《动态几何型的函数问题点动型》教学案例.docx
- 文档编号:23345156
- 上传时间:2023-05-16
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:147.69KB
《动态几何型的函数问题点动型》教学案例.docx
《《动态几何型的函数问题点动型》教学案例.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《动态几何型的函数问题点动型》教学案例.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《动态几何型的函数问题点动型》教学案例
《动态几何型的函数问题——点动型》教学案例
【教学内容】动态几何型的函数问题——点动型
【教学对象】九年级学生
【教学分析】
几何知识历来是初中数学的重要内容之一,而动态几何型的函数问题是几何知识的重要部分,但学生在求解这类问题往往感觉比较棘手。
本节课放在中考备考复习的第二阶段,作为“动态几何型的函数问题”这一专题的第一课时。
本节课“点动型”的教学不一定能很好地解决问题,但是可以循序渐进地帮助学生对动点问题从感性的体会过渡到理性的认识,从而触类傍通地掌握动态几何型的函数问题的解题思路和解题策略,为今后的“线动型”和“面动型”动态几何型的函数问题的教学打下良好的数学基础。
【学情分析】
学生在学习本节课之前已经具有较好的数学基础知识和数学思想,而且他们具有强烈的好奇心和求知欲,具有较为严谨的数学思维能力。
但学生对动态几何型的函数问题的解答具有畏难情绪,存在一定的心理障碍,主要是学生缺乏对平面图形的想象力,很难将运动过程中的各种情况进行分类讨论,不能准确地探索运动过程中变量间的对应关系,化动为静,把动点问题转化定点问题来解决。
【教学目标】
◇知识与技能
(1)让学生掌握动点运动过程的不同阶段,化动为静,把动点问题转化定点问题来解决。
(2)掌握线段长度的表示方法。
(3)通过“点动型”的教学,进一步巩固学生的数学基础知识,发展学生的数学思维能力,培养学生的数学解题素养。
◇过程与方法
(1)学会从数学的角度发现问题和提出问题,并综合应用数学知识和方法等解决问题,增强应用意识,提高实践能力。
(2)经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,以能力立意,促进学生的自主探究能力,培养学生掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
◇情感态度与价值观
在运用数学知识解决问题的过程中,培养学生养成独立思考的学习习惯和坚毅、严谨的学习态度,发展学生对数学知识迁移整合的能力,感受数学的价值,进而激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】
将动点问题进行化动为静和分类讨论。
【教学难点】
探索运动过程中变量间的对应关系,掌握线段长度的表示方法。
【教学策略】
针对本节课的内容特点,在教学的过程中引导学生自主探究,鼓励学生合作交流、大胆表述,从而获取知识;并通过习题训练,使学生巩固已获取的知识。
【教学工具】PPT(幻灯片)、多媒体、几何画板
【教学过程】
一、课前练习,初步感悟
1.
如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是AB上的一个动点,则OP的最小值为
(第1题图)
师生活动:
(1)教师利用几何画板演示点P从线段AB的端点A移动到端点B的过程;学生通过教师的演示感受到OP的长度是一个从长到短,再从短到长的过程,发现当OP⊥AB时,OP的长度最短。
(2)教师引导学生运用垂径定理和勾股定理的数学依据,学生在教师的引导下自行求解出当OP⊥AB时,OP的长度。
设计意图:
这道题较易,在学习圆的有关知识时已经涉及到,目的是让学生感受到解决动点问题的瞬时状态,增强学生的信心。
◇训练1:
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C,若P是BC上的一动点,则DP的最小值为
A
BPC
(第2题图)
师生活动:
(1)学生审题容易发现这与第1道题一样,也是当DP⊥BC时,DP有最小值;教师肯定学生的同时提示学生借助角平分线的性质求解。
(2)学生自行解题,教师规范学生的解题过程。
设计意图:
巩固学生对动点问题的瞬时状态的真实感受,让学生获取成功感,激发进一步学习的兴趣。
◇派生题目:
3.
