初二数学第四讲相交线与平行线学案.docx

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初二数学第四讲相交线与平行线学案

第04讲相交线与平行线

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

120分钟

知识点

1.相交线

2.对顶角、邻补角

3.垂线段最短

4.点到直线的距离

5.同位角、内错角、同旁内角

6.平行线

7.平行公理及推论

8.平行线之间的距离

9.两直线平行的判定与性质

学习目标

1.了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；

2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；

3.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离;

4.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握平行线的性质与判定

学习重点

1.利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理

2.正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结

3.平行线的性质和判定

4.平行线之间的距离处处相等的应用

学习难点

1.识别同位角、内错角、同旁内角

2.平行线的性质与判定

3.利用垂线段最短的性质作图

学习过程

一、复习预习

同学们都看过奥运会吧，你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么？

容易看出第一行的图片让人想到垂直，而第二行的图片让人想到平行。

即使我们不懂这些体育运动评分的标准，我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。

在生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美的享受。

二、知识讲解

1.邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180°

2.“三线八角”的识别：

平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：

4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。

正确认识这八个角要抓住：

同位角位置相同要抓住位于截线同旁，被截两线的同方向（“同旁”和“同向”）——F型；内错角位于截线两侧，被截两线之间要抓住（“内部”和“两旁”）——Z型；同旁内角要抓住位于截线同旁，被截两线之间（“内部”和“同旁”）——U型.

3.垂线及其性质：

（1）定义：

两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。

（2）垂线的性质：

✓过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

✓连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。

（3）距离

✓点到直线的距离：

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离；

✓平行线之间的距离：

作平行线的垂线，垂线段的长度，称为平行线之间的距离。

4．平行线及平行线的判定、性质：

（1）平行公理及其推论：

✓经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

✓平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（2）平行线的判定及性质：

平行线的判定

平行线的性质

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、平行于同一条直线的两直线平行

5、垂直于同一条直线的两直线平行

1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

✓基本几何模型：

例如，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：

BE∥CF．

（1）如图1：

拐角处巧添平行线（拐角+平行线）

（2）如图2：

寻找“中介角”,把已知角联系起来.

5．平移及其性质：

（1）平移的条件：

①平移的方向；②移动的距离

（2）平移的性质：

✓平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；

✓平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。

6．设计作图：

（1）利用垂线段最短作图；

（2）利用平行线之间距离处处相等作图（等积变换作图）：

✓基本图形：

考点/易错点1

1.对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。

易错点：

①对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；②两条直线相交构成两对对顶角；③对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。

2.如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

易错点：

①邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；②邻补角≠补角；③两相交直线可以形成四对邻补角。

考点/易错点2

1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：

“两直线平行”。

当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。

2.只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。

3.证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.

考点/易错点3

“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别：

1.线与垂线段

✓区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

✓联系：

具有垂直于已知直线的共同特征，且都是图形。

（垂直的性质）

2.点间距离与点到直线的距离

✓区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

✓联系：

都是线段的长度，是数量；点到直线的距离是已知点与垂足间距离。

3.线段与距离：

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有下列命题：

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

【答案】A．①忽略了两条直线必须是平行线；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；④举一反例即可证明是错的：

80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的．②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：

∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B．等角的补角相等．比如：

∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．∴②⑤是正确的．

【解析】此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证．

【变式1】如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？

∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7．

【答案】∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角；∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角；∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角；∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角；∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角；∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角．

【解析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

【变式2】已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOC，∠AOF：

∠AOD=5：

26，求∠EOC．

【答案】解：

∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF，∵∠AOF：

∠AOD=5：

26，

∴设∠AOF=5x，则∠AOD=26x，∠FOC=5x，∴5x+5x+26x=36x=180°，解得：

x=5°，

∴∠AOF=∠COF=25°，∴∠EOC=∠EOA+∠AOC=90°+50°=140°．

【解析】根据已知得出∠AOF=∠COF的度数是解题关键．

【例题2】

【题干】点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，线段AB的长度为（　　）

A．

10cm

B．

4cm

C．

10cm或4cm

D．

至少4cm

【答案】D．从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3=4cm，其它情况下大于4cm。

【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．

【变式1】下列四个说法：

①两点之间，直线最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③连接两点的线段，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．其中正确的是（　　）

