曲线运动++万有引力与航天.docx
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曲线运动++万有引力与航天
第1节曲线运动__运动的合成与分解
(1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。
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(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。
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(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。
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(4)曲线运动可能是匀变速运动。
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(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。
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(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。
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(7)只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。
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(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。
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要点一 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
[多角练通]
1.(多选)(2015·广州模拟)关于做曲线运动的物体,下列说法中正确的是( )
A.它所受的合外力一定不为零
B.它所受的合外力一定是变力
C.其速度可以保持不变
D.其动能可以保持不变
2.(2015·邯郸模拟)质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加,如图411所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是( )
图411
要点二 运动的合成与分解的应用
1.合运动与分运动的关系
(1)等时性
各个分运动与合运动总是同时开始,同时结束,经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
(3)独立性
一个物体同时参与几个运动,其中的任何一个都会保持其运动性质不变,并不会受其他分运动的干扰。
虽然各分运动互相独立,但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解,由于它们均是矢量,故合成与分解都遵守平行四边形定则。
[典例] (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图412甲、乙所示,下列说法中正确的是( )
图412
A.前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B.后2s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向
C.4s末物体坐标为(4m,4m)
D.4s末物体坐标为(6m,2m)
[思路点拨]
(1)判断物体运动性质时要分析物体的加速度特点及加速度与速度方向间的关系。
(2)确定物体在某时刻的坐标时,要沿x轴和y轴分别计算物体的位移。
[针对训练]
1.(多选)(2015·太原模拟)如图413,在灭火抢险的过程中,消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。
为了节省救援时间,在消防车向前前进的过程中,人同时相对梯子匀速向上运动。
在地面上看消防队员的运动,下列说法中正确的是( )
图413
A.当消防车匀速前进时,消防队员一定做匀加速直线运动
B.当消防车匀速前进时,消防队员一定做匀速直线运动
C.当消防车匀加速前进时,消防队员一定做匀变速曲线运动
D.当消防车匀加速前进时,消防队员一定做匀变速直线运动
2.如图414所示,从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场,若飞机在降落过程中的水平分速度为60m/s,竖直分速度为6m/s,已知飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动,在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动,则飞机落地之前( )
图414
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20s内,飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.飞机在第20s内,水平方向的平均速度为21m/s
要点三 小船渡河问题
1.小船过河问题的分析思路
2.三种速度
v1(船在静水中的速度)、v2(水流的速度)、v(船的实际速度)。
3.三种过河情景分析
(1)过河时间最短:
船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)。
(2)过河路径最短(v2 合速度垂直于河岸时,航程最短,xmin=d。 船头指向上游与河岸夹角为α,cosα=。 (3)过河路径最短(v2>v1时): 合速度不可能垂直于河岸,无法垂直渡河。 确定方法如下: 如图415所示,以v2矢量末端为圆心,以v1矢量的大小为半径画圆弧,从v2矢量的始端向圆弧作切线,则合速度沿此切线方向时航程最短。 图415 由图可知cosα=,最短航程xmin==d。 [典例] 河宽l=300m,水速u=1m/s,船在静水中的速度v=3m/s,欲分别按下列要求过河时,船头应与河岸成多大角度? 过河时间是多少? (1)以最短时间过河; (2)以最小位移过河; (3)到达正对岸上游100m处。 [易错提醒] (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关。 (2)船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关,v船>v水时,河宽即为最小位移,v船 [针对训练] 1.