基本的任意恒成立问题单参双参.docx
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基本的任意恒成立问题单参双参
基本的任意恒成立问题单参双
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2
a/八x(a-1)x-a(x-1)(xa)解:
(1)•/f(x)=x-_+(a-1)=
x
•••当—1 x€(0,-a) x€(-a,1) x€(1,当aw- x€(0, x€(1, 时,时,时, +m) 1时, 1)时,f-a)时, (X) (X) (X) >0, <0, >0, f(x) f(x) f(x) 为增函数;为减函数;为增函数. x€(—a, (2) (x)>0,ff(x)<0, (x)为增函数;f(x)为减函数; +8)时,f(x)>0,f(x)为增函数. (Xn)_f(Xi) >-1对对任意X1,X2€(1,+8),且X1^X2恒成立 不妨设X2X|,则上式等价于 f(X2)X2-(f(xjxj0在X(1,: : )恒成立 构造辅助函数 g(X)=f(x)+x, 则y=g(x)在(1,v)单调递增 ■/g'(X) =x—a+a,贝Ux x a -+a>0在x■(1,: : )恒成立 x 2 -x …a x-1 h(x)=——1—— (1)21 ()- XX ■/x(1,: : ).1(0,1)•h(x) x max=■: a-4 已知甬晝F(j)=-a^+Inj: 4-1UER). (DRife®數FGr)的单调性; (幼定文在R上的偶Bfi融在[0,+®)上递减,若不等式zE[h3]恒成立i求实效fl的取值范隅. 参变分离解决恒成立问题,本题综合了函数奇偶性和单调性,建立了不等式关系; 函数尹"肯阎晦数・且/〔时庄[0・+«O上j*比廿危1一《・的上逡也 2'<—ri亠I.r亠.;•-J1- A/(—«j+lnj+])+/ S/t-cj-r+ln6Sb M-l<-«j-+hij-bKlItx€Ck3]fijft立、即竽且心云生半2时』£[1・幻同时恒故比—7分谡車门■也£・#“)■上护.则麒©在[1心上逢増准2屈]±蛊比."("■■忒衬■丄.•——9分 JTJT亡 哉触Q■也■二1Z冲<0. JTX 1«触门榄[1.3]土递减.代加力―=触3)=上¥卫.11井 毎上申鮭什 已知毗自然对数的底轨弘)“宀+"[“・爪mw” ⑴设如当存十2「时’求弧g在(0,卡町上单调 "}若Vx>1,F(x)>/(X),求实数g的取值范.臥 (I)址明: 丁口=“‘了⑷"n心)' 廿⑴八+3乜 12分 r丄 *f81«.・■"・・・“・・卄—"■・・"・・F -紂黑工JT *单漓逐电 "J川在… f丄f Cgg上心 ")罠设Hgg 吸蹴巧丄]1 w^)=2e.-i_±. 叮2【,"严51” 一‘・尹工儿斤321. •"(町夜[【卄列内帥帥 2时•代肠⑴”即甘Wg : 当旦£4时.H\x)>4^a“ “当时rH(x)在[1,+刮内单遥递増. 二打住笛4,//(x)^// (1),BPF(x)>/(x)t 代/7f(x)=2er_1+! +-- X 当aa4时.由2«? r_l*2-白=0得x=t+ln(彳~DaI. 叉丁2e'~l+2-CJ关于兀单渭谨增・ 二当>4,l 八当24」"<“1畤一1)叭g)单谴瞬. 设X=1+血(£-1八则盹) 代当心瞅*十吨7八尺讣©)柚也竦上.若g比巩审3询咖浒为… 所以f'(x)=ex丄_1.当x时,f"(x 故fx的单调递减区间为(_二,1),单调递增区间为(1,;). (H)令g(x)二f(x)_m(x—1)1nx,x0. vAAA 则g(x)=ex--m(lnx_)-1,令h(x)二g(x),贝Uh(x)二ex」_m (2)二 xxx 所以h(x)即g(x)在(1,;)上单调递增.又因为g (1)=0,所以当x1时,g(x)0,从而g(x)在[1,•: : )上单调递增,而g (1)=0,所以g(x)0,即f(x).m(x-1)1nx成立; (ii)若m〉1,可得h"(x)=ex二—m(一+A)在(0,亦)上单调递增. 