命题逻辑习题.docx
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命题逻辑习题
数理逻辑习题命题逻辑
（一）
1.指出下列语句中哪些是命题
a）离散数学的研究对象是自然数。
b）请勿喧哗。
c）夸夸其谈可以创造财富。
d）“飞碟”来自于银河系之外。
e）今天很冷。
f）你明天还来吗？
[解]a）是命题。
因为它是假的陈述句。
b）不是命题。
因为它是祈使句。
c）是命题。
因为它是假的陈述句。
d）是命题。
因为它是可确定真假的陈述句，虽然其真假性现时还无法确定，但随着人类认识的发展终将得到证实。
e）是命题。
因为它是可确定真假的陈述句，其真假取决于说话人的主观判断和外部环境的客观温度。
f）不是命题。
因为它是疑问句。
2.用符号形式写下面命题，其中
P表示命题“明天下雪”；
Q表示命题“我们明天上课”；
R表示命题“我们明天上公园”。
a）如果明天下雪且我们停课，那么我们去公园。
b）只有明天不下雪，我们才去公园。
c）除非明天不下雪且我们上公园，否则我们将上课。
d）无论明天下雪与否，我们照常上课。
[解]a）PQ→R；
b）P→R（或R→P）；
c）（PR）«Q（或PR«Q）；
d）PP→Q（或Q）。
3.用上题的命题P，Q，R解释下面的形式命题。
a）PQ→R
b）PR
c）P→QR
d）Q«R
[解]a）只有明天下雪且不上课，我们才去公园；
b）明天下雪，明天我们去公园；
c）如果明天不下雪，那么我们上课或去公园；
d）除非明天不停课（上课），否则我们去公园。
4.将下述命题符号化
a）不是小王就是老李来找过你。
b）尽管小张与小赵是同学，但他们很少在一起。
c）如果程序能正常结束，那么就不会有语法错误。
d）既然你今天不去开会，就该在家好好休息一下。
e）只有博览群书，知识才能丰富。
f）只要懂得法律，就能够成为一名律师。
g）学好数、理、化，走扁天下都不怕。
h）并非由于学校是重点，毕业生才是一流的，而是由于毕业生是一流的，学校才能成为重点。
i）他能考上交大，除了由于他有一个较好的环境之外，还在于他平时的刻苦精神。
[解]a）令：
P：
小王来找过你
Q：
老李来找过你
形式化公式：
PQ（实际上是不可兼或：
P
Q）；
b）令：
P：
小张与小赵是同学
Q：
小张与赵在一起。
形式化公式：
PQ；
c）令：
P：
程序正常结束
Q：
程序有语法错误
形式化公式：
P→Q；
d）令：
P：
你今天去开会
Q：
你在家休息一下。
形式化公式：
PQ；
e）令：
P：
（某人）博览群书
Q：
（某人）知识丰富
形式化公式：
P→Q（或者Q→P）；
f）令：
P：
（某人）懂得法津
Q：
（某人）成为一名律师
形式化公式：
P→Q；
g）令：
P：
（某人）学好数学
Q：
（某人）学好物理
R：
（某人）学好化学
S：
（某人）走遍天下都不怕
形式化公式：
PQR→S；
h）令：
P：
学校是重点
Q：
毕业是一流的
形式化公式：
（P→Q）（Q→P）；
i）令：
P：
他考上了交大
Q：
他有一个较好的环境
R：
他平时刻苦
形式化公式：
QR→P。
5.试通过对命题公式中联结词的个数归纳，证明命题公式在任一指派下的真假值都是唯一的。
[证]（采用串值数学归纳法）为证命题公式
在任一赋值υ下的真值是唯一的，我们对公式
中所含联结词的个数n进行串值归纳：
1）若n＝0，则α＝P是一原子公式，从而α（υ）＝P（υ）显然是唯一的。
2）假设n＝0，1，2，…，k时，任何含有n个联结词的公式α′在υ下的真值
α′（υ）是唯一的。
3）于是，当n＝k+1时，则根据合式公式的形成规则，可知
＝α1，或者α＝α1*α2（这里*＝或或→或«）。
我们设
1和
2中的联结词个数分别为k1和k2，那么
a）当α＝α1时，则有k1+1＝k+1，从而k1＝k0于是由归纳假设可知，真值是唯一的，所以由的真值表知真值α（υ）＝（α1（υ））是唯一的；
b）当α＝α1*α2时，则有k1+k2+1＝k+1，从而k1+k2＝k，即有k1£k，k2£k。
于是由归纳假设知，真值α1（υ），α2（υ）是唯一的，所以由*的真值表（，，→，«的真值表）知真值α（υ）＝α1（υ）*α2（υ）都是唯一的。
这就用串值归纳法证明了命题公式α在任一赋值υ下的真值（真假值）都是唯一的。
6.令P，Q，R，S分别取值为T，F，T，F。
求出下列命题公式在相应指派下的真假值。
a）P（Q→PR）
b）QP→（QS«R）
c）（P→Q）（R→QS）
d）P（Q→RS）«QP
[解]这里赋值υ＝（T，F，T，F）
