《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分 开卷速查66 几何概型.docx
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《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分开卷速查66几何概型
开卷速查(六十六) 几何概型
A级 基础巩固练
1.在区间上随机取一个数x,使得0<tanx<1成立的概率是( )
A. B. C. D.
解析:
由0<tanx<1,得0<x<,故所求概率为=.
答案:
C
2.已知函数f(x)=kx+1,其中实数k随机选自区间[-2,1].∀x∈[0,1],f(x)≥0的概率是( )
A.B.C.D.
解析:
由∀x∈[0,1],f(x)≥0得有-1≤k≤1,所以所求概率为=.
答案:
C
3.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.B.C.D.
解析:
坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心,2为半径的圆内及圆上,表示的区域D为边长为2的正方形及其内部,所以所求的概率为=.
答案:
D
4.在区间[0,1]上任取两个数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为( )
A.B.C.D.
解析:
要使该函数无零点,只需a2-4b2<0,
即(a+2b)(a-2b)<0.
∵a,b∈[0,1],a+2b>0,
∴a-2b<0.
作出的可行域,易得该函数无零点的概率P==.
答案:
C
5.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析:
由sinx+cosx≤1得2sin≤1,
即sin≤.
由于x∈[0,π],故x+∈,
因此当sin≤时,x+∈,于是x∈.
由几何概型公式知事件“sinx+cosx≤1”发生的概率为P==.
答案:
C
6.如图,△ABC和△DEF都是圆内接正三角形,且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在△ABC内”,B表示事件“豆子落在△DEF内”,则P(B|A)=( )
A.B.C.D.
解析:
设△AGH的面积为S,则S正六边形GHIJKM=6S,S正△DEF=9S,所以P(B|A)===,故选D.
答案:
D
7.若不等式组表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为__________.
解析:
∵y=x与y=-x互相垂直,∴M的面积为3,而N的面积为,所以概率为=.
答案:
8.在[-6,9]内任取一个实数m,设f(x)=-x2+mx+m,则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________.
解析:
函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ=m2+4m≥0,解得m≤-4或m≥0,又m∈[-6,9],故-6≤m≤-4或0≤m≤9,因此所求概率P==.
答案:
9.如图所示,图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是__________.
图1
图2
解析:
设题图1长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P==,解得h=3或h=-(舍去),
故长方体的体积为1×1×3=3.
答案:
3
10.已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).
(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率;
(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.
解析:
(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为P1==.
(2)由题意≤即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分,面积S2=4,所求概率为P==.
B级 能力提升练
11.设不等式组表示的平面区域为D,在D内任取一点P(x,y),若满足2x+y≤b的概率大于,则实数b的取值范围是( )
A.(0,1)B.(0,2)
C.(1,+∞)D.(2,+∞)
解析:
区域D表示以点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形,其面积S1=1.根据题意,b>0,设正方形OABC位于直线2x+y=b下方部分面积为S2,因为直线2x+y=b在x轴,y轴上的截距分别为,b,则当0<b≤1时,S2=·=≤.故题设,P==S2>,则b>1,故选C.
答案:
C
12.设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P∈B的概率是__________.
解析:
在直角坐标系中分别作出集合A,B所表示的区域,从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P∈B的区域为图中阴影部分,由定积分知识可求得阴影部分的面积为2=,则从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P∈B的概率为=.
答案:
13.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
(1)求点P落在区域C:
x2+y2≤10内的概率;
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率.
解析:
(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个,而这些点中,落在区域C内的点有:
(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个,故所求概率为P=.
(2)∵区域M的面积为4,而区域C的面积为10π,
∴所求概率为P==.
14.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;
(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.
解析:
(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,
则0≤x<24,0≤y<24且y-x≥4或y-x≤-4.
作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A,
则P(A)==.
(2)当甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y≥2或y-x≥4.
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域
P(B)===.
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