根据燕尾定理,,
得(份),(份),则(份),因此,
同理连接AI、CH得,,所以
三角形GHI得面积就是1,所以三角形ABC得面积就是19
【巩固】如图,中,,,那么得面积就是阴影三角形面积得 倍.
【分析】如图,连接.
根据燕尾定理,,,
所以,,那么,.
同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就是阴影三角形面积得7倍。
【巩固】如图在中,,求得值.
【解析】连接BG,设1份,根据燕尾定理,,得(份),(份),则(份),因此,同理连接AI、CH得,,所以
【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就是相同得,那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就是相等得,这在这讲里面很多题目都就是用“同理得到”得,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线、
【例28】如图,三角形得面积就是,,,三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就是多少?
【解析】设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ,CM,CN.
根据燕尾定理,,,设(份),则(份),所以
同理可得,,,而,所以,.
同理,,所以,,,
【巩固】如图,得面积为1,点、就是边得三等分点,点、就是边得三等分点,那么四边形得面积就是多少?
【解析】连接、、.
根据燕尾定理,,,
所以,那么,。
类似分析可得.
又,,可得。
那么,。
根据对称性,可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积为.
【例29】右图,中,就是得中点,、、就是边上得四等分点,与交于,与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就是多少平方厘米?
【解析】连接、。
根据燕尾定理,,,所以;
再根据燕尾定理,,所以,所以,那么,所以。
根据题意,有,可得(平方厘米)
【例30】如图,面积为l得三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别就是AB、BC、CA得三等分点,求阴影部分面积、
【解析】三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!
令BI与CD得交点为M,AF与CD得交点为N,BI与AF得交点为P,BI与CE得交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求:
在中,根据燕尾定理,
设(份),则(份),(份),(份),
所以,所以,,
所以,
同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就是面积得
⑵求:
在中,根据燕尾定理,
所以,同理
在中,根据燕尾定理,
所以,所以
同理另外两个五边形面积就是面积得,所以
【例31】如图,面积为l得三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别就是AB、BC、CA得三等分点,求中心六边形面积、
【解析】设深黑色六个三角形得顶点分别为N、R、P、S、M、Q,连接CR
在中根据燕尾定理,,
所以,同理,
所以,同理
根据容斥原理,与上题结果
课后练习:
练习1.已知得面积为平方厘米,,求得面积。
【解析】,
设份,则份,份,份,份,恰好就是平方厘米,所以平方厘米
练习2.如图,四边形得面积就是平方米,,,,,求四边形得面积。
【解析】连接.由共角定理得,即
同理,即
所以
连接,同理可以得到
所以平方米
练习3.正方形得面积就是120平方厘米,就是得中点,就是得中点,四边形得面积就是 平方厘米。
【解析】欲求四边形得面积须求出与得面积。
由题意可得到:
,所以可得:
将、延长交于点,可得:
,
而,得,
而,所以
.
本题也可以用蝶形定理来做,连接,确定得位置(也就就是),同样也能解出。
练习4.如图,已知,,,,则.
【解析】将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转,构成三角形与,再连接,显然,,,所以就是正方形.三角形与三角形关于正方形得中心中心对称,在中心对称图形中有如下等量关系:
;;。
所以
.
练习5.如图,正方形得面积就是平方厘米,就是得中点,就是得中点,四边形得面积就是_____平方厘米。
【解析】连接,根据沙漏模型得,设份,根据燕尾定理份,份,因此份,,所以(平方厘米)、
练习6.如图,中,点就是边得中点,点、就是边得三等分点,若得面积为1,那么四边形得面积就是_________.
【解析】由于点就是边得中点,点、就是边得三等分点,如果能求出、、三段得比,那么所分成得六小块得面积都可以求出来,其中当然也包括四边形得面积。
连接、.
根据燕尾定理,,而,所以,那么,即。
那么,.
另解:
得出后,可得,
则。
练习7.如右图,三角形中,,且三角形得面积就是,求角形 得面积.
【解析】连接BG,12份
根据燕尾定理,,
得(份),(份),则(份),因此,
同理连接AI、CH得,,所以
三角形ABC得面积就是,所以三角形GHI得面积就是
月测备选
【备选1】按照图中得
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- 小学 平面几何 面积 模型