2xx 1 因为h (1)=1_2m: : : 0,h(1ln(2m))=2m-m{2}■0, 1+1n(2m)[1+1n(2m)] 所以存在x一^(1,1+1n(2m)),使得h"(x)=0, 且当(1,x)时,h(x)<0,所以h(x)即g(x)在(1,x)上单调递减,又因为g (1)=0,所以当x三(1,x一)时,g(x): : : 0, 从而g(x)在(1,x)上单调递减, 亠1 以上部分的分析似乎让题目变得复杂: 当m,m= 2 单调递减,: -,+: : h'x0,hx单调递增,由hx图象可知,1「,hx: : 0,gx单调递减,可得。 而g (1)=0,所以当x(1,x)时,g(x): : 0,即即f(x)m(x—1)lnx不成立.纵上所述,k的取值范围是(一二,\ 2 已知函数f(x)lnx. x (I)求函数f(x)在x=1处的切线方程。 (n)若a为实数,函数f(x)在区间(a,a1)上的有极值,求a的取值范围; (川)试问是否存在k,b・N,使得ex.kxb.f(x)恒成立? 若存在,请写出k,b的值,并证明你的结 论;若不存在,请说明理由。 双参,连不等式,恒成立,采用了先找后证明的方式; Inx 解: (I)因为f(X)2,f (1)=0所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=1 x 1+1nxlnx (n)因为f(x),x0,由f(x)二…2,令f(x)=0,得x=1 xx 当0: : x: : : 1时,f(x)•0;当x1时,f(x): : : 0 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,=)上单调递减。 所以函数f(x)在x=1处取得极大值。 因为函数f(x)在区间a,a1上有极值, 所以a: 1: a1,解得0: : a: : 1。 (III)因为y二ex过点(0,1),结合函数y二ex的图象可知,当b_1时,直线y=kx,b与函数y二ex的图象恒有公共点,不合题意,所以b: : : 1,又bN,故b=0。 在不等式exkxbf(x)中,令x=1,得ek•1,又kN,所以k=2。 以下证明k=2,b=0时命题成立,即证exkxbf(x)恒成立 e亠xex1+1nx 因为e■2xf(x)22。 (*) xx xxx exe—e- (i)设g(x),则g(x)2,令g(x)=0,得x=1。 xx x 则g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,七)上单调递增。 所以g(x)_g (1)=e2,即不等式e2成立。 x (ii)设h(x)J—? x,则h(x)=x二2x(1_lnx)_Sx x ■1 令h(x)=0,得x=,则h(x)在区间(0, 所以h(x)乞h( 2,即不等式2: : : 2成立。 2x 所以 1 h(x^x-1 xxlnx x-1 解: (I)h(x)=f(x1)-g/(x)=1n(x1)-x2,x_1, x1 综上可知(*)式成立,即存在k=2,b=0满足题意。 已知函数fx;=xe公. (I)求函数fx的单调区间和极值; (n)当0: : : x: : : 1时,fx.fIk,求实数k的取值范围. lx丿 当-1: : : x: : : 0时,h(x)0;当x0时,h(x): : : 0. 因此,h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,•: : )上单调递减. xInx+x (n)不等式k(x-1p: : xf(x)3g/(x)4化为k;: : 2, x—1所以k.X—xInx•2对任意x■1恒成立. x—1 x-1nx-2 2 (x—1) 1x—1令hx: i=x-1nx-2x1,则hx=10, xx 所以函数hx在1,•二上单调递增. 因为h3=1一1n3: 0,h4=2-21n20, 所以方程hx=0在1,二上存在唯一实根x0,且满足x0・3,4. 当1: : x: : 沧时,h(x): : 0,即g(x)<0,当xx°时,h(x)0,即g(x)0, x+xInx 所以函数gx2在1,x)上单调递减,在x,,二上单调递增. xT 所以[g(x)L=g(X0*^n^+2=X^i)+2=X3+2;(5,6)、x0—1x0~1 所以k”|[gxmi^Xo25,6- 故整数k的最大值是5• 【解折】(I)求寻得广(x)=h+心 rti题盘可知/(o)=f+b=i・且艸、=£十应=0* 解得盘=—1.b=Q.'