已知河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,且v2>v1,下面用小箭头表示小船及船头的指向,则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景如图416所示,依次是( ) 图416 A.①② B.①⑤ C.④⑤D.②③ 2.(多选)(2015·湖北省重点中学联考)一只小船在静水中的速度为3m/s,它要渡过一条宽为30m的河,河水流速为4m/s,则这只船( ) A.过河时间不可能小于10s B.不能沿垂直于河岸方向过河 C.渡过这条河所需的时间可以为6s D.不可能渡过这条河 3.有甲、乙两只船,它们在静水中航行速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。 则甲、乙两船渡河所用时间之比为( ) A. B. C.D. 要点四 关联速度问题 1.模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2.思路与方法 合速度→物体的实际运动速度v 分速度→ 方法: v1与v2的合成遵循平行四边形定则。 3.解题的原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。 常见的模型如图417所示。 图417 [典例] (多选)(2015·天津实验中学模拟)如图418所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。 现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放,当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处),下列说法正确的是(重力加速度为g)( ) 图418 A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg B.小环到达B处时,重物上升的高度为(-1)d C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 D.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 [针对训练] 1.(2015·湖北省重点中学联考)如图419所示,人在河岸上用轻绳拉船。 某时刻人的速度为v,船的速度为v1,绳与水平方向的夹角为θ,则下列有关速度的合成或分解图正确的是( ) 图419 图4110 2.(2015·豫东、豫北十校模拟)如图4111所示,细线一端固定在天花板上的O点,另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球,橡胶球静止时,竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。 现将CD光盘按在桌面上,并沿桌面边缘以速度v匀速移动,移动过程中,CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线,当悬线与竖直方向的夹角为θ时,小球上升的速度大小为( ) 图4111 A.vsinθB.vcosθ C.vtanθD.vcotθ 3.如图4112所示,水平面上有一汽车A,通过定滑轮用绳子拉同一水平面的物体B,当拉至图示位置时,两绳子与水平面的夹角分别为α、β,二者速度分别为vA和vB,则( ) 图4112 A.vA∶vB=1∶1 B.vA∶vB=sinα∶sinβ C.vA∶vB=cosβ∶cosα D.vA∶vB=sinα∶cosβ 对点训练: 合运动的轨迹与性质判断 1.下面说法中正确的是( ) A.做曲线运动的物体速度方向必定变化 B.速度变化的运动必定是曲线运动 C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动 D.加速度变化的运动必定是曲线运动 2.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O,v与x轴正方向成α角(如图1所示),与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy,则( ) 图1 A.因为有Fx,质点一定做曲线运动 B.如果Fy>Fx,质点向y轴一侧做曲线运动 C.质点不可能做直线运动 D.如果Fy<Fxtanα,质点向x轴一侧做曲线运动 对点训练: 运动的合成与分解 3.(2015·吉林重点中学模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目,如图2所示,当运动员从直升机上由静止跳下后,在下落过程中将会受到水平风力的影响,下列说法中正确的是( ) 图2 A.风力越大,运动员下落时间越长,运动员可完成更多的动作 B.风力越大,运动员着地时的竖直速度越大,有可能对运动员造成伤害 C.运动员下落时间与风力无关 D.运动员着地速度与风力无关 4.(2015·保定一中检测)物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动,其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示,则对该物体运动过程的描述正确的是( ) 图3 A.物体在0~3s做直线运动 B.物体在3~4s做直线运动 C.物体在3~4s做曲线运动 D.物体在0~3s做变加速运动 5.(多选)(2015·洛阳联考)如图4所示,起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起,同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动,关于货物的运动下列表述正确的是( ) 图4 A.货物的实际运动速度为v1+v2 B.货物的实际运动速度为 C.货物相对地面做曲线运动 D.货物相对地面做直线运动 6.如图5所示,在竖直平面的xOy坐标系中,Oy竖直向上,Ox水平。 设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。 一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出,初速度为v0=4m/s,不计空气阻力,到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形,g取10m/s2)求: 图5 (1)小球在M点的速度v1; (2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N; (3)小球到达N点的速度v2的大小。 对点训练: 关联速度问题 7.(多选)(2013·上海高考)如图6为在平静海面上,两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。 A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向,A、B、C不在一条直线上。 由于缆绳不可伸长,因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等,由此可知C的( ) 图6 A.