如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是从点A出发沿A→B移动到点B上,设AP的长为x,△OPA的面积为y,写出y与x的函数关系式。
(第3题图)
师生活动:
(1)教师引导学生要表示△OPA的面积可以运用三角形的面积公式;学生在教师的引导下,明确出可以以AP为底,点O到AB的距离为高。
(2)学生写出y与x的函数关系式,教师肯定、赞许学生的学习表现。
设计意图:
让学生初步感受要表示图形面积,无非是与图形有关线段的表示;派生题目设计得较为容易,目的是增强学生的自信心,激发学生的学习兴趣。
二、直击中考,实战演练
4.(2018年第10题)如图,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,点P的运动时间为x,则y关于x的函数图象为()
ADyyyy
P
BCOxOxO
AB
xOx
CD
(第4题图)
师生活动:
(1)教师先明确求三角形的面积公式无非就是底与高的表示,然后利用几何画板演示点P从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D的过程中底边AD长固定不变,启发学生把求三角形面积的问题转化成求三角形高的问题;学生在教师的指导下发现点P沿A→B路径时△PAD的高逐渐增大,点P沿B→C路径时
△PAD的高不变,点P沿C→D路径时△PAD的高逐渐减小。
(2)学生在教师启发下发现当点P沿A→B路径或沿C→D路径时△PAD的高与点P的运动时间x成一次函数关系,从而选择出正确的答案。
设计意图:
直击中考题,让学生感受中考氛围,启发学生在解决动点问题时要注意动点运动过程的分类讨论。
◇训练2:
5.(2016年第10题)如图,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是()
(第5题图)
师生活动:
(1)教师利用几何画板演示点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周的过程,学生通过小组讨论、合作、探索发现求解△APC的面积应当分为四个状态进行讨论:
点P在AB边上,点P在BC边上,点P在CD边上,点P在AD边上。
(2)学生形成共识,教师从旁指导。
设计意图:
巩固学生对动点问题分类讨论的数学思想,重视几何直观对学生的引领作
用。
◇训练3:
6.(2015年第10题)如图,已知正△ABC的边长为2,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是()
师生活动:
(1)教师强调此题的x取不同的数值,就是点E、F、G分别在AB、BC、CA上运动到不同位置处,引导学生往动点问题转化。
(2)教师引导学生发现△AEG、△BFE、△CGF两两全等,即这三个三角形的面积相等。
(3)教师引导学生明白此题无法直接表示出△EFG的面积,而是应该先表示出△ABC、△AEG的面积,然后利用割补法可得△EFG的面积。
(4)学生在教师的引导下明确出表示△EFG的面积的关键是表示出△AEG的底和高。
设计意图:
这道题比较难,一难在出现三个动点,二难在无法直接表示出△EFG的面积。
设计这道题的目的是引导学生要表示动态过程中的图形面积,关键在于华东为
静,表示出有关的线段长度,真正的理解数形结合的含义。
三、课后练习,巩固理解
7.(2017年第25题)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2
,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:
点B的坐标为;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?
若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:
=
;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
师生活动:
(1)教师布置课后练习,学生之间利用课后活动时间合作交流、共同探索,并自行组织解题思路。
(2)教师留待下节课讲解,并规范学生的解题。
设计意图:
设计这道题的目的是要培养学生的团队合作精神,培养学生分析问题、解决问题的能力和发展学生的数学思维能力;另外,也为下节课的“线动型”的教学做准备。
【教学反思】
这节课的主要内容是动态几何形的函数问题——点动型的教学,其核心解题策略是化动为静,寻找动点在运动过程在的各个不同阶段,从而进行分类讨论,然后把问题转化成线段长度表示的问题。
从“课前练习,初步感悟—直击中考,实战演练—课后练习,巩固理解”这三个环节展开教学,本着从易到难,逐层深入的原则进行设计。