a）（P（Q→PR））（υ）
＝P°（Q°→P°R°）
＝T（F→TT）
＝F（F→T）
＝FT
＝T
b）（QP→（QS«R））（υ）
＝Q°P°→（Q°S°«R°）
＝FT→（FF«T）
＝T→（F«T）
＝T→F
＝F
c）（（P→Q）（R→QS））（υ）
＝（P→Q）（R→QS））
＝（T→F）（T→FF）
＝F（T→F）
＝FF
＝F
d）（P（Q→RS）«QP）（υ）
＝（P（Q→RS）«QP）
＝T（F→TF）«FT
＝T（F→TT）«FF
＝T（F→T））«F
＝TT«F
＝T«F
＝F
7.构造下列命题公式的真值表。
a）P（QR）
b）（P→Q）（PR）
c）（P→（QQ））→P
d）（（P→Q）→（P→R））→（P→（Q→R））
[解]a）
P
Q
R
QR
P（QR）
T
T
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T
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F
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F
F
b）
P
Q
R
P→Q
PR
（P→Q）（PR）
T
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c）
P
Q
P
Q
P→（QQ）
（P→（QQ））→P
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d）
P
Q
R
P→Q
P→R
Q→R
（P→Q）→（P→R）
P→（Q→R）
（（P→Q）→（P→R））→（P→（Q→R））
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T
8.利用真值表法判断下列逻辑等价式是否成立。
a）（P→Q）┝┥（Q→P）
b）（P→Q）┝┥（Q→P）
c）P→（Q→R）┝┥（P→Q）→（P→R）
d）（P→Q）┝┥PQ
e）（PQ）┝┥PQ
f）P«Q┝┥（PQ）（PQ）
g）P→（Q→P）┝┥P→（Q→P）
h）（P→R）（Q→R）┝┥PQ→R
i）（P«Q）«R┝┥P«（Q«R）
[解a）成立。
P
Q
P
Q
P→Q
Q→P
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F
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T
此真值表最后两列全完相同。
故a）的逻辑等价式成立。
b）不成立。
P
Q
P→Q
Q→P
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F
此真值表最后两列不完全相同。
故b）的逻辑等价式不成立。
c）成立。
P
Q
R
P→Q
P→R
Q→R
P→（Q→R）
（P→Q）→（P→R）
T
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此真值表最后两列完全相同。
故c）的逻辑等价式成立。
d）成立。
P
Q
Q
P→Q
（P→Q）
PQ
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F
此真值表最后两列完全相同。
故d）的逻辑等价式成立。
e）成立。
P
Q
P
Q
PQ
（PQ）
PQ
T
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此真值表最后两列完全相同。
故e）的逻辑等价式成立。
f）成立。
P
Q
P
Q
PQ
PQ
P«Q
（PQ）（PQ）
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T
T
此真值表最后两列完全相同。
故f）的逻辑等价式成立。
g）成立。
P
Q
P
Q→P
Q→P
P→（Q→P）
P→（Q→P）
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T
此值表最后两列完工全相同。
故f）逻辑等价式成立。
h）成立。
P
Q
R
P→R
Q→R
PQ
（P→R）（Q→R）
PQ→R
T
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F
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F
