两个重要极限练习题.docx
- 文档编号:23314601
- 上传时间:2023-05-16
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:284.78KB
两个重要极限练习题.docx
《两个重要极限练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《两个重要极限练习题.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题
教学过程:
引入:
考察极限
sinxlim
x0x
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
sinx
X
0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
当x取正值趋近于0时,竺兰
x
1,即lim
x0
问题1:
观察当x
0时函数的变化趋势:
sinx=1;
x
当x取负值趋近于0时,-x0,-x>0,sin(-x)>0•于是
sinxlim
x0
综上所述,得
1・
sinxlim
x0
lim业1的特点:
x0x
(1)它是“-”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是
0
(2)
在分式中同时出现三角函数和x的幕.
(3)
求血匚字
x0x2
所以
解令arcsinx=t,贝Ux=sint且x0时t0.arcsinxt‘
lim=lim1•
x0xtosint
tanxsinx
求lim
x0
1
设t=tanx,贝U=cotx.
t
0时t0,
1
pm(1tanx)cotx=lim(1tf=e.
小结:
两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用,特别要注意其变式。
作业:
见首页
§-1导数的概念
教学过程:
引入:
一、两个实例
实例1瞬时速度
考察质点的自由落体运动•真空中,质点在时刻t=0到时刻t这一时间段下落的路程s
由公式s=lgt2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.
2
当t很小时,从1秒到1+t秒这段时间,质点运动的速度变化不大,可以这段时间的
平均速度作为质点在t=1时速度的近似.
t(s)
s(m)
—(m/s)t
0.1
1.029
10.29
0.01
0.09849
9.849
0.001
0.0098049
9.8049
0.0001
0.000980049
9.80049
0.00001
0.00009800049
9.800049
上表看出,平均速度—随着t变化而变化,当t越小时,一?
越接近于一个定值一tt
9.8m/s.考察下列各式:
1,2121,,2s=-g(1+t)—丄g1=丄g[2t+(t)],
222
思考:
当t越来越接近于0时,一s越来越接近于1秒时的“速度”.现在取t0的
t
极限,得
s1
limlimg2tg=9.8(m/s).
0t02
为质点在t=1秒时速度为瞬时速度.
一般地,设质点的位移规律是s=f(t),在时刻t时时间有改变量t,s相应的改变量
为s=f(t+t)-f(t),在时间段t到t+t的平均速度为
sfttft
v=
tt
对平均速度取t0的极限,得
s
v(t)=lim-
t0t
称v(t)为时刻t的瞬时速。
研究类似的例子
实例2曲线的切线
设方程为y=f(x)曲线为L.其上一点A的坐标为(X0,f(x。
)).在曲线上点A附近另取一点B,它的坐标是(X0+x,f(x0+x)).直线AB是曲线的割线,它的倾斜角记作.由图中的
RtACB可知割线AB的斜率
在数量上,它表示当自变量从X变到X+X时函数f(x)关于变量X的平均变化率(增长率或减小率).
现在让点B沿着曲线L趋向于点A,此时x0,过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置
直线AT,我们就称L在点A处存在切线AT.记AT的倾斜角为,则为的极限,若90,得切线AT
的斜率为
tan
=limtan
=limylimf(x0
X)f(X0)
x0
x0xx0
X
在数量上,它表示函数f(x)在X处的变化率.
上述两个实例,虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体容不同,但本质都是
要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.