由于课前准备充分,所以整节课教学过程较为流畅,教学环节相扣,重难点突出,基本上达到了课前预设的教学目标,使大部分学生能掌握动态几何形的函数问题——点动型的解题策略。
但同时存在一些值得反思的地方。
例如在讲解的过程中,关注思想方法、解题策略的提炼,忽略了一些题目的板书,让学生的解答格式有些欠缺。
通过这节课,我想只要在备课时能真正的将“备教材、备学生、用学生的眼光看教材”三者结合起来,那么我们就能让数学课不再枯燥,不再死板,让学生在愉悦的心情中学到知识,做好中考备考复习。
附:
本教学设计中出现的题目答案
1.解:
连接OA,过点OM⊥AB于M
∴AM=
1BP=
2
1⨯8=4
2
∵⊙O的直径为10
∴OA=5
在Rt∆AOM中,
OM=
=
=3
即OP的最小值为3
2.解:
根据垂线段最短,当DP⊥BC的时候,DP的长度最小,
∵BD⊥CD,即∠BDC=90°
又∵∠A=90°
∴∠A=∠BDC又∵∠ADB=∠C
∴∠ABD=∠CBD
又∵DA⊥BA,BD⊥DC
∴AD=DP=4
3.解:
连接OA,过点OM⊥AB于M
A
BPC
∴AM=
1BP=
2
1⨯8=4
2
∵⊙O的直径为10
∴OA=5
在Rt∆AOM中,
OM===3
∴S=1AP∙OM=3AP
∆OPA22
即y=3x
2
4.解:
设菱形的高为一个定值h分三种情况:
①当P在AB边上时,如图1,设菱形的高为h,
y=
AP•h,
∵AP随x的增大而增大,h不变,
∴y随x的增大而增大,故选项C不正确;
②当P在边BC上时,如图2,
y=
AD•h,
AD和h都不变,
∴在这个过程中,y不变,故选项A不正确;
③当P在边CD上时,如图3,y=PD•h,
∵PD随x的增大而减小,h不变,
∴y随x的增大而减小,
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D,
∴P在三条线段上运动的时间相同,故选项D不正确;故选:
B.
5.解:
设正方形的边长为a
当点P在AB边上运动时,y=1ax
2
当点P在BC边上运动时,y=1a(2a-x)=-1ax+a2
22
当点P在CD边上运动时,y=1a(x-2a)=1ax-a2
22
当点P在AD边上运动时,y=1a(4a-x)=-1ax+2a2
2
大致图象为:
故选:
C
6.解:
根据题意,有AE=BF=CG,且正三角形ABC的边长为2
∴BE=CF=AG=2-x
∴△AEG、△BFE、△CGF两两全等
在△AEG中,AE=x,AG=2-x
则S∆AEG
=1AE⨯AG⨯sinA=
2
3x(2-x)
4
即y=S
∆ABC
-
3S
∆AEG=
-3x(2-x)=
4
3(3x2-6x+4)
4
故可得其大致图象应类似于抛物线,且抛物线的开口向上故选:
D
7.解:
(1)∵四边形AOCB是矩形,
∴BC=OA=2,OC=AB=2
,∠BCO=∠BAO=90°,
∴B(2
,2).
故答案为(2
,2).
(2)存在.理由如下:
连接BE,取BE的中点K,连接DK、KC.
∵∠BDE=∠BCE=90°,
∴KD=KB=KE=KC,
∴B、D、E、C四点共圆,
∴∠DBC=∠DCE,∠EDC=∠EBC,
∵tan∠ACO=
=
,
∴∠ACO=30°,∠ACB=60°
①如图1中,△DEC是等腰三角形,观察图象可知,只有ED=EC,
∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°,
∴∠DBC=∠BCD=60°,
∴△DBC是等边三角形,
∴DC=BC=2,
在Rt△AOC中,∵∠ACO=30°,OA=2,
∴AC=2AO=4,
∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2.
∴当AD=2时,△DEC是等腰三角形.
②如图2中,∵△DCE是等腰三角形,易知CD=CE,∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,
∴∠ABD=∠ADB=75°,
∴AB=AD=2
,
综上所述,满足条件的AD的值为2或2
.
(3)①由
(2)可知,B、D、E、C四点共圆,
∴∠DBC=∠DCE=30°,
∴tan∠DBE=
,
∴
=
.
②如图2中,作DH⊥AB于H.
在Rt△ADH中,∵AD=x,∠DAH=∠ACO=30°,
∴DH=
AD=
x,AH==
x,
∴BH=2﹣
x,
在Rt△BDH中,BD=
=,
∴DE=
BD=
•,
∴矩形BDEF的面积为y=[]2=
(x2﹣6x+12),即y=
x2﹣2x+4,
∴y=
(x﹣3)2+,
∵
>0,
∴x=3时,y有最小值
.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 动态几何型的函数问题点动型 动态 几何 函数 问题 点动型 教学 案例