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人教版八年级上数学教案
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八年级上册数学教案
【中学】
2010年08月
第十一章全等三角形
11.1全等三角形
教学内容
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.
教学目标
1.知识与技能
领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.
2.过程与方法
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.
3.情感、态度与价值观
培养观察、操作、分析能力,体会全等三角形的应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
会确定全等三角形的对应元素.
2.难点:
掌握找对应边、对应角的方法.
3.关键:
找对应边、对应角有下面两种方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(2)对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
教具准备
四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.
教学方法
采用“直观──感悟”的教学方法,让学生自己举出形状、大小相同的实例,加深认识.
教学过程
一、动手操作,导入课题
1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点?
2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点?
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论,得出结论.
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.
学生在操作过程中,教师要让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细心.
【互动交流】剪出的多边形和三角形,可以看出:
形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“≌”表示.
概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:
平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形会全等吗?
【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:
两个三角形全等.
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母,并任意放置,与同桌交流:
(1)何时能完全重在一起?
(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?
【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论:
1.任意放置时,并不一定完全重合,只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.
3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,对应顶点在相对应的位置.
【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.
1.概念:
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.
2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.
【问题提出】课本图11.1─1中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?
对应角呢?
【学生活动】经过观察得到下面性质:
1.全等三角形对应边相等;
2.对应线段(边,中线,高,角平分线)相等;
3.全等三角形对应角相等;
4.全等三角形周长、面积相等.
二、随堂练习,巩固深化
课本P4练习.
【探研时空】
1.如图1所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB的长吗?
与同伴交流.(AB=6)
2.如图2所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.(∠AEC=30°,∠EAC=65°,∠ECA=85°)
三、课堂总结,发展潜能
1.什么叫做全等三角形?
2.全等三角形具有哪些性质?
四、布置作业,专题突破
1.课本P4习题11.1第1,2,3,4题.
2.选用课时作业设计.
板书设计
把黑板分成左、中、右三部分,左边板书本节课概念,中间部分板书“思考”中的问题,右边部分板书学生的练习.
疑难解析
由于两个三角形的位置关系不同,在找对应边、对应角时,可以针对两个三角形不同的位置关系,寻找对应边、角的规律:
(1)有公共边的,公共边一定是对应边;
(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角一定是对应角;两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角).
11.2.1三角形全等的判定(SSS)
Ø三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
Ø两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
Ø两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
Ø两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).
Ø斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
Ø角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(性质定理)
Ø到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(判定定理)
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SSS),及利用全等三角形进行证明.
教学目标
1.知识与技能
了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.
2.过程与方法
经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题.
3.情感、态度与价值观
培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识.
重、难点与关键
1.重点:
掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.
2.难点:
理解证明的基本过程,学会综合分析法.
3.关键:
掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.
教具准备
一块形状如图1所示的硬纸片,直尺,圆规.
(1)
(2)
教学方法
采用“操作──实验”的教学方法,让学生亲自动手,形成直观形象.
教学过程
一、设疑求解,操作感知
【教师活动】(出示教具)
问题提出:
一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.
【学生活动】观察,思考,回答教师的问题.方法如下:
可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.
【理论认知】
如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.
这六个条件,就能保证△ABC≌△A′B′C′,从刚才的实践我们可以发现:
只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.
信不信?
【作图验证】(用直尺和圆规)
先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗?
(即全等吗)
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证.(如课本图11.2-2所示)
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC:
1.画线段取B′C′=BC;
2.分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′;
3.连接线段A′B′、A′C′.
【教师活动】巡视、指导,引入课题:
“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律?
”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.
(1)判定方法:
三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论──边边边,在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验.
二、范例点击,应用所学
【例1】如课本图11.2─3所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.(教师板书)
【教师活动】分析例1,分析:
要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【评析】符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”;从例1可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写.
三、实践应用,合作学习
【问题思考】
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上,AD=FB(如图所示),要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
【教师活动】提出问题,巡视、引导学生,并请学生说说自己的想法.
【学生活动】先独立思考后,再发言:
“还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”
【教学形式】先独立思考,再合作交流,师生互动.
