春季高考北京卷理科数学试题及答案.docx
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春季高考北京卷理科数学试题及答案
2005年普通高等学校春季招生考试(北京卷)数学试卷(理工农医类)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、i-2的共轭复数是()
A.2+i
B.2-i
C.-2+i
D.-2-i
2、函数y=|log2x|的图象是
xxx
3、有如下三个命题:
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。
其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
4、如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时
取得最大值,那么()
A.T=2,θ=π
2
B.T=1,θ=π
C.T=2,θ=π
D.T=1,θ=π
2
5、设abc≠0,“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
6、已知双曲线的两个焦点为F1(-
5,0),F2(
5,0),P是此双曲线上的一
点,且PF1⊥PF2,|PF1|∙|PF2|=2,则该双曲线的方程是()
A.x-y=123
B.x-y=132
C.x-y2=1
4
D.x2-y=1
4
7、在∆ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么∆ABC一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
8、若不等式(-1)n
值范围是()
a<2+
(-1)n+1
n
对于任意正整数n恒成立,则实数a的取
A.⎡-2,3⎫
B.⎛-2,3⎫
C.⎡-3,3⎫
D.⎛-3,3⎫
⎪
⎣2⎭
ç⎪
⎝2⎭
⎪
⎣2⎭
ç⎪
⎝2⎭
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在题中横线上。
n2+2n
9、lim
n→∞2n
-3=。
10、已知sinθ+cosθ=2
3,那么sinθ的值为
,cos2θ的值为。
223
11、若圆x2+y2+mx-1=0与直线y=-1相切,且其圆心在y轴的左侧,
4
则m的值为。
12、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面
BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为。
13、从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系
数,可组成不同的二次函数共有个,其中不同的偶函数共有
个。
(用数字作答)
14、若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值
范围是;若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分12分)设函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数
g(x)=的定义域为集合N。
求:
(1)集合M,N;
(2)集合MN,MN。
16、(本小题满分14分)如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G
作BC边的平行线,分别交AB、AC于B1、C1。
将∆AB1C1沿B1C1折起到∆A1B1C1
的位置,使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M。
求:
(1)二面角A1-B1C1-M的大小;
(2)异面直线A1B1与CC1所成角的大小(用反三角函数表示)。
AC
B
17、(本小题满分14分)已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20。
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
(3)设Pn=b1+b4+b7++b3n-2,Qn=b10+b12+b14++b2n+8,其中
n=1,2,,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论。
18、(本小题满分14分)如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截
距分别是a和b,且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x,y)、N(x,y
)两点。
(1)写出直线l的截距式方程;
1122
(2)证明:
1+1
y1y2
=1;
b
(3)当a=2p时,求∠MON的大小。
l
19、(本小题满分13分)经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时)之间的函
数关系为:
y=
920υ
υ2+3υ+1600
(υ>0)。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度υ为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?
20、(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据:
a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0。
为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对
其进行如下加工:
记T=a0
+a1
++a5
,xn
=n,y
5n
=1(a
T0
+a1
++an),
作函数y=
f(x),使其图象为逐点依次连接点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,,5)的折线。
(1)求f(0)和f
(1)的值;
(2)设Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1,k2,k3,k4,k5的大小关系;
(3)证明:
当x∈(0,1)时,f(x) (4)求由函数 y=x与 y=f(x)的图象所围成图形的面积(用 a1,a2,a3,a4,a5表示)。 2005年普通高等学校春季招生考试 数学(理工农医类)(北京卷)参考答案 一、选择题: 本大题主要考查基本知识和基本技能.每小题5分,满分40分. 1.D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.A 二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分. 117 9.10. 11. 12.(4+2 2)a2 13.186 239 14.(-4,0)(-∞,-6]⋃[2,+∞) 三、解答题: 本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.本小题主要考查集合的基本知识,考查逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解: (Ⅰ)M ={x|2x-3>0}={x|x>3}; 2 N={x|1- 2 x-1 ≥0}={x|x-3≥0}={x|x≥3或x<1} x-1 (Ⅱ)MN={x|x≥3}; MN={x|x<1或x>3. 