1.自变量X作微小变化X,求出函数在自变量这个段的平均变化率,作为点X
X
处变化率的近似;
2.对y求X0的极限lim」,若它存在,这个极限即为点x处变化率的的精确值.
x0x
二、导数的定义
1.函数在一点处可导的概念
定义设函数y=f(x)在X0的某个邻域有定义.对应于自变量x在X0处有改变量x,函数y=f(x)相应的改变量为y=f(X0+x)-f(x0),若这两个改变量的比
yfX。
xfx°
XX
当x0时存在极限,我们就称函数y=f(x)在点x0处可导,并把这一极限称为函数y=f(x)
在点x0处的导数(或变化率),记作y|xX0或f(x0)或dy|或df(x).即
丿I八八0'/XX0IXX0
dxdx
y|XX0=f(X0)=lim」limf(X0x)f(X0)(2-1)
x0xx0x
比值―^表示函数y=f(x)在X0到X0+x之间的平均变化率,导数y|xX0则表示了函数
x
在点X0处的变化率,它反映了函数y=f(x)在点X0处的变化的快慢.
如果当x0时一的极限不存在,我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在.
X
在定义中,若设X=X0+X,则(2-1)可写成
f(X0)=limfxfX。
(2-2)
xx0XX0
根据导数的定义,求函数y=f(x)在点X0处的导数的步骤如下:
第一步求函数的改变量y=f(X0+x)-f(X0);
第二步求比值丄卫乂—X)f(Xo);
X
lim」•
x0x
x=2处的导数.
222
y=f(2+x)-f
(2)=(2+x)-2=4x+(x);
4xx,
=4+
x
第三步求极限f(xo)=
2
例1求y=f(x)=x在点
解
y
X所以y|x=2=4.
当limf
x0
x;limy=lim(4+x)=4.
x0xx0
f(xo);当lim
Xo一x——匕丄存在时,称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的左导数,记作
X
fXoX
x0X
存在时,称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的右导数,
记作f(Xo)•
据极限与左、右极限之间的关系
f(xo)
存在f(Xo),f(Xo),且f(Xo)=f(Xo)=f(X0)•
2.导函数的概念
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)每一点处都可导,就称函数
导•这时,对开区间(a,b)每一个确定的值xo都有对应着一个确定的导数开区间(a,b),构成一个新的函数,我们把这一新的函数称为
或y等.
根据导数定义,就可得出导函数
fXXfX
0
y=f(x)在开区间(a,b)可f(xo),这样就在f(x)的导函数,记作等f(x)
f(x)=y=limylim
x0xx
导函数也简称为导数.
注意
(1)f(x)是X的函数,而
(2)f(X)在点处的导数f求y=C(C为常数)的导数.
因为y=C-C=0,——=0,
xx
C)=0常数的导数恒等于零).求y=xn(n
N,xR)的导数.
(2-3)
因为y=(x+
nnn-1
x)-x=nxx+C
yn-12
=nx+Cnxx
2n-2
从而有
y=limy=lim[
x0xx0nn-1
x)=nx.
可以证明,一般的幕函数
-1
(X)=X•
f(xo)是一个数值
(xo)就是导函数f(x)在点Xo处的函数值.
所以
n-2
(
x+...+(X)
n-12n-2
nx+Cnx
n-1
y=limy=0.
x0x
2..
X)+...+(X),
n-1=n-1
x+...+(x)]=nx
y=x,(R,x>O)的导数为
-1-2
=(x)=-x
1d1dd
例如(X)=(x2)=!
x巳1;(-)
22&x
中已经求得
求y=sinx,(xR»的导数.y=sin(xx)sinx,在§1-7
XX
y
lim=cosx,
xox
x)=cosx.
即(sin
用类似的方法可以求得y=cosx,(x
(cosx)=-sinx.
例5求y=logax的导数(a>o,a1,解
R)的导数为
(In
对a=e、y=lnx的情况,x)=!
.
x
在§1-7
x>0).
中已经求得为
对一般的
a,
只要先用换底公式得
y=log
aX=旦,以下与§1-7完全相同推导,可得lna
(log
ax)=-—.xlna
三、导数的几何意义
A(xo,f(xo))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)
方程为y=f(x)的曲线,在点
在xo存在导数f(xo),且AT的斜率k=f(xo).
