141整式的乘法.docx
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141整式的乘法
14.1整式的乘法
★知识点一同底数幂的乘法
法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
字母表示:
am·an=am+n(m,n都是正整数)
●拓展:
1.同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用。
底数可以是单项式,也可以是多项式。
2.单个数字或字母可以看作指数为的幂。
3.推广:
am·an·ap=(m,n,p都是正整数)
4.同底数幂的乘法运算的逆向运用:
am+n=am·an(m,n都是正整数)
【例1】计算
(1)x4·x3;
(2)108×102;(3)yn·yn-1;(4)(a-b)3·(b-a)2;
(5)a4·an·an-1·an+1·a;(6)x4·x3·x+x5·x3;(7)(-y)4y2·(-y)3;
(8)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·[-(2x-1)]
【例2】若am=2,an=8,则am+n=
【例3】已知2x=3,则2x+3=
★知识点二幂的乘方
法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
字母表示:
(am)n=amn(m,n都是正整数)
●拓展:
1.同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用。
底数可以是单项式,也可以是多项式。
2.推广:
[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数)
3.幂的乘方的运算的逆向运用:
amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数)
【例4】计算
(1)(x4)6;
(2)(an+1)2;(3)[(-m)3]2·(m2)4;(4)-[(a-b)3]4
(5)[x3·(-x)2]3;(6)(x2)3·[(-x)3]3;(7)[(x-y)3]2+[(y-x)2]3
★知识点三积的乘方
法则:
积的乘方等于乘方的积。
字母表示:
(ab)n=anbn(n是正整数)
(积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
●拓展:
1.进行积的乘方运算时,应把底数的各因式分别乘方,不能忽略
2.积的因式可以是单项式,也可以是多项式。
3.积的乘方的底数是的形式。
((a+b)n=an+bn是(填“√”或“×”)的)
4.当底数中含有“-”时,应将其视为,作为一个因式,防止漏乘
5.推广:
(abc)n=anbncn(n为正整数)
6.积的乘方的逆用:
anbn=(ab)n(n为正整数)
【例5】计算
(1)(-
a3b)2;
(2)-(-3a2b3)4;(3)(-x3y2)5;
(4)(2×102)3×[(-10)3]4;(5)[3(m+n)2]3[-2(m+n)3]2
(6)(-2xy2)6+(-3x2y4)3;(7)(-2a)6-(-3a2)3+[-(2a)2]3
(8)48×0.258;(9)(-0.75)2018×(4/3)2018;
★知识点四单项式与单项式相乘
法则:
一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例:
-5a2×3b3a
步骤:
①系数与系数相乘,结果作为积的系数;
②同底数幂相乘,所得结果作为积的因式;
③只有一个单项式里含有的字母,连同字母的指数作为积的一个因式。
●拓展:
1.单项式乘单项式的结果仍为
2.单项式与单项式的相乘,实质是利用乘法的交换律将其转化为数的乘法及同底数幂的乘法
3.单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用
4.对于乘方和乘法的混合运算,应先算,再算
【例6】计算
(1)(-2a2b3)·(-6ab);
(2)(-2x2)·(-3x2y2)2
(3)(-2xy2)2·(-3xyn)·(-x2z);(4)-6a2b·(x-y)3·
ab2·(y-x)2
(5)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2;
★知识点五单项式与多项式相乘
例:
4a2×(3ab2-5ab3)
法则:
一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,用式子表示:
m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)
●拓展:
1.单项式与多项式相乘,结果是一个;其项数与因式中的项数相同;
2.计算时注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,同时注意单项式的符号
3.对于混合运算,先算积的乘方与幂的乘方,再算乘法,最后有同类项时,必须合并。
【例7】计算
(1)a(3a-2);
(2)(-2x2)·(
xy+y2)
(3)(-4a3+12a2b-7a3b3)·(-4a2);(4)x(x2+3)+x2(x-3)-3x(x2-x-1)
(5)(-
xy)·(
x2y-4xy2+
y);(6)6mn2·(2-
mn4)+(-
mn3)2
★知识点六多项式与多项式相乘
例:
(x+2)×(x2-4)
法则:
一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(m+n)(a+b+c)=