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

②④

【答案】D。

①两点之间，直线最短，说法错误，应是线段最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确；③连接两点的线段，叫做两点的距离，说法错误，应是连接两点的线段的长度，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法正确．

【解析】此题主要考查了点到直线的距离和两点间距离的概念．

【变式2】如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（　　）

A．

大于3cm

B．

小于5cm

C．

大于3cm或小于5cm

D．

大于3cm且小于5cm

【答案】D．∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，∴BC＜BD＜AB，即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm．

【解析】此题要熟练掌握垂线段最短的性质．

【例题3】

【题干】如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数.

【答案】解法1：

过P作射线PN∥AB.

∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠4＝∠2＝25°.

∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.

∴∠BPC＝∠3＋∠4＝32°＋25°＝57°.

解法2：

过P作射线PM∥AB.∵AB∥CD，∴PM∥CD.

∴∠6＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.

∵AB∥PM，

∴∠5＝180°－∠1＝180°－32°＝148°，

∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－148°－155°

＝57°.

解法3：

过C作CE∥BP交AB的延长线于点E.∴∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠7.

∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠7＝180°，

∴∠7＝180°－∠1－∠2＝180°－32°－25°＝123°，

∴∠BPC＝180°－∠7＝180°－123°＝57°.

解法4：

可过B作PC的平行线（请同学们自己写出证明过程，方法同解法3）.

【解析】此图不是我们所学过的“三线八角”基本图，需适当添加辅助线，构造成我们所熟知的基本图形解题。

【变式1】如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF的理由.

【答案】解法1：

如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.

∵∠B＝25°，∠E＝10°，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN.∴AB∥CM，EF∥DN.

又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.

∴∠DCM＝∠CDN.∴CM∥DN.∵AB∥CM，EF∥DN，∴AB∥EF.

解法2：

如图，分别向两方延长线段CD交EF于点M，交AB于点N.

∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°.∵∠B＝25°，

∴∠CNB＝180°－∠NCB－∠B＝20°.又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°.

又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°－∠EDM－∠E＝20°.

∴∠CNB＝EMD.∴AB∥EF.

【解析】本题图中找出能直接判定AB∥EF的角很困难，我们可以通过做辅助线入手，找到使直线平行的角，使问题转化到“三线八角”.

【变式2】如图，已知AB∥CD，探讨下面四个图形中，∠APC，∠PAB与∠PCD的关系．

【答案】

（1）图1：

∠APC=∠PAB+∠PCD．

理由：

过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）图2：

∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．

理由：

过点P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，

∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

（3）图3：

∠APC=∠PCD﹣∠PAB．

理由：

延长DC交AP于点E．∵AB∥CD，∴∠1=∠PAB；又∵∠PCD=∠1+∠APC，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB；

（4）图4：

∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

理由：

∵AB∥CD，∴∠1=∠PAB；

又∵∠1=∠APC+∠PCD，∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

【解析】解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．

【例题4】

【题干】学习平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图

（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

A．

①②

B．

②③

C．

③④

D．

①④

【答案】C．由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

【解析】理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直．

【变式1】将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1=56°，那么∠2等于（　　）

A．

56°

B．

68°

C．

62°

D．

66°

【答案】B．根据题意知：

折叠所重合的两个角相等．再根据两条直线平行，同旁内角互补，得：

2∠1+∠2=180°，解得∠2=180°﹣2∠1=68°．

【解析】此类折叠题，所重合的两个角相等，根据平行线的性质得到∠1和∠2的关系．

【变式2】将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数为．

【答案】∵∠C=120°，∠A=26°，∴∠B=180°-（∠A+∠C）=34°，又∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=34°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠A'DE，∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，