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T
此真值表最后两列完全相同。
故h）的逻辑等价式成立。
i）成立。
P
Q
R
P«Q
Q«R
（P«Q）«R
P«（Q«R）
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F
F
此真值表最后两列完全相同。
故i）的逻辑等价式成立。
9.东东的爷爷带东东乘车去玩，当路过一座高楼时，爷爷说：
“你只有现在好好学习，将来才能住上这样的高楼。
”东东听了爷爷的话以后，回答说，“爷爷决有住上这样的高楼，所以爷爷没有好好学习。
”请问：
东东是否误解了爷爷原话的意思，为什么
[解]东东误解了爷爷原话的意思。
因为若
令：
P：
（你）现在好好学习
Q：
（你）将来住上这样的高楼
则爷爷的原话形式化为：
Q→P
而东东的回答形式化是：
Q→P
这两个公式不是逻辑等价的。
这可用真值表法证明如下：
P
Q
P
Q
Q→P
Q→P
T
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F
F
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T
T
此真值表最后两列不完全相同，说明Q→P与Q→P不是逻辑等价的（事实上Q→P┝┥P→Q），所以，东东的回答与爷爷的原话是不等价的，不是一个意思。
因而，东东误解了爷爷原话的意思。
10.某单位派人外出学习。
但由于工作关系，A，B两个不能同去。
如果B去则C必须留下工作。
如果派D去则B和C至少应去一人。
试问
a）四人中最多能派几人？
b）若己决定派B去，是否还可以增派其它人？
请通过对成真指派的分析给出上面问题的最佳人选。
[解]令：
P：
A去
Q：
B去
R：
C去
S：
D去
则问题形式化为一公式（条件公式）：
α=（PQ）（Q→R）（S→（QR））
a）因四人全去,得到赋值υ1＝（T，T，T，T），使得真值α（υ1）＝F，从而四人全去不行,故至多只能派三人同去。
又因A和B不能同时去，而A去，C去，D去，得到赋值υ2＝（T，F，T，T），使得真值α（υ2）＝T，故至少可以派三个人同去。
所以，四人中最多能派三人同去。
b）若己决定派B去，则根据（PQ），可知不能派A去；又根据（Q→R），可知不能派C去，因而至多只能增派D去。
从而得到赋值υ3＝（F，T，F，T），使得真值α（υ3）＝T。
故此，若己决定派B去，则还可以增派D同去。
11.利用真值表判断下列公式的永真性（有效性）。
a）P→（P→Q）
b）（P→Q）→（（Q→R）→（P→R））
c）（（PQ）R）（PQ→R）
d）（P→（Q→R））«（Q→（P→R））
[解]a）⊨P→（P→Q）
P
Q
P
P→Q
P→（P→Q）
T
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T
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T
因为此值表的最后一列全是T,故公式是有效的。
b）⊨（P→Q）→（（Q→R）→（P→R））
P
Q
R
P→Q
Q→P
P→R
（Q→R）→（P→R）
（P→Q）→（（Q→R）→（P→R））
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因为此真值表的最后一列全是T,故公式是有效的。
c）⊨（（PQ）R）（（PQ）→R）
P
Q
R
PQ
QP
R
（PQ）R
PQ→R
（（PQ）R）（PQ→R）
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T
因为此真值表的最后一列全是T,故公式是有效的。
d）⊨（P→（Q→R））«（Q→（P→R））
P
Q
R
Q→R
P→R
P→（Q→R）
Q→（P→R）
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因为此真值表的最后两列完全相同,故公式是有效的。
12.利用真值表证明下列逻辑蕴涵式。
a）（P→Q）⊨P
b）Q（P→Q）⊨P
c）（PQ）（P→R）（Q→S）⊨RS
d）P→（QQ）⊨P
[证]a）逻辑蕴涵式（P→Q）⊨P成立。
P
Q
P→Q
（P→Q）
P
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F
F
因为此真值表凡是（P→Q）列为T的行，P列相应的行也为T。