导数的几何意义一一函数y=f(x)在xo处的导数f(xo),是函数图象在点(xo,f(x。
))处切
线的斜率,另一方面也可立即得到切线的方程为
y-f(xo)=f(xo)(x_xo)
(2-4)
过切点A(xo,f(xo))且垂直于切线的直线,称为曲线y=f(x)在点A(xo,f(xo))处的法线,
则当切线非水平(即f(X。
)0)时的法线方程为
故所求的切线方程为
1
y+ln2=2(x-),即y=2x-1-ln2.
2
四、可导和连续的关系
如果函数y=f(x)在点xo处可导,则存在极限
所以limy=lim[f(X0)x+x]=0.
x0x0
这表明函数y=f(x)在点X。
处连续.
但y=f(x)在点x0处连续,在x0处不一定是可导的.例如:
(1)y=|x|在x=0处都连续但却不可导.
(2)y=\x在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线,只是切线是
垂直的.
学生思考:
0,讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性.
0
小结:
明确导数就是函数相对于自变量的变化率。
作业:
见首页
§4-2换元积分法
教学过程
复习引入
1.不定积分的概念;
2.不定积分的基本公式和性质。
cosxdx=sinx+C.为了应用这个公式,可进行
新课:
一、第一类换元积分法
例如:
cos2xdx,积分基本公式中只有:
如下变换:
1\令2x=u1u=2x回代1.丄Q
cos2xdxcos2x-d(2x)-cosud^isinu+C
222
1
sin2x+C
2
11
因为(丄sin2x+C)=cos2x,所以cosxdx=sin2x+C是正确的.
22
定理1设f(u)具有原函数Hu),(x)是连续函数,那么
f[(X)](x)dx=F[(x)]+C.
证明思路因为F(u)是f(u)的一个原函数,所以F(u)=f(u);
由复合函数的微分法得:
dF[(x)]=F(u)(x)dx=f[(x)](x)dx,
所以f[(x)](x)dx=F[(x)]+C.
f(u)du,利用已知f(u)
基本思想:
作变量代换u=(x),(d(x)=(x)dx),变原积分为
的原函数是F(u)得到积分,称为第一类换元积分法
例1求(axb)10dx,(a,b为常数).解因为dx=!
d(ax+b),所以
令ax+b=u110111丄
令udu=u+C
厂11a
a
(axb)10dx丄(axb)10d(axb)
a
u=ax+b回代丄(ax+b)11+C.
11a
例2求ln^dx.
x
解因为!
dx=d(lnx),所以
x
孑宀回Ja2x2+C
学生思考:
求sinx2dx•
1+cosx
部分
第一类换元积分法计算的关键:
把被积表达式凑成两部分,一部分为d(x),另-为(x)的函数f[(x)],且f(u)的原函数易于求得•因此,第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法.
常用微分式:
11
例6求ycos—dx•
xx
解原式=cosh』)sin1C•
xxx
例7求J—2dx,(a>0).
22
ax
解原式=
_dx
a,,1(:
)
一d(-)arcsinXC-
J(J)2aa
例8求212dx•
ax
牙dx
1x
arctan(—)C-a一
例9求
1
2
ydx,
(常数a0).
a
x
解原式=
:
1
(-
1
111
)dx[d(ax)
2a
a
x
ax2aax
1
ax
=
ln|
|C.
2a
ax
厂d(ax)]
例10求tanxdx.
解原式=dx-—d(cosx)=-ln|cosx|+C.
cosxcosx
类似可得:
cotxdx=ln|sinx|+C.
例11求secxdx.
丄叫_)2+C=ln|secx+tanx|+C.
2cosx
类似可得:
cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.
学生思考:
1
求
sin2xdx.2求sin3xdx
3
求
cos3xcos2xdx
4
求
1lnx,dxxlnx
教师讲评
小结第一类换元积分法关键是凑微分,基本的凑微分方法要掌握。
作业见首页
高等数学典型教案
信息职业技术学院数学教研室
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 两个 重要 极限 练习题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)