二次根式知识点总结及习题带答案.doc
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【基础知识巩固】
一、二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:
在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:
因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
二、取值范围
1. 二次根式有意义的条件:
由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:
因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
三、二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:
因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
四、二次根式()的性质:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
()
注:
二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:
若,则,如:
,.
五、二次根式的性质:
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的, ,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.
七、二次根式的运算
1、最简二次根式必须满足以下两个条件
(1)被开方数不含分母,即被开方的因式必须是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.
2、乘法法则:
=·(a≥0,b≥0);积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.
3、除法法则:
(b≥0,a>0);商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.
4、合并同类项的法则:
系数相加减,字母的指数不变.
5、二次根式的加减
(1)二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并。
(2)步骤:
如果有括号,根据去括号的法则去掉括号;把不是最简二次根式的二次根式化简;合并被开方数相同的二次根式。
6、混合运算:
与有理数的运算一致,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面。
有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
二次根式有意义的条件:
例1:
求下列各式有意义的所有x的取值范围。
解:
(1)要使有意义,必须,由得,
当时,式子在实数范围内有意义。
(2)要使有意义,必须
的范围内。
当时,式子在实数范围内有意义。
小练习:
1、
(1)当x是多少时,在实数范围内有意义?
(2)当x是多少时,+在实数范围内有意义?
②
(3)当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?
(4)当时,有意义。
2.使式子有意义的未知数x有()个.
A.0B.1C.2D.无数
3.已知y=++5,求的值.
4.若+有意义,则=_______.
5.若有意义,则的取值范围是。
最简二次根式例2:
把下列各根式化为最简二次根式:
解:
同类根式:
例3:
判断下列各组根式是否是同类根式:
分析:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式,所以判断几个二次根式是否为同类二次根式,首先要将其化为最简二次根式。
解:
分母有理化:
例4:
把下列各式的分母有理化:
分析:
把分母中的根号化去,叫做分母有理化,两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说,这两个代数式互为有理化因子,如与,均为有理化因式。
解:
求值:
例5:
计算:
分析:
迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容,必须掌握,要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律,寻求合理的运算步骤,得到正确的运算结果。
解:
(1)原式
化简:
例6:
化简:
分析:
应注意
(1)式,
(2),所以,可看作可利用乘法公式来进行化简,使运算变得简单。
解:
例7:
化简练习:
解:
化简求值:
例8:
已知:
求:
的值。
分析:
如果把a,b的值直接代入计算的计算都较为繁琐,应另辟蹊径,考虑到互为有理化因子可计算,然后将求值式子化为的形式。
解:
小结:
显然上面的解法非常简捷,在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径,提高运算能力。
类似的解法在许多问题中有广泛的应用,大家应有意识的总结和积累。
例9:
在实数范围内因式分解:
[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
1、2x2-4;【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+)(x-)
2、x4-2x2-3.【提示】先将x2看成整体,利用x2+px+q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,ab=q分解.再用平方差公式分解x2-3.【答案】(x2+1)(x+)(x-).
例10、综合应用:
如图所示的Rt△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问:
几秒后△PBQ的面积为35平方厘米?
PQ的距离是多少厘米?
(结果用最简二次根式表示)
一、选择题:
在以下所给出的四个选择支中,只有一个是正确的。
1、成立的条件是:
A. B. C. D.
2、把化成最简二次根式,结果为:
A. B. C. D.
3、下列根式中,最简二次根式为:
A. B. C. D.
4、已知t<1,化简得:
A. B. C.2 D.0
5、下列各式中,正确的是:
A. B.
C. D.
6、下列命题中假命题是:
A.设 B.设
C.设 D.设
7、与是同类根式的是:
A. B. C. D.
8、下列各式中正确的是:
A. B.
C. D.
三、1、化简
2、已知:
求:
【答案】:
一、选择题:
1、B 2、C 3、B 4、D 5、B
6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、计算:
三、
二次根式测试题
(一)
1.下列式子一定是二次根式的是()
A.B.C.D.
2.若,则()
A.b>3B.b<3C.b≥3D.b≤3
3.若有意义,则m能取的最小整数值是()
A.m=0B.m=1C.m=2D.m=3
4.若x<0,则的结果是()
A.0B.—2C.0或—2D.2
5.下列二次根式中属于最简二次根式的是()
A.B.C.D.
6.如果,那么()
A.x≥0B.x≥6C.0≤x≤6D.x为一切实数
7.小明的作业本上有以下四题:
①;②;
③;④。
做错的题是()
A.①B.②C.③D.④
8.化简的结果为()A.B.C.D.
9.若最简二次根式的被开方数相同,则a的值为()
A.B.C.a=1D.a=—1
10.化简得()A.—2B.C.2D.
11.①;②。
12.二次根式有意义的条件是。
13.若m<0,则=。
14.成立的条件是。
15.比较大小:
。
16.,。
17.计算=。
18.的关系是。
19.若,则的值为。
20.化简的结果是。
21.求使下列各式有意义的字母的取值范围:
(1)
(2)(3)(4)
22.化简:
(1)
(2)(3)(4)
23.计算:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
24.若x,y是实数,且,求的值。
二次根式
(一)
1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.D8.C9.C10.A
11.①0.3②12.x≥0且x≠913.—m14.x≥115.<
16.1817.18.相等19.120.
21.
(1)
(2)(3)全体实数(4)
22.解:
(1)原式=;
(2)原式=;
(3)原式=;(4)原式=。
23.解:
(1)原式=49×;
(2)原式=;
(3)原式=;
(4)原式=;
(5)原式=;(6)原式=。
24.解:
∵x—1≥0,1—x≥0,∴x=1,∴y<.∴=.
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