●拓展:
1.每一项都包含着符号,计算时要准确确定积的符号
2.结果若有同类项,要合并同类项
3.多项式与多项式相乘,结果仍为多项式。
4.(x+a)(x+b)型多项式:
(x+a)(x+b)=
【例8】计算
(1)(x+3)(x-2);
(2)(3x-1)(2x+1);
(3)(x+2)(x2-2x+4);(4)(a+b)(a-b)(a2+b2);
(5)(y+
)(y-
);(6)(a+3b)(a-3b)
★知识点七同底数幂的除法
法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
字母表示:
am
an=am-n(a
0,m,n都是正整数,且m>n)
●拓展:
1.底数a,不能为0.若a为零,则除数为零,除法没有意义
2.底数可以是单项式,也可以是多项式
3.推广:
am
an
aP=am-n-p(a
0,m,n,p都是正整数,且m>n+p)
【例9】计算
(1)x5÷x;
(2)(-xy)14÷(xy)5
(3)a2m+4÷am-1;(4)(x-2y)5÷(2y-x)2
(5)a7÷a2·a4;
★知识点八零指数幂的性质
法则:
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
字母表示:
a0=1(a
0)
【例10】
(1)(3.14-
)0=;
(2)(-2016)0=;(3)(x2+2)0=;
(4)若(2a-1)0=1,则()
A.a=
B.a=0C.a
D.a
0
(5)已知2×5m=5×2m,求m的值
★知识点九单项式除以单项式
例:
-5a2b3c÷(-3b3a)
法则:
一般地,单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
步骤:
①系数与系数相除,结果作为商的系数;
②同底数幂分别相除,所得结果作为商的因式;
③只有被除式里出现的字母,连同字母的指数作为商的一个因式。
●拓展:
1.单项式除以单项式的结果仍为
【例11】计算
(1)-3a7b4c÷9a4b2;
(2)28x4y2÷7x3y;(3)4a3m+1÷(-8a2m+1);(4)(6.4×105)÷(2×102)
★知识点十多项式除以单项式
法则:
一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
●拓展:
1.单项式除以单项式的结果仍为;其项数与的项数相同;
【例12】计算
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a;
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x;(4)(0.3a2b-
a3b2-
a4b3)÷(-0.5a2b)
【小试牛刀】
1.计算
(1)(-a3)·a4·(-a)+[(-a)4]2;
(2)(y3)2+(y2)3-2y·y5
(3)(-ab)3+7(a2)2÷(-a)·(-b3);(4)(3x2+
y-
y2)·(-
xy)3
(5)(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)(3x+4y);(6)[(-3xy)2·x3-2x2·(3xy2)3·
y]÷9x4y2
(7)[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x
2.
(1)化简求值:
(-8)2016×0.1252015;
(2)-(2
)6×0.254×(
)6×(-4)4
(3)已知10a=5,10b=6,求102a+3b的值
3.
(1)已知m,n为正整数,若2m=32,2n=4,求2m+n的值
(2)已知x为正整数,若2x=64,求2x+3的值。
(3)已知am=2017,an=2018,求am-n的值
4.已知n为正整数且a2n=3,求a4n-a6n的值。
5.如果(x+q)(x+
)的结果中不含x的一次项,那么q=
6.已知(-2x3y2)3÷(-
xny2)=-mx7yp,求n,m,p的值
7.已知一个多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7-28x7y4+7y(2x3y2)2,求这个多项式
8.若多项式(x2+mx+n)(x2-3x+4)展开后不含x3项和x2项,求m,n的值。
9.甲、乙二人共同计算整式乘法(2x+a)(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为
6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10
(1)你能知道式子中a,b的值各是多少么?
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果
10.先化简,再求值
(1)x(x2-6x-9)-x(x2-8x-15)+2x(3-x),其中x=-
(2)[(y-2x)(-y-2x)-4(x2-y2)]÷(-2y),其中y=2
(3)(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3y)+6x(-x-
y),其中x=-1,y=2
(4)[(ab+1)(ab-2)-2a2b2+2]÷(-ab),其中a=
,b=-
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- 141 整式 乘法
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