b）逻辑蕴涵式Q（P→Q）⊨P成立
P
Q
Q
P→Q
Q（P→Q）
P
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因为此真值表凡是Q（P→Q）列为T的行，P列相应的行也为T。
c）逻辑蕴涵式（PQ）（P→R）（Q→S）⊨RS成立。
P
Q
R
S
PQ
PR
Q→S
（PQ）（P→R）（Q→S）
RS
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F
F
F
T
T
F
F
因为此真值表凡是（PQ）（P→R）（Q→S）列为T的行，RS列相应的行也为T。
d）逻辑蕴涵式P→（QQ）⊨P成立。
P
Q
P
Q
P→（QQ）
P
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F
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T
F
F
F
因为真值表凡是P→（QQ）列为T的行，P列相应的行也为T。
13.求下列命题公式的代入实例。
a）P→（（P→Q）→Q）
其中：
P代入为P→Q，Q代入为（P→Q）→Q
b）（P→Q）→（（Q→R）→（P→R））
其中，P代入为Q→R，Q代入为P→R。
[解]a）（P→（（P→Q）→Q））[（P→Q）/P,（（P→Q）→Q）/Q]
=（P→Q）→（（（P→Q）→（（P→Q）→Q））→（（P→Q）→Q））；
b）（（P→Q）→（（Q→R）→（P→R）））[（Q→R）/P,（P→R）/Q]
=（（Q→R）→（P→R））→（（（P→R）→R）→（（Q→R）→R））。
14.设1，2，为命题公式。
如果1⊨2，证明：
a）2⊨1
b）1⊨2
c）1⊨2
d）1→⊨2→
[证]a）对于任一赋值υ，如果
（2）（υ）=T，则2（υ）=F。
根据1⊨2，可知1（υ）=F，从而
（1）（υ）=T。
所以2⊨1成立。
b）对任一赋值υ，如果
（1）（υ）=T，那么1（υ）=T且（υ）=T。
根据1⊨2，可得2（υ）=T，从而2（υ）=T且（υ）=T，也即是
（2）（υ）=T，所以1⊨2成立。
c）对任一赋值υ，如果
（1）（υ）=T，那么1（υ）=T或者（υ）=T。
于是分情况证明如下：
1°若1（υ）=T，那么根据1⊨2，可知2（υ）=T，因此
（2）（υ）=T；
2°若（υ）=T，则显然
（2）（υ）=T；
因此，无论如何，总有
（2）（υ）=T。
所以1⊨2成立。
d）对任一赋值υ，如果（2→）（υ）=T，那么若2（υ）=T，则（υ）=T。
于是：
1°若1（υ）=F，那么显然有（1→）（υ）=T；
2°若1（υ）=T，那么根据1⊨2，可知2（υ）=T，从而有（υ）=T，因此得到（1→）（υ）=T；
于是，无论如何，总有（1→）（υ）=T。
所以1→⊨2→成立。
15.利用变换法证明下列逻辑等价式。
a）P→（Q→P）┝┥P→（P→Q）
b）（P→R）（Q→R）┝┥PQ→R
c）（P«Q）┝┥（PQ）（PQ）
d）（P→Q）┝┥PQ
[证明]a）P→（Q→P）
┝┥P（QP）（替换定理，联结词化归）
┝┥（PP）Q（结合律）
┝┥PP
┝┥（PP）Q
┝┥P（PQ）（结合律）
┝┥P（PQ）（替换定理，双重否定律）
┝┥P→（P→Q）（替换定理，联结词化归）
b）（P→R）（Q→R）
┝┥（PR）（QR）（替换定理，联结词化归）
┝┥（PQ）R（分配律）
┝┥（PQ）R（替换定理，deMorgan律）
┝┥PQ→R（联结词化归）
c）（P«Q）
┝┥（（P→Q）（Q→R））（替换定理，联结词化归）
┝┥（（PQ）（QP））（替换定理，联结词化归）
┝┥（PQ）（QP）（deMorgan律）
┝┥（PQ）（QP）（替换定理，deMorgam律）
┝┥（PQ）（QP）（替换定理，双重否定律）
┝┥（PP）（PQ）（PQ）（QQ）（分配律、替换定理，结合律，交换律）
┝┥（PQ）（PQ）（化简律）
d）（P→Q）
┝┥（PQ）（替换定理，联结词化归）
┝┥PQ（deMergan律）
┝┥PQ（替换定理，双重否定律）。
16.利用变换法证明下列逻辑蕴涵式。
a）P→（Q→R）⊨（P→Q）→（P→R）
b）（P→Q）→Q⊨PQ
c）（P→Q）→（Q→P）⊨Q→P
d）P→Q⊨PR→QR
[证]a）实际上，我们可证逻辑等价式：
P→（Q→R）┝┥（P→Q）→（P
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