速度大小可以介于A、B的速度大小之间 B.速度大小一定不小于A、B的速度大小 C.速度方向可能在CA和CB的夹角范围外 D.速度方向一定在CA和CB的夹角范围内 8.(2015·太原一中检测)如图7所示,开始时A、B间的细绳呈水平状态,现由计算机控制物体A的运动,使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑,经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动,则下列vt图像中,最接近物体B的运动情况的是( ) 图7 图8 9.(2015·烟台模拟)如图9所示,物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起,A物体受水平向右的力F的作用,此时B匀速下降,A水平向左运动,可知( ) 图9 A.物体A做匀速运动 B.物体A做加速运动 C.物体A所受摩擦力逐渐增大 D.物体A所受摩擦力不变 对点训练: 小船过河问题 10.(多选)(2015·桂林模拟)河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图10甲所示,船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示,若要使船以最短时间渡河,则( ) 图10 A.船渡河的最短时间是60s B.船在行驶过程中,船头始终与河岸垂直 C.船在河水中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度是5m/s 11.(2014·四川高考)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。 小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直。 去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为( ) A. B. C.D. 12.小船匀速横渡一条河流,当船头垂直对岸方向航行时,在出发后10min到达对岸下游120m处;若船头保持与河岸成θ角向上游航行,则在出发后12.5min到达正对岸,求: (1)水流速度大小v1; (2)船在静水中的速度大小v2; (3)河的宽度; (4)船头与河岸的夹角θ。 解析: 如图甲所示,设水流速度大小为v1, 甲 第2节抛体运动 (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (×) (2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化,加速度方向也时刻在变化。 (×) (3)做平抛运动的物体初速度越大,水平位移越大。 (×) (4)做平抛运动的物体,初速度越大,在空中飞行时间越长。 (×) (5)从同一高度平抛的物体,不计空气阻力时,在空中飞行的时间是相同的。 (√) (6)无论平抛运动还是斜抛运动,都是匀变速曲线运动。 (√) (7)做平抛运动的物体,在任意相等的时间内速度的变化是相同的。 (√) 要点一 平抛运动的基本规律 1.基本规律 (1)位移关系 (2)速度关系 图421 2.有用结论 (1)飞行时间: t=,取决于下落高度h,与初速度v0无关。 (2)水平射程: x=v0t=v0,由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关。 (3)落地速度: v==,与水平方向的夹角tanα==,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 (4)速度改变量: 物体在任意相等时间内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图422所示。 图422 (5)水平位移中点: 因tanα=2tanβ,所以OC=2BC,即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点(如图421所示)。 [多角练通] 1.(多选)(2015·惠州模拟)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球,结果球划着一条弧线飞到小桶的前方,如图423所示。 不计空气阻力,为了能把小球抛进小桶中,则下次再水平抛球时,可能做出的调整为( ) 图423 A.减小初速度,抛出点高度不变 B.增大初速度,抛出点高度不变 C.初速度大小不变,降低抛出点高度 D.初速度大小不变,增大抛出点高度 解析: 选AC 由x=v0t可知,要使小球抛进小桶中,可高度不变,减小初速度,也可初速度不变,降低抛出点的高度,故A、C正确。 2.(多选)某物体做平抛运动时,它的速度方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tanθ随时间t变化的图像如图424所示,(g取10m/s2)则( ) 图424 A.第1s物体下落的高度为5m B.第1s物体下落的高度为10m C.物体的初速度为5m/s D.物体的初速度为10m/s 解析: 选AD 因tanθ==t,对应图像可得=1,v0=10m/s,D正确,C错误;第1s内物体下落的高度h=gt2=×10×12m=5m,A正确,B错误。 3.(多选)(2015·潍坊模拟)从竖直墙的前方A处,沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c,在墙上留下的弹痕如图425所示。 已知Oa=ab=bc,则a、b、c三颗弹丸( ) 图425 A.初速度之比是∶∶ B.初速度之比是1∶∶ C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 解析: 选AC 水平发射的弹丸做平抛运动,竖直方向上是自由落体运动,水平方向上是匀速直线运动。 又因为竖直方向上Oa=ab=bc,即Oa∶Ob∶Oc=1∶2∶3,由h=gt2可知: ta∶tb∶tc=1∶∶,由水平方向x=v0t可知: va∶vb∶vc=1∶∶=∶∶,故选项A正确B错误;由Δv=gt可知: 从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶,故选项C正确D错误。 要点二 多体平抛问题 1.多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。 2.三类常见的多体平抛运动 (1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出,则两物体始终在同一高度,二者间距只取决于两物体的水平分运动。 (2)若两物体同时从不同高度抛出,则两物体高度差始终与抛出点高度差相同,二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 (3)若两物体从同一点先后抛出,两物体竖直高度差随时间均匀增大,二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 [典例] (多选)(2012·大纲卷)如图426,x轴在水平地面内,y轴沿竖直方向。 