第5讲 不等式组的应用尖子班.docx

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第5讲不等式组的应用尖子班

第5讲不等式组的应用

知识点1实际应用类问题

对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；

（5）作答．

【典例】

1.某新建成学校举行“美化绿化校园”活动，计划购买A、B两种花木共300棵，其中A花木每棵20元，B花木每棵30元．

（1）若购进A，B两种花木刚好用去7300元，则购买了A，B两种花木各多少棵？

（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量的1.5倍，且购买A、B两种花木的总费用不超过7820元，请问学校有哪几种购买方案？

哪种方案最省钱？

2.湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？

最少是多少元？

【方法总结】

这两道题都属于优选方案问题，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；

（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

【随堂练习】

1．某市环保局决定购买A、B两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫．已知1辆A型扫地车和2辆B型扫地车每周可以处理地面垃圾100吨，2辆A型扫地车和1辆B型扫地车每周可以处理垃圾110吨．

（1）求A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨？

（2）已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？

最少资金是多少？

2．某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg．

（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．

（2）问一共有几种符合要求的生产方案？

并列举出来．

（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？

（请用数据说明）

知识点2表格图形类问题

在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.

【典例】

1.星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：

进价（元/台）

售价（元/台）

电饭煲

200

250

电压锅

160

200

（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？

（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的

，问橱具店有哪几种进货方案？

并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？

2.宁波某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：

A型

B型

价格（万元/台）

15

12

月污水处理能力（吨/月）

250

200

经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．

（1）该企业有哪几种购买方案？

（2）哪种方案更省钱？

并说明理由．

3.某校准备为七年级同学庆祝最后一个“儿童节”，至少需要甲种鲜花266朵，乙种鲜花169朵，制成A、B两种造型共16束．要求A造型用甲种鲜花18朵，乙种鲜花10朵；B造型用甲种鲜花16朵，乙种鲜花11朵，送某花店制作．

（1）花店共有几种制作方案？

分别有哪几种？

（2）若A种造型每束鲜花可获得利润12元，B种造型每束鲜花可获得利润10元．如果你是店主，你选择哪种制作方案？

说明理由．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：

（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组；

（2）根据总价=单价×数量，分别求出3种购买方案所需总费用．

【随堂练习】

1．某家电专卖店销售每台进价分别200元、160元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况

　销售时段

销售数量　

　销售收入

　A种型号

B种型号　

　第一周

3台

4台

　1550元

　第二周

4台

8台

　2600元

（进价、售价均保持不变，利销＝销售收入﹣进货成本）

（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若专卖店准备用不多于3560元的金额再采购这两种型号的电风扇共20台，且采购A型电风扇的数量不少于8台．求专卖店有哪几种采购方案？

（3）在

（2）的条件下．如果采购的电风扇都能销售完，请直接写出哪种采购方案专卖店所获利润最大？

最大利润是多少？

2．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：

进价（元/台）

售价（元/台）

电饭煲

200

250

电压锅

160

200

（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？

（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的

，问橱具店有哪几种进货方案？

并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？

3．某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如表

进价（元/辆）

售价（元/辆）

自行车A

200

250

自行车B

160

200

（1）一季度，自信车专卖店购进这两种型号的自行车共30辆，用去了5600元，并且全部售完，该自行车专卖店在该买卖中赚了______元；

（2）为了满足市场需求，二季度自行车专卖店决定用不超过9000元的资金采购A、B两种型号的自行车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的

，问自行车专卖店有哪几种进货方案？

并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多？

知识点3新定义类问题

1.阅读以下材料：

对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：

M{﹣1，2，3}=

=

；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2，a}=

解决下列问题：

（1）填空：

如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为．

（2）如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．

2.阅读以下计算程序：

（1）当x=1000时，输出的值是多少？

（2）问经过二次输入才能输出y的值，求x0的取值范围？

【方法总结】

对于新定义问题而言，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

【随堂练习】

1．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：

对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：

M{﹣1，2，3}＝

＝

，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝

＝

，min{﹣1，2，a}＝

．

（1）请填空：

min{﹣1，3，0}＝____；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝_____；

（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．

（3）若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．

综合运用

1.某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．

（1）求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？

（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？

2.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

甲

乙

进价（元/件）

15

35

售价（元/件）

20

45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？

并直接写出其中获利最大的购货方案．

3.某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：

（A，B两款汽车的销售单价保持不变）

（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？

（2）若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

4.为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表：

若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元

（1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？

（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和不少于680万人次，有哪几种购车方案？

请你设计一个方案，使得购车总费用最少．

5.为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带．

（1）求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带；

（2）该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？

6.某工厂用A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．

（1）现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，设组装C产品x个．

①根据题意，完成下面表格：

原件产品

C（件）

D（件）

A（个）

x

B（个）

3（100﹣x）

②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？

（2）现有A原件162个，B原件a个，组装C，D两种产品，A，B两种原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值．

6.如图所示的是一个运算程序．

例如：

根据所给的运算程序可知，当x=5时，5×5+2=27＜37，再把x=27代入，得5×27+2=137＞37，则输出的值为137．

（1）填空：

当x=10时，输出的值为；当x=2时，输出的值为．

（2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．

7.深化理解：

新定义：

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，

即：

当n为非负整数时，如果n﹣

≤x＜n+

，则＜x＞=n；

反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣

≤x＜n+

．

例如：

＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…

试解决下列问题：

（1）填空：

①＜π＞=（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为．

（2）若关于x的不等式组

的整数解恰有3个，求a的取值范围．

（3）求满足＜x＞=

x的所有非负实数x的值．

8.某景点的门票价格如下表：

某校八年级

（一）、

（二）两班共102人去游览该景点，其中

（1）班人数少于50人，

（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．

（1）两个班各有多少名学生？

（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少元？

9.按如下程序进行计算：

规定：

程序运行到“结果是否≥55”为一次运算．

（1）若x=8，则输出结果是；

（2）若程序一次运算就输出结果，求x的最小值；

（3）若程序运算三次才停止，则可输入的整数x是哪些？

10.先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：

对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：

M{﹣1，2，3}=

=

，min{﹣1，2，3}=﹣1，max{﹣1，2，3}=3；M{﹣1，2，a}=

=

，min{﹣1，2，a}=

．

（1）请填空：

max{﹣2，3，c}=；若m＜0，n＞0，min{3m，（n+3）m，﹣mn}=；

（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}=2，求x的取值范围；

（3）若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x的值．