模块四 图形的认识与三角形.docx
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模块四图形的认识与三角形
一、相交线与平行线
1.(2015宜昌)如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E,∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
解析:
∵FE⊥DB,∵∠DEF=90°.∵∠1=50°,∴∠D=90°﹣50°=40°.
∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故选C.
2.(2015聊城)直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于( )
A.
58°
B.
70°
C.
110°
D.
116°
解析:
∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,∴∠3+∠5=180°,
即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,∴∠4=∠5=110°,故选C.
3.(2015崇左)下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( C )
A.
B.
C.
D.
4.(2015滨州)如图,直线AC∥BD,AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为( )
A.互余B.相等C.互补D.不等
解析:
∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°,
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,∴∠CAB=2∠OAB,∠ABD=2∠ABO,
∴∠OAB+∠ABO=90°,∴∠AOB=90°,∴OA⊥OB,故选A
5.(2015东营)如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于( )
A.50°B.30°C.20°D.15°
解析:
由题意得:
∠4=∠2=40°;由外角定理得:
∠4=∠1+∠3,
∴∠3=∠4﹣∠1=40°﹣20°=20°,故选C.
6.(2015昆明)如图,在△ABC中,∠B=40°,过点C作CD∥AB,∠ACD=65°,则∠ACB的度数为( )
A.60°B.65°C.70°D.75°
解析:
∵CD∥AB,∴∠A=∠ACD=65°,∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣65°﹣40°=75°
即∠ACB的度数为75°.故选D.
7.(2015毕节)如图,直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为( )
A.15°B.25°C.35°D.55°
解析:
过点C作CE∥a,∵a∥b,∴CE∥a∥b,
∴∠BCE=∠α,∠ACE=∠β=55°,∵∠C=90°,∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°.
故选C.
8.(2015黔南州)如图,下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥cD.若∠3+∠5=180°,则a∥c
解析:
A、若a∥b,b∥c,则a∥c,利用了平行公理,正确;
B、若∠1=∠2,则a∥c,利用了内错角相等,两直线平行,正确;
C、∠3=∠2,不能判断b∥c,错误;
D、若∠3+∠5=180°,则a∥c,利用同旁内角互补,两直线平行,正确;故选C.
9.(2015恩施州)如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的值为( )
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
70°
解析:
延长ED交BC于F,
∵AB∥DE,∠ABC=70°,
∴∠MFC=∠B=70°,
∵∠CDE=140°,
∴∠FDC=180°﹣140°=40°,
∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°,
故选B.
10.(2015宿迁)如图所示,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2是( )
A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角
解析:
如图所示,∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧,并且在第三条直线c(截线)的同旁,故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角.故选A.
11.(2015庆阳)已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内,下列四条命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥C.
其中真命题的是 ①②④ .(填写所有真命题的序号)
解析:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c是真命题,故①正确;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c是真命题,故②正确;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c是假命题,故③错误;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c是真命题,故④正确.
故答案为:
①②④.
12.(2015云南)如图,直线l1∥l2,并且被直线l3,l4所截,则∠α= 64° .
解析:
如图1,,
∵∠1+56°=120°,
∴∠1=120°﹣56°=64°,
又∵直线l1∥l2,
∴∠α=∠1=64°.
故答案为:
64°.
13.(2015永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 120 度.
二、三角形
1.(2015达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
解析:
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=24°,
∵∠A=60°,∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,
∵BC的中垂线交BC于点E,∴BF=CF,∴∠FCB=24°,∴∠ACF=72°﹣24°=48°,故选A.
2.(2015滨州)在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5,则∠C等于( )
A.45°B.60°C.75°D.90°
解析:
180°×
=
=75°即∠C等于75°.故选:
C.
3.(2015长沙)如图,过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
为△ABC中BC边上的高的是A选项.故选A.
4.(2015桂林)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,则外角∠ABD的度数是( )
A.110°B.120°C.130°D.140°
解析:
由三角形的外角性质的,∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.故选B.
5.(2015南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a>0)
解析:
A、∵10﹣5<6<10+5,∴三条线段能构成三角形,故本选项正确;
B、∵11﹣5=6,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误;
C、∵3+4=7<8,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误;
D、∵4a+4a=8a,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误.故选A.
