导数中的构造函数最全精编.docx
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导数中的构造函数最全精编
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
(一)利用f(x)进行抽象函数构造
【例2】设
f(x)是定义在R上的偶函数,且
f
(1)=0,当x<0时,有
xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为
时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
【解析】构造F(x)=
f(x)
x2
,则F(x)=
f'(x)⋅x-2f(x)
,当x>0时,
x3
xf'(x)-2f(x)<0,可以推出x>0,F'(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知
f(x)>0的解集为(-1,0)⋃(0,1).
【变式提升】设函数f(x)满足x3f'(x)+3x2f(x)=1+lnx,且f(
则x>0时,f(x)()
A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值
xn
C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值
e)=1,
2e
'
❀❀❀思路点拨:
满足“xf'(x)+nf(x)”形式,为n=3时情况,优先构造F(x)=f(x),
然后利用积分、函数的性质求解即可.
❀❀❀思路点拨:
满足“xf'(x)+nf(x)”形式,优先构造F(x)=xf(2x),然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意f(-2)=0和F(x)的转化.
【例4】设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有2xf'(2x)+f(2x)<0,且f(-2)=0,则不等式xf(2x)<0的解集为.
【解析】构造F(x)=xf(2x),则F'(x)=2xf'(x)+f(2x),当x<0时,
F'(x)=2xf'(x)+f(2x)<0,可以推出x<0,F'(x)<0,F(x)在(-∞,0)上单调递减.
∵f(x)为奇函数,x为奇函数,所以F(x)为偶函数,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增.根据f(-2)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知xf(2x)<0的解集为(-1,0)⋃(0,1).
(2)利用f(x)与ex构造;
f(x)与ex构造,一方面是对u⋅v,u
v
函数形式的考察,另外一方面是对
(ex)=ex的考察.所以对于f(x)±f'(x)类型,我们可以等同
xf(x),f(x)的类型处
x
理,“+”法优先考虑构造F(x)=
f(x)⋅ex,“”法优先考虑构造F(x)=
f(x)
ex.
我们根据得出的结论去解决例6题.
【例6】若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式
f(x)>e2x的解集为
【变式提升】若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)-4>0,f(0)=-1,则不等式f(x)>e2x-2的解集为
【例7】已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若f(x)满足:
(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是()
(A)f
(1)<
f(0)
(B)f
(2)>e2f(0)
(C)f(3)>e3f(0)(D)f(4) 5 (3)利用f(x)与sinx,cosx构造. sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一起看看常考的几种形式. 【变式提升】定义在(0, π )上的函数,函数f 2 '(x)是它的导函数,且恒有 f(x) πππ A、f()> 4 f()3 B、f (1)<2f( )sin1 6 ππππ C、f()> 6 f()4 D、f()< 6 f()3 则f'(0)=() A、26 B、29 C、212 D、215 f'(x) 正确的是() f(5π4ππ A、) 63 B、f()< 4 f(π) C、f(-5π< 6 f(-4π 3 D、f(-π> 4 f(-π) 构造函数,作为一种做题技巧的体现,考察了学生的思考能力和动手能力,是一种非常实用的做题技巧,希望我的总结分享能够给大家带来帮助。
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