2 16.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力,罗辑思维能力和运算能力.满分14分. 解(Ⅰ)连接AM,A1G ∵G是正三角形ABC的中心,且M为BC的中点, ∴A,G,M三点共线,AM⊥BC. ∵B1C1∥BC, ∴B1C1⊥AM于G, 即GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1, ∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角. ∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M, ∴A1M⊥MG,∠A1MG=90° 在Rt△A1GM中,由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90° 即二面角A1—B1C1—M的大小是60° (Ⅱ)过B1作C1C的平行线交BC于P,则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角.由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP, PM=BM—BP=1,A1B1=AB1=2. 2 ∵A1M⊥面BB1C1C于M, ∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°. 在Rt△A1GM中,A1M=A1G·sin60= ⋅3=3. 在Rt△A1MP中,AP2=AM2+PM2= 22 32+1 2=5. 11()() 222 在△A1B1P中,由余弦定理得 cos∠ABP= A1B1 + B1P -A1P 22+12-5 =2 =5, 112⋅AB⋅BP 2⋅2⋅18 111 ∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos5. 8 17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解 决问题的能力.满分14分. 解: (Ⅰ)设{a}的公比为q,由a=aq2得q2=a3=9 q=±3 n31 a1 当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去; 当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. 设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得 4b1 +4⨯3d=262 (Ⅱ)S 又b1=2,解得d=3, 所以bn=3n-1. =n(b1+bn)=3n2+1n. n222 (Ⅲ)b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,所以 P=nb+n(n-1)⋅3d=9n2-5n; n1222 b10,b12,b14,,b2n+8组成2d为公差的等差数列,b10=29, 所以Qn =nb10 +n(n-1)⋅2d=3n2+26n,2 P-Q=92-5n)-(3n2+26n)=3n(n-19), nn(n 222 所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qm;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn 18.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力,满分14分. (Ⅰ)解: 直线l的截距式方程为 x+y=1.① ab (Ⅱ)证明: 由①及y2=2px消去x可得 by2+2pay-2pab=0② 点M,N的纵坐标y1,y2为②的两个根,故 y+y =-2pa,yy =-2pa. 12b 12 -2pa 所以1+1 y1y2 =y1+y2 y1y2 =b -2pa =1. b (Ⅲ)解: 设OM,ON的斜率分别为k1,k2, 则k1= y1,k= x1 y2. x2 12 当a=2p时,由(II)知,yy=-2pa=-4p2, 由y2=2px,y 2=2px相乘得(yy)2=4p2xx, 112 (yy)2 21212 (4p2) x1x2 =12= 4p2 4p2 =4p2, 因此k1k2 =y1y2 xx =-4p2 4p2 =-1, 12 所以OM ⊥ON,即∠MON=90. 19.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分13分. 920 920 920 解: (Ⅰ)依题意,y= 3+(v+ 1600) v ≤ 3+2 =, 160083 当且仅当v=1600,即v=40时,上式等号成立, v 所以y max =920≈11.1(千辆/小时). 83 (Ⅱ)由条件得 920v v2+3v+1600 >10, 整理得v2-89v+1600<0,即(v-25)(v-64)<0,解得25 答: 当v=40千米/小时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,满分13分. (Ⅰ)解: f(0)= a0=0, a0++a5 f (1)=a0++a5 a0++a5 =1, (Ⅱ)解: k =yn-yn-1 =5a n=1,2,,5, xn-x n-1T 因为a1 所以k1 (Ⅲ)证明: 由于f(x)的图象是连接各点Pn(xn,yn)(n=0,1,,5)的折线,要证明 f(x) f(x)= f(xn)-f(xn-1)(x-x )+f(x) xn-x n-1 n-1 n-1 =xn-x f(x )+x-xn-1 f(x) xn-x n-1 n-1 xn-x n n-1 + x-xn-1x=x xn-x n-1 n-1 xn-x n n-1 下面证明f(xn) 证法一: 对任何n(n=1,2,3,4), 5(a1++an)=[n+(5-n)](a1++an) =n(a1++an)+(5-n)(a1++an) ≤n(a1++an)+(5-n)nan =n[a1++an+(5-n)an] 所以f(xn 证法二: )=a1++an T 5n 对任何n(n=1,2,3,4) 当kn<1时 yn=(y1-y0)+(y2-y1)++(yn-yn-1) =1(k 51 + k2 + +kn ) 5n 当kn≥1时, yn=y5-(y5-yn) =1-[(yn+1-yn)+(yn+2-yn+1)++(y5-y4)] =1-1(k+k++k)<1-1(5-n)=n=x, 5n+1n+2555n 综上,f(xn) (Ⅳ)解: 设S1为[0,1]上折线f(x)与x轴及直线x=1所围成图形的面积,则 S=1(y +y)(x-x)+1(y +y)(x-x)+1(y +y)(x-x) 120 11021 22122 332 +1(y 23 + y4 )(x4 - x3 )+1(y 24 + y5 )(x5 -x4) =1(2y +2y +2y +2y +y) 10 =5T[a1 1 +(a1 2 +a2 3 )+(a1 4 +a2 5 +a3 )+(a1 +a2 +a3 +a4 )]+1 10 =1+1 105T (4a1 +3a2 +2a3 +a4) 直线y=x与折线y= f(x)所围成图形的面积为 S=1-S= -2a1-a2+a4+2a5. 25(a1 + a2 + a3 + a4 +a5)
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