6.(2015宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为( )
A.9B.12C.7或9D.9或12
解析:
当腰为5时,根据三角形三边关系可知此情况成立,周长=5+5+2=12;
当腰长为2时,根据三角形三边关系可知此情况不成立;
所以这个三角形的周长是12.故选:
B.
7.(2015连云港)在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 4:
3 .
解析:
∵AD是△ABC的角平分线,∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,∴h1=h2,∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:
AC=4:
3.
8.(2015盐城)如图,点D、E、F分别是△ABC各边的中点,连接DE、EF、DF.若△ABC的周长为10,则△DEF的周长为 5 .
9.(2015昆明)如图,在△ABC中,AB=8,点D、E分别是BC、CA的中点,连接DE,则DE= 4 .
解析:
∵在△ABC中,点D、E分别是BC、CA的中点,AB=8,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE=
AB=
×8=4.
10.(2015巴中)若a、b、c为三角形的三边,且a、b满足
+(b﹣2)2=0,则第三边c的取值范围是 1<c<5 .
11.(2015云南)如图,在△ABC中,BC=1,点P1,M1分别是AB,AC边的中点,点P2,M2分别是AP1,AM1的中点,点P3,M3分别是AP2,AM2的中点,按这样的规律下去,PnMn的长为
(n为正整数).
解析:
在△ABC中,BC=1,点P1,M1分别是AB,AC边的中点,点P2,M2分别是AP1,AM1的中点,点P3,M3分别是AP2,AM2的中点,
可得:
P1M1=
,P2M2=
,故PnMn=
,故答案为:
12.(2015聊城)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是
.
13.(2015陕西)如图,已知△ABC,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹,不写作法)
解:
如图,直线AD即为所求:
三、全等三角形
1.(2015娄底)如图,已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需添加一个条件,你添加的条件是 ∠ABD=∠CBD或AD=CD. .(只需写一个,不添加辅助线)
解析:
答案不唯一.
①∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∵
,
∴△ABD≌△CBD(SAS);
②AD=CD.
在△ABD和△CBD中,
∵
,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
故答案为:
∠ABD=∠CBD或AD=CD.
2.(2015永州)如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 3 .
解:
△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD=AE=2,AC=AB=5,
∴CE=BD=AB﹣AD=3.
3.(2015永州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:
∠ABC=∠EDC;
(2)求证:
△ABC≌△EDC.
(1)证明:
在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°,
∴∠B+∠ADC=180°,
又∵∠CDE+∠ADE=180°,
∴∠ABC=∠CDE,
(2)连接AC,由
(1)证得∠ABC=∠CDE,
在△ABC和△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(SAS).
4.(2015崇左)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE.求证:
BE=CD.
证明:
在△ADE和△AEB中,
,
∴△ADE≌△AEB,
∴BE=CD.
5.(2015通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:
△ABC与△DEC全等.
解:
∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠3=∠5,
在△ACD中,∠ACD=90°,
∴∠2+∠D=90°,
∵∠BAE=∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠D,
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(AAS).
6.(2015云南)如图,∠B=∠D,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC,并说明理由.
解:
添加∠BAC=∠DAC.理由如下:
在△ABC与△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
7.(2015昆明)如图,点B、E、C、F在同一条直线上,∠A=∠D,∠B=∠DEF,BE=CF.求证:
AC=DF.
证明:
∵BF=EC(已知),
∴BF+FC=EC+CF,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF(全等三角形对应边相等).
8.(2015温州)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:
AB=CD.
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
证明:
(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AB=CD;
(2)∵△ABE≌△CDF,
∴AB=CD,BE=CF,
∵AB=CF,∠B=30°,
∴AB=BE,
∴△ABE是等腰三角形,
∴∠D=
.
四、等腰三角形
1、(2015陕西)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
解析:
∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;
∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形;
在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形;
∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形;
∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,
∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形;∴图中的等腰三角形有5个.故选D.
2.(2015湘西州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为( )
A.36°B.60°C.72°D.108°
解析:
∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠1=∠A+∠ABD=72°,故选:
C.