四、随堂练习,巩固深化
课本P8练习.
【探研时空】
如图所示,AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗?
你能找到一对全等三角形吗?
说明你的理由.(BC=EF,△ABC≌△DFE)
五、课堂总结,发展潜能
1.全等三角形性质是什么?
2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法?
3.“边边边”判定法告诉我们什么呢?
(答:
只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性)
六、布置作业,专题突破
1.课本P15习题11.2第1,2题.
2.选用课时作业设计.
板书设计
把黑板平均分成三份,左边部分板书“边边边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习.
疑难解析
证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已学过的重要结论.
11.2.2三角形全等判定(SAS)
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SAS),及利用全等三角形证明.
教学目标
1.知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法.
2.过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题.
3.情感、态度与价值观培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
重、难点及关键
1.重点:
会用“边角边”证明两个三角形全等.
2.难点:
应用结合法的格式表达问题.
3.关键:
在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.
教具准备投影仪、直尺、圆规.
教学方法采用“操作──实验”的教学方法,让学生有一个直观的感受.
教学过程
一、回顾交流,操作分析
【动手画图】
【投影】作一个角等于已知角.
【学生活动】动手用直尺、圆规画图.
已知:
∠AOB.
求作:
∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB.
【作法】
(1)作射线O1A1;
(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;(3)以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1A1于点C1;(4)以点C1为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D1;(5)过点D1作射线O1B1,∠A1O1B1就是所求的角.
【导入课题】
教师叙述:
请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD和△C1O1D1中相等的条件.
【学生活动】与同伴交流,发现下面的相等量:
OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1.
归纳出规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
【评析】通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.
【媒体使用】投影显示作法.
【教学形式】操作感知,互动交流,形成共识.
二、范例点击,应用新知
【例2】如课本图11.2-6所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
【教师活动】操作投影仪,显示例2,分析:
如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC就全等了.
证明:
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE
想一想:
∠1=∠2的依据是什么?
(对顶角相等)AB=DE的依据是什么?
(全等三角形对应边相等)
【学生活动】参与教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
【媒体使用】投影显示例2.
【教学形式】教师讲例,学生接受式学习但要积极参与.
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
三、辨析理解,正确掌握
【问题探究】(投影显示)
我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?
为什么?
【教师活动】拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.
操作教具:
把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图11.2-7),出现一个现象:
△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下:
(如图1所示)
(1)画∠ABT;
(2)以A为圆心,以适当长为半径,画弧,交BT于C、C′;(3)连线AC,AC′,△ABC与△ABC′不全等.
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.
【教学形式】观察、操作、感知,互动交流.
四、随堂练习,巩固深化
课本P10练习第1、2题.
五、课堂总结,发展潜能
1.请你叙述“边角边”定理.
2.证明两个三角形全等的思路是:
首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等.
六、布置作业,专题突破
1.课本P15习题11.2第3、4题.
2.选用课时作业设计.
板书设计
把黑板分成左、中、右三部分,其中右边部分板书“边角边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习题.
11.2.3三角形全等判定(ASA、AAS)
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的判定(ASA,AAS),及利用全等三角形的证明.
教学目标
1.知识与技能
理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.
2.过程与方法
经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.
3.情感、态度与价值观
培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.
2.难点:
学会综合法解决几何推理问题.
3.关键:
把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规.
教学方法
采用“问题教学法”在情境问题中,激发学生的求知欲.
教学过程
一、回顾交流,巩固学习
【知识回顾】(投影显示)
情境思考:
1.小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?
与同伴交流.
(1)
(2)
[答案:
能,因为根据“SAS”,可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH]
2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗?
[答案:
BC=DE(SSS)或∠BAC=∠DAE(SAS)].
3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?
试举例说明.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.
【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.
【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.
二、实践操作,导入课题
【动手动脑】(投影显示)
问题探究:
先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,
∠A′=∠A,∠B′=∠B:
1.画A′B′=AB;
2.在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A,
∠EBA′=∠B,A′D,B′E交于点C′。
探究规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
【知识铺垫】课本图11.2─8中,∠A′=∠A,∠B′=∠B,那么∠C=∠A′C′B′吗?
