小学奥数学主要内容.docx

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小学奥数学主要内容

小学奥数学习的主要内容

1和差倍问题

和差冋题和倍冋题差倍冋题

已知条件

公式适用

范围

几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

已知两个数的和，差，倍数关系

①和一差）十2=较小数

公式

较小数+差=较大数

和-较小数=较大数

②（和+差）-2=较大数

较大数-差=较小数

和*（倍数+1）=小数

差r倍数-i）=小数

小数X倍数=大数

小数X倍数=大数

和-小数=大数

小数+差=大数

和-较大数=较小数

关键冋题

求出同一条件下的

差与倍数

和与差和与倍数

2.年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

2两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

3两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3.归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量;

4.植树问题

基本公式

5.鸡兔同笼问题

基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

1假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

2假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

3每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

4再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

1把所有鸡假设成兔子：

鸡数=（兔脚数x总头数-总脚数）宁（兔脚数—鸡脚数）

2把所有兔子假设成鸡：

兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）宁（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

6.盈亏问题

基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量.

基本题型:

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：

总份数=（余数+不足数）宁两次每份数的差

2当两次都有余数；

基本公式：

总份数=（较大余数一较小余数）宁两次每份数的差

3当两次都不足；

基本公式：

总份数=（较大不足数一较小不足数）宁两次每份数的差

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：

确定对象总量和总的组数。

7.牛吃草问题

基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：

确定两个不变的量。

基本公式：

生长量（较长时间x长时间牛头数-较短时间x短时间牛头数）+（长时间-短时间）；

总草量二较长时间x长时间牛头数-较长时间x生长量；

8周期循环与数表规律

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：

确定循环周期

闰年：

一年有366天；

1年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平年：

一年有365天。

1年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均数

基本公式：

①平均数二总数量+总份数

总数量二平均数X总份数

总份数二总数量+平均数

2平均数二基准数+每一个数与基准数差的和+总份数

基本算法：

1求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

2基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与

所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有

给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10.抽屉原理

抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

14=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m那么必有一个抽屉至少有：

1k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

2k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

11.定义新运算

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

2每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12.数列求和

等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用ai表示；

项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：

数列中任意相邻两个数的差，-

一般用

d表示；

通项：

表示数列中每一个数的公式，

一般用

an表示；

数列的和：

这数列全部数子的和，「

一般用

Sn^表示I.

基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,

d,n,sn,,通项公式中涉

及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：

通项公式：

an=a1+（n—1）d;

通项=首项+（项数一1）x公差；

数列和公式：

sn,=（a1+an）xn宁2；

数列和=（首项+末项）x项数宁2；

项数公式：

n=（an+a1）—d+1；

项数=（末项-首项）—公差+1；

公差公式：

d=（an—a1））—（n—1）；

公差二（末项—首项）+（项数—1）；

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13.二进制及其应用

十进制：

用0~9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20,百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2<102+3X10+4。

n・1n-2n-3n・4n・5n・7

=AnX10+A-ix10+A-2x10+A-3x10+A-4x10+A-6x10+……+

210

Ax10+Ax10+Ax10

注意：

N0=l;NX=N（其中N是任意自然数）

二进制：

用0~1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）=Anx2n-1+A-1x2n-2+A-2x2n-3+An-3x2n-4+A-4x2n-5+A-6x2n-7

210

++Ax2+Ax2+Ax2

注意：

An不是0就是1。

十进制化成二进制：

1根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

2先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。

14.加法乘法原理和几何计数

加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m种不同方法，在第二类方法中有m种不同方法，在第n类方法中有

m种不同方法，那么完成这件任务共有：

m+mt+mn种不同的

方法。

关键问题：

确定工作的分类方法。

基本特征：

每一种方法都可完成任务。

乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

mXm2Xmn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的完成步骤。

基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：

没有端点，没有长度。

线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

线段特点：

有两个端点，有长度。

射线：

把直线的一端无限延长。

射线特点：

只有一个端点；没有长度。

1数线段规律：

总数=1+2+3+…+（点数一1）;

2数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;

3数长方形规律：

个数=长的线段数X宽的线段数：

4数长方形规律：

个数=1X1+2X2+3X3+…+行数X列数

15.质数与合数

质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数,也叫做素数。

合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：

N二，其中a、a2、a3……an都是合数N的质因数，且ai

求约数个数的公式：

P=（ri+1）x（r2+1）x（r3+1）x……x（rn+1）

互质数：

如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。

16.约数与倍数

约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一

个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m

例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有：

1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：

1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：

6,记作（12,18）=6;

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：

先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：

12、24、36、48……;

18的倍数有：

18、36、54、72……;

那么12和18的公倍数有：

36、72、108……;