图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从同一点抛出的。 不计空气阻力,则( ) 图426 A.a的飞行时间比b的长 B.b和c的飞行时间相同 C.a的水平速度比b的小 D.b的初速度比c的大 [解析] 根据平抛运动的规律h=gt2,得t=,因此平抛运动的时间只由高度决定,因为hb=hc>ha,所以b与c的飞行时间相同,大于a的飞行时间,因此选项A错误,选项B正确;又因为xa>xb,而ta<tb,所以a的初速度比b的大,选项C错误;做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动,b的水平位移大于c,而tb=tc,所以vb>vc,即b的初速度比c的大,选项D正确。 [答案] BD [方法规律] (1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定,而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定。 (2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处,两物体要在此处相遇,必须同时到达此处。 [针对训练] 1.(2015·深圳模拟)如图427所示,在距水平地面H和4H高度处,同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出,则以下判断正确的是( ) 图427 A.a、b两小球同时落地 B.两小球落地速度方向相同 C.a、b两小球水平位移之比为1∶2 D.a、b两小球水平位移之比为1∶4 解析: 选C 由H=gta2,4H=gtb2可得: tb=2ta,A错误;由x=v0t可知,xa∶xb=1∶2,C正确,D错误;设落地时速度与水平方向夹角为θ,则由tanθ=可知,tanθa∶tanθb=1∶2,θa≠θb,B错误。 2.(2015·江西省重点中学协作体联考)如图428所示,将a、b两小球以大小为20m/s的初速度分别从A、B两点相差1s先后水平相向抛出,a小球从A点抛出后,经过时间t,a、b两小球恰好在空中相遇,且速度方向相互垂直,不计空气阻力,g取10m/s2,则抛出点A、B间的水平距离是( ) 图428 A.80m B.100m C.200mD.180m 解析: 选D a、b两球在空中相遇时,a球运动t秒,b球运动了(t-1)秒,此时两球速度相互垂直,如图所示,由图可得: tanα== 解得: t=5s(另一个解舍去),故抛出点A、B间的水平距离是v0t+v0(t-1)=180m,D正确。 要点三 类平抛运动问题分析 1.受力特点 物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直。 2.运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动,在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3.求解技巧 (1)常规分解法: 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法: 对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。 [典例] (2015·河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。 如图429所示,在风洞实验室中有足够大的光滑水平面,在水平面上建立xOy直角坐标系。 质量m=0.5kg的小球以初速度v0=0.40m/s从O点沿x轴正方向运动,在0~2.0s内受到一个沿y轴正方向、大小F1=0.20N的风力作用;小球运动2.0s后风力方向变为y轴负方向、大小变为F2=0.10N(图中未画出)。 试求: 图429 (1)2.0s末小球在y方向的速度大小和2.0s内运动的位移大小; (2)风力F2作用多长时间,小球的速度变为与初速度相同。 [审题指导] (1)小球在力F1作用下,在0~2.0s内做类平抛运动。 (2)换为F2作用后,当小球沿y轴方向的速度为零时,小球的速度则与初速度相同。 [解析] (1)设在0~2.0s内小球运动的加速度为a1, 则F1=ma1 2.0s末小球在y方向的速度v1=a1t1 代入数据解得v1=0.8m/s 沿x轴方向运动的位移x1=v0t1 沿y轴方向运动的位移y1=a1t12 2.0s内运动的位移s1= 代入数据解得s1=0.8m=1.1m。 (2)设2.0s后小球运动的加速度为a2,F2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同。 则 F2=ma2 0=v1-a2t2 代入数据解得t2=4.0s。 [答案] (1)0.8m/s 1.1m (2)4.0s [针对训练] 1.A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1。 B沿光滑斜面运动,落地点为P2,不计阻力,如图4210所示,下列比较P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是( ) 图4210 A.P1较远 B.P2较远 C.P1、P2等远D.A、B两项都有可能 解析: 选B A质点水平抛出后,只受重力,做平抛运动,在竖直方向有h=gt12。 B质点水平抛出后,受重力和支持力,在斜面平面内所受合力为mgsinθ,大小恒定且与初速度方向垂直,所以B质点做类平抛运动。 在沿斜面向下方向上=gsinθ·t22。 由此得t2>t1,由于二者在水平方向(x轴方向)上都做速度为v0的匀速运动,显然x2>x1。 2.在光滑的水平面内,一质量m=1kg的质点以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动,经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F=15N作用,直线OA与x轴成α=37°,如图4211所示曲线为质点的轨迹图(g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8),求: 图4211 (1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点,质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标; (2)质点经过P点时的速度大小。 解析: (1)质点在水平面内做曲线运动,在x方向上不受外力作用做匀速直线运动,y方向受恒力F作用做匀加速直线运动,在竖直方向上光滑平面的支持力与重力平衡。 由牛顿第二定律得: a==m/s2=15m/s2 设质点从O点
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