∴∠A′DB=180°-∠ADE-∠A'DE=112°．

【解析】利用三角形的内角和为180°求出∠B，从而根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，再由折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知识可求出∠A′DB的度数。

【例题5】

【题干】（2013•钦州）定义：

直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

【答案】C．∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．

【解析】理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．

【变式1】直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（　　）

A．

2cm

B．

3cm

C．

7cm

D．

3cm或7cm

【答案】D．如图，①直线c在a、b外时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5+2=7cm，②直线c在直线a、b之间时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5﹣2=3cm，综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．

【解析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．

【变式2】如图，△ABC，△EFG，四边形ACEG的面积相等，并有AE∥GD，BC：

EC=3：

1．由此可知DE：

CE：

BE=．

【答案】连接AD，∵AE∥GD，∴S△EGD=S△AGD（同底等高），∴S△AOG=S△EOD，∴S△ACD=SAEDG，S△ADE=S△EGF，又∵S△ABC=S△EFG=SACEG，∴C，D是三等分点，

∵BC：

EC=3：

1，∴DE：

CE：

BE=2：

1：

4．

【解析】连接AD，用平行线转换，这三块面积恰好是AC、AD三等分的面积，即C、D是三等分点，从而可求出比值关系．

【例题6】

【题干】如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．

（1）请利用平移的知识求出种花草的面积．

（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？

【答案】解：

（1）（8﹣2）×（8﹣1）=6×7=42（米2），答：

种花草的面积为42米2．

（2）4620÷42=110（元），答：

每平方米种植花草的费用是110元．

【解析】解决此题关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算．

【变式1】如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）试说明：

OB∥AC；

（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．求∠EOC的度数；

（3）在

（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．

【答案】

（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；

（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，∴∠BOA=80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠FOC=

（∠BOF+∠FOA）=

∠BOA=40°；

（3）结论：

∠OCB：

∠OFB的值不发生变化．理由为：

∵BC∥OA，∴∠FCO=∠COA，

又∵∠FOC=∠AOC，∴∠FOC=∠FCO，∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，∴∠OCB：

∠OFB=1：

2；

（4）由

（1）知：

OB∥AC，则∠OCA=∠BOC，由

（2）可以设：

∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，则∠OCA=∠BOC=2α+β，∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，∵∠OEC=∠OCA，∴2α+β=α+2β，∴α=β，∵∠AOB=80°，∴α=β=20°，∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60．

【解析】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

【变式2】如图①，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．

（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；

（2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：

S1=，S2=，S3=；

（3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是米2；

（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出小路部分所占的面积是米2．

【答案】

（1）如图．

（2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S1=2b，S2=2b，S3=2b；

（3）小路部分所占的面积是2×10=20米2；

（4）小路部分所占的面积是10×2+20×1﹣2×1=38米2．

【解析】需要注意的是：

平移前后图形的大小、形状都不改变．

【例题7】

【题干】如图，为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，

（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．

（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．

【答案】

（1）

连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．

（2）理由是：

垂线段最短．

【解析】

（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．

（2）过点H作直线EF的垂线段即可．

【变式1】下列各种说法（　　）

（1）如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程：

（2）如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D．使CD⊥AB，沿CD挖水沟，水沟最短；

（3）如图③，甲、乙两辆汽车分别沿道路AC，BC同时出发开往C城，若两车速度相同，那么甲车先到C城．其中，运用“垂线段最短”这个性质的是（　　）

A．

①②

B．

53°①③

C．

②③

D．

①②③

【答案】C．如图①，弯曲河道BCA改成直道BA，可以缩短航程是根据两点之间线段最短；）如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D．使CD⊥AB，沿CD挖水沟，水沟最短，根据垂线段最短；如图③，甲、乙两辆汽车分别沿道路AC，BC同时出发开往C城，若两车速度相同，那么甲车先到C城，根据垂线