3.(2015烟台)等腰三角形三边长分别为
,且
是关于
的一元二次方程
的两根,则
的值为(C)
A.9B.10C.9或10D.8或10
4.(2015南通)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC= 52 度.
解析:
∵AC=AD=DB,∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C,
设∠ADC=α,∴∠B=∠BAD=
,
∵∠BAC=102°,∴∠DAC=102°﹣
,
在△ADC中,∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°,∴2α+102°﹣
=180°,
解得:
α=52°.故答案为:
52.
5.(2015西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 110°或70° .
解析:
此题要分情况讨论:
当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;
当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,
故顶角是90°﹣20°=70°.
故答案为:
110°或70°
6.(2015攀枝花)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为 (2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4) .
解析:
∵四边形OABC是矩形
∴∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10,
∵D为OA的中点,
∴OD=AD=5,
①当PO=PD时,点P在OD得垂直平分线上,
∴点P的坐标为:
(2.5,4);
②当OP=OD时,如图1所示:
则OP=OD=5,PC=
=3,
∴点P的坐标为:
(3,4);
③当DP=DO时,作PE⊥OA于E,
则∠PED=90°,DE=
=3;
分两种情况:
当E在D的左侧时,如图2所示:
OE=5﹣3=2,
∴点P的坐标为:
(2,4);
当E在D的右侧时,如图3所示:
OE=5+3=8,
∴点P的坐标为:
(8,4);
综上所述:
点P的坐标为:
(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4);
故答案为:
(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4).
7.(2015成都)如图,直线m∥n,△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,则∠1= 45 度.
解析:
∵△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵直线m∥n,∴∠1=∠ABC=45°,质,以及平行线的性质,关键是证明∠2=∠3推出BC=CF.
8.(2015庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)求证:
BD平分∠CBA.
解:
(1)如图1所示:
(2)连接BD,如图2所示:
∵∠C=60°,∠A=40°,
∴∠CBA=80°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠A=∠DBA=40°,
∴∠DBA=
∠CBA,
∴BD平分∠CBA.
9.(2015青岛)【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.
【探究一】
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=3时,m=1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.
所以,当n=4时,m=0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=5时,m=1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=6时,m=1.
综上所述,可得:
表①
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
【探究二】
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)
(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
表②
n
7
8
9
10
m
2
1
2
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…
【问题解决】:
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③
n
4k﹣1
4k
4k+1
4k+2
m
k
k﹣1
k
k
【问题应用】:
用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了 672 根木棒.(只填结果)
解:
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,能搭成二种等腰三角形,
即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成3根木棒、3根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形
当n=7时,m=2.
(2)用8根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成2根木棒、2根木棒和4根木棒,则不能搭成一种等腰三角形,
分成3根木棒、3根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形,
所以,当n=8时,m=1.
用9根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成3根木棒、3根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当n=9时,m=2.
用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当n=10时,m=2.
故答案为:
2;1;2;2.
问题解决:
由规律可知,答案为:
k;k﹣1;k;k.
问题应用:
2016÷4=504,504﹣1=503,
当三角形是等边三角形时,面积最大,
2016÷3=672,
∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒.
10.(2015宿迁)如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:
∠C=2∠D.
证明:
∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∴∠ABC=∠CBD+∠D,
∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,
又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.
五、直角三角形与勾股定理
1.(2015毕节)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A.
,
,
B.1,
,
C.6,7,8D.2,3,4
解析:
A、(
)2+(
)2≠(
)2,不能构成直角三角形,故错误;
B、12+(
)2=(
)2,能构成直角三角形,故正确;
C、62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;
D、22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选:
B.
2.(2015宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为 5 .
解析:
∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=
AB,
又∵EF是△ABC的中位线,∴AB=2CD=2×5=10cm,
∴EF=
×10=5cm故答案为:
5.
3.(2015枣庄)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 8 .
4.(2015庆阳)在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为
cm.(结果保留π)
解析:
如图所示,
∵无弹性的丝带从A至C,
∴展开后AB=2πcm,BC=3cm,
由勾股定理得:
AC=
=
cm.
故答案为:
.
5.(2015东营)如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为
.
解析:
将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形
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