那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：

1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

17.数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：

如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。

2、常用符号：

整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“T”，所以的符号“二”；

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8125整除：

末三位的数字所组成的数能被8125整除。

4.能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7

整除。

2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被11整除。

2奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

3逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被13整除。

2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18.余数及其应用

基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a*b=qr，且

OvRvB那么R叫做A除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。

余数的性质：

1余数小于除数。

2若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

3a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

4a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19.余数、同余与周期

一、同余的定义：

1若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

2已知三个整数a、b、m如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记

作a三b（modm）,读作a同余于b模m

二、同余的性质：

1自身性：

a三a（modm）;

2对称性：

若a三b（modm）,贝卩b三a（modm）;

3传递性：

若a三b（modm）,b三c（modm）,贝Sa三c（modm）;

4和差性：

若a=b（modm）,c三d（modm）,贝Sa+c三b+d（modm）,a-c三b-d（modm）;

5相乘性：

若a三b（modm）,c三d（modm）,贝Saxc三

bxd（modm）;

6乘方性：

若a三b（modm）,贝San=bn（modm）;

7同倍性：

若a三b（modm），整数c,贝Saxc三bxc（modmxc）;

三、关于乘方的预备知识：

1若A=axb,则M=Mxb=（M）b

2若B=c+d则M二M+d二MxMd

四、被3、9、11除后的余数特征：

1一个自然数Mn表示M的各个数位上数字的和，则叶n（mod9）或（mod3）;

2一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和，丫表示M的各个偶数数位上数字的和，则M^Y-X或11-（X-Y）（mod11）;

五、费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1三1（modp）。

20.分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：

把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

分数单位：

把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：

表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

1逆向思维方法：

从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

2对应思维方法：

找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

3转化思维方法：

把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。

最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。

常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

4假设思维方法：

为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，

求出最后结果。

5量不变思维方法：

在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。

有以下三种情况：

A、分量发生变化，总量不变。

B、总量发生变化，但其中有的分量不变。

C总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

6替换思维方法：

用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

7同倍率法：

总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

8浓度配比法：

一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21.分数大小的比较

基本方法：

1通分分子法：

使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

2通分分母法：

使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子

的关系比较。

3基准数法：

确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

4分子和分母大小比较法：

当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

5倍率比较法：

当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。

（具体运用见同倍率变化规律）

6转化比较方法：

把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比

较。

7倍数比较法：

用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

8大小比较法：

用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

9倒数比较法：

利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

10基准数比较法：

确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22.分数拆分

一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

1=+；

②=+（d为自然数）；

23.完全平方数

完全平方数特征：

1.末位数字只能是：

0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：

乂-Y2二（X-Y）（X+Y

完全平方和公式：

（x+y2=X"+2Xy+Y

完全平方差公式：

（X-Y）2=^-2Xy+Y

24.比和比例

比：

两个数相除又叫两个数的比。

比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：

比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例：

表示两个比相等的式子叫做比例。

a:

b=c:

d或

比例的性质：

两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad二be。

正比例：

若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例：

若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：

图上距离与实际距离的比叫做比例尺按比例分配：

把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25.综合行程

基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：

路程二速度X时间；路程宁时间二速度；路程宁速度二时间关键问题：

确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：

速度和X相遇时间二相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：

追及时间=路程差—速度差（写出其他公式）

流水问题：

顺水行程二（船速+水速）X顺水时间

逆水行程=（船速-水速）X逆水时间

顺水速度二船速+水速

逆水速度二船速-水速

静水速度二（顺水速度+逆水速度）宁2

水速二（顺水速度-逆水速度）宁2

流水问题：

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：

关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：

画线段图法

基本题型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26.工程问题基本公式:

①工作总量二工作效率X工作时间

2工作效率二工作总量宁工作时间

3工作时间二工作总量宁工作效率

基本思路：

1假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

2假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：

确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：

合久必分，分久必合。

27.逻辑推理

基本方法简介：

1条件分析一假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。

例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

2条件分析一列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。

列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

3条件分析——图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。

例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

4逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要

进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条

件。

5简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，

从而得到问题的解决。

28.几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。

（斜边的平方除

以4等于等腰直角三角形的面积）

2梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

3圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29.

立体图形

名称

图形特征

表面积

体积

长

8个顶点；6个面；相对的面相

S=2（ab+ah+bh）

V=abh

方体

等；12条棱；相对的棱相等；

=Sh

正

8个顶点；6个面；所有面相等；

小小2

、,3

万体

12条棱；所有棱相等；

S=6a

V=a

圆柱体

上下两底是平行且相等的圆；侧

S=S侧+2S底

V=Sh

面展开后是长方形；

S侧=Ch

圆锥

下底是圆；只有一个顶点；1:

母线，顶点到底圆周上任意一点

S=S侧+S底

S侧=rl

V=Sh

体

的距离；

球

圆心到圆周上任意一点的距离

..3

体

是球的半径。

S=4r

V=r

30.时钟问题一快慢表问题

基本思路：

1、按照行程问题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；