-'r3分 UI)法一: 由(I)知/Or”于—心 所以不筛式y(x)二(m-l)x+n可化为芒王mx一h» 令呂(工)=亡“一tmx—“,g"(x)=ex-m,+•””"心分 当WE0时,gXv)>0恒成立,则g(x)&Rk恒增*没冇最小值,故不睦埜,55> 当in>0时,解孑(巧=0得丁=111川* 当g\x)<0时*解得x 即当耳亡(yo,1h肋时*如单调递减: XE0nm,+QO)时+能)单调递增「T分 故当x=kim时取得最小值胃(Intri)=e*1"-rnIn硏一帀=m-m-hiwr-w^O・8分 即jw-jjjIiimj^h,9分 h(m)=-mInm,则A(川)=1-In川・令A(出)=0,则jw=e, 当屈时.爪叩单-调递増;川亡«十血)时.腻川)单调递减. 故半m=亡时.h(m)取得最大值/)(e)=亡…: 亡三加+甘, 即+最戍为亡.*■—**+”]2分 -248a-V12a 2a ②当a=0时, 1 在(,•: : )单调递增; 2 设aR,函数f(x)=ax2-Inx,g(x)=ex-ax. (1)若函数h(x)=f(x)2x,讨论h(x)的单调性. (2)若f(x)g(x)0对x,(0,■: : )恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)h'(x)= 2八-%0) x ①当a>0时,,=48a0,x= 4a •••h(x)在(0, 12a)单调递减,在(-^12a 2a 2a 单调递增; 2x-11 h(x),•h(x)在(0,)单调递减, x2 1 ③当一: : : a: : : 0时,#: -48a0, 2 -2-48a x二 一112a 4a 2a •h(x)在(0, T12a)和12a^: =)单调递减,2a2a 在㈡J2a 2a -1_1亠2a II2a)单调递增; 2a 1 ④当a时, 2 厶=48^0,h'(x)乞0恒成立,此时函数单调递减. (2)若f(x)>0对X00,址)恒成立,即ax2—Inx>0对(0,畑)恒成立,则玄“导) x 设h(x)=呼(乂=0),则h"(x)=—^3^, xx 1 h(x).0,函数h(x)递增;当x.e2时, h(x): : : 0,函数h(x)递减,所以当x0时, 1 h(x)max=h(e2) 1 2e 1 a: • 2e •/h(x)无最小值,•f(x)<0对x・(0,=)恒成立不可能. ex •••f(x)g(x)0对x•(0,•: : )恒成立,•g(x)=ex-ax0,即a.;: •—对x: =(0,•: : )恒成立. x exex(x_1) 设H(x),•••H(x)2,当0: ;x: : : 1时,H'(x): : : 0,函数H(x)递减; x 当x1时,H(x).0,函数H(x)递增,所以当x0时,H(x)min二H (1)=e,「.a: : : e. 1 综上可得,—cave. 2e b (ii)设g(x)是g(x)的导函数,若存在x>1,使g(x)+g(x)=0成立,求一的取 a 1时,几小-3尢 ,定义域为(一U(0,+Q。 所以 X 一厂i) -1 1 2 屛T rw 卡 — — 0 + fW z 极大值 极小值 Z O 的极小值是 的极大值是L .令1",得: 尸9)=3+臥德二卫声 (n)①因为 卩何=(o.x-住)护-y(z]二(皿—2町护 Jr -(t2)ex 工 在 上恒成立,所以 力乞才—阮一三在工€他+00) ,当L一[时, O 因为: I 上恒成立......5分 =;rs—滋 记—— ,则 昨)=(—)3+1) 11 hr(x)<0,h(r)在(0,1)上是减函数; 当T时, 川八在J—上是增函数; 所以胞)丽二耐=J-戶 ;所以b的最大值为 ②因为 。 由 ,得 L---2a)ec+(4+^---a^=0 x出x ,整理得2ax3-liax2-2bx+b=Q…9分. 因为 b2罰-: 2 N'.'-1,所以”| til'll 。 设 2^-1 ,则 因为「I, 恒成立,所以 b1b 所以讨 a@)在山+列是增函数,所以 ,即小的取值范围为1v'o 12分 12
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