为什么?
【学生回答】根据三角形内角和定理,∠C′=180°-∠A′-∠B′,∠C=180°-∠A-∠B,由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.
【教师提问】在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图11.2─9),△ABC与△DEF全等吗?
【学生活动】运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下:
归纳规律:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).
三、范例点击,应用所学
【例3】如课本图11.2─10,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
AD=AE.
【教师活动】引导学生,分析例3.关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.
证明:
在△ACD与△ABE中,
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE
【学生活动】参与教师分析,领会推理方法.
【媒体使用】投影显示例3.
【教学形式】师生互动.
【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗?
【学生活动】与同伴交流,得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,拿出三角板进行说明,如图3,下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,但是它们不全等.(形状相同,大小不等).
四、随堂练习,巩固深化
课本P13练习第1,2题.
五、课堂总结,发展潜能
1.证明两个三角形全等有几种方法?
如何正确选择和应用这些方法?
2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题?
举例说明.
3.你在本节课的探究过程中,有什么感想?
六、布置作业,专题突破
1.课本P15习题11.2第5,6,9,10题.
2.选用课时作业设计.
板书设计
把黑板分成三部分,左边部分板书“角边角”、“角角边”判定法,中间部分板书例题、画图,右边部分板书练习.
11.2.4三角形全等的判定(综合探究)
教学内容
本节课主要内容是三角形全等的判定的综合运用.
教学目标
1.知识与技能
理解三角形全等的判定,并会运用它们解决实际问题.
2.过程与方法
经历探索三角形全等的四种判定方法的过程,能进行合情推理.
3.情感、态度与价值观
培养良好的几何思维,体会几何学的应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
运用四个判定三角形全等的方法.
2.难点:
正确选择判定三角形全等的方法,充分应用“综合法”进行表达.
3.关键:
把握问题的因果关系,从中寻找思路.
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规.
教学方法
采用“讲.练”结合的教学法,让学生充分体会到几何的分析思想.
教学过程
一、分层练习,回顾反思
【课堂演练】
1.已知△ABC≌△A′B′C′,且∠A=48°,∠B=33°,A′B′=5cm,求∠C′的度数与AB的长.
【教师活动】操作投影仪,组织学生练习,请一位学生上台演示.
【学生活动】先独立完成演练1,然后再与同伴交流,踊跃上台演示.
解:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=99°
∵△ABC≌△A′B′C′,∠C=∠C′,
∴∠C′=99°,
∴AB=A′B′=5cm.
【评析】表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应位置上,这时解题就很方便.
2.已知:
如图1,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,连接AO,∠1=∠2.
求证:
∠B=∠C.
【思路点拨】要证两个角相等,我们通常用的办法有:
(1)两直线平行,同位角或内错角相等;
(2)全等三角形对应角相等;(3)等腰三角形两底角相等(待学).
根据本题的图形,应考虑去证明三角形全等,由已知条件,可知AD=AE,∠1=∠2,AO是公共边,叫△ADO≌△AEO,则可得到OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD,而由上可知OE=OD,∠BOE=∠COD(对顶角),∠BEO=∠CDO(等角的补角相等),则可证得△OBF≌△OCD,事实上,得到∠AEO=∠AOD之后,又有∠BOE=∠COD,由外角的关系,可得出∠B=∠C,这样更进一步简化了思路.
【教师活动】操作投影仪,巡视、启发引导,关注“学困生”,请学生上台演示,然后评点.
【学生活动】小组合作交流,共同探讨,然后解答.
【媒体使用】投影显示演练题2.
【教学形式】分组合作,互相交流.
【教师点评】在分析一道题目的条件时,尽量把条件分析透,如上题当证明△ADO≌△AEO之后,可以得到OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到,但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识,有利于进一步思考.
证明在△AEO与△ADO中,
AE=AD,∠2=∠1,AO=AO,
∴△AEO≌△ADO(SAS),∴∠AEO=∠ADO.
又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠AOD=∠DOC+∠C.
又∵∠EOB=∠DOC(对应角),∴∠B=∠C.
3.如图2,已知∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:
AD=AE.
【思路点拨】欲证相等的
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