正弦定理余弦定理应用实例练习含答案.docx
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正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3应用举例
时间:
45分钟满分:
100分
课堂训练
1.海上有AB两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,贝SB、C间的距离是()
A.103海里B.106海里
C.52海里D.5.6海里
【答案】D
【解析】如图,/A=60°,/B=75°,
则/C=45°,
由正弦定理得:
AB・sinA=10xsin6。
°
sinCsin45°
=56.
2.如图所示,设AB两点在河的两岸,一测量者在A所在的河
岸边选定一点C,测出AC的距离为50m/AC=45°,/CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为()
【答案】A
【解析】因为/ACB=45°,/CAB=105°,所以/ABC-30
得AB=50'2m选A.
3.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是m.
【答案】5.21
【解析】如图所示,塔高为OC则/OAG60°,/AOB=180°
—30°=150°,/CB(-45°,AB=35,
设电视塔高度为hm贝yO*fh,OB=^在^AOB中由余弦定
理可得AB=OA+OB—20A0B・cos/AOB
即352=(fh)2+h2—2^33hxhx(—爭
解得h=5;21.
4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?
【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线
BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可.
【解析】在厶ABC中,BC=30,/B=30°,/ACB=135°,
•••/BAC=15°
•••AC=60cos15°=60cos(45°-30°)
=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(''6+:
2),
•A到BC的距离为d=A@in45°=15(,;3+1)〜40.98海里>38海里,所以继续向南航行,没有触礁危险.
课后作业
、选择题(每小题5分,共40分)
在灯塔B的(
【答案】
TAC=BCA=ZABC=180—80=50°,ABG=180—ZCB—ZCBA=180°—120°—50°=10°.故选B.
2.某市在“旧城改造”工程中,计划在如下图所示的一块三角形
空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()
C.150a元D.300a元
【答案】C
111
【解析】Sa=2^20X30XSin150°=p20X30X㊁
=150(卅),
•••购买这种草皮需要150a元,故选C.
3.有一长为10m的斜坡,倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:
m是()
A.5B.10
C.10.'2D.10'3
【答案】C
【解析】如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°.在厶
ABB中,利用正弦定理可求得BB的长度.
在厶ABB中,/B=30°,
/BAB=75°—30°=45°,AB=10m.
由正弦定理,得
•••坡底延长10.'2m时,斜坡的倾斜角将变为30°.
4.
一船以22'6km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的
北偏东
45°,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在船的南偏
【答案】
•SB=66(km).
5.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最
大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被
大风折断.某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干
也倾斜,与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是(
206
A.-0T"米
c.晋米
D.20.'2米
【答案】A
【解析】设树干底部为Q折断点为P,树尖着地处为M如图,
△QPM中,/P=180°—/M-ZQ=180°—45°-75°=60°,由正
PQMOM©nM20Xsin45°20.6
弦疋理得=,,…PQ===.
sinMsinPsinPsin603
sinPsin60
6.甲船在B岛的正南A处,AB=10km甲船以4km/h
的速度向
正北航行,同时,乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东
60°的方
向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是(
150
A.-^min
B.^h
C.21.5minD.2.15h
【答案】A
【解析】
P
如图,设经过x小时时距离为s,则在△BPQ中,由余弦定理知:
P(Q=BP+BQ—2BP・BQ・cos120°,
1
即s2=(10—4x)2+(6x)2—2(10—4x)X6xx(—㊁)
2
b5g
2a=袒时,
=28x—20x+100.
s2最小,此时x=ghu^°min.
147
7.—艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行,已知河水流速为2km/h,贝卩经过-3h,该船实际航程为()
A.215km
C.221km
B.6km
D.8km
【答案】B
【解析】如图,
V|OA=2,|d^B=4,ZAOB=120°,
•••/A=60°,|OC=22+42-2X2X4cos60°=23
经过」3h,该船的航程为2[3X-「;3=6(km).
8如图,△AB(是简易遮阳棚,A、B是南北方向上的两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为()
A.75°B.60°
C.50°D.45°
【答案】C
【解析】如图,作CE1平面ABD于点E,则/CDE是太阳光线
与地面所成的角,即/CDE=40°,延长DE交直线AB于点F,连接CF则/CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为a.要使5abd最大,只需DF最大.
...CFsin.J0-a
TCF为定值,二当a=50°时,DF最大.
二、填空题(每小题10分,共20分)
【解析】
9.如图在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿倾斜角为B的斜坡
在厶PAB中,已知/BAP=a—^,ZAPB=y—a,
AB=a,
由正弦定理可得pA=需「a,
亠rasinasiny—B
在Rt△PAC中,P3P伽a=siny—a
10.—只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后,再向右转105°爬行20cm
又向右转135°,这样继续爬行可回到出发点处,那么x=
【答案】20''6
【解析】如图△ABC中,/A=45°+15°=60°,/B=45
+30°=75°,/AC=45°,由正弦定理知
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.AB是海平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,/BA=120°,又在B点测得/ABD=45°,其中D是点C到水平面的垂足,求山高CD
【分析】如图,由于CDL平面ABDZCA圧45°,所以CD=
AD因此,只需在厶ABD中求出AD即可.
【解析】在厶ABD中,/BDA=180°—45°—120°=15
uABAD
=
sin15°sin45°,
=800(:
3+1)(m).
vCDL平面ABD/CAD=45°
•••CD=AD=800(_「;3+1)〜2186(m).
答:
山高CD为2186m.
12.如图,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千
米/小时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在0点南偏东方向距0点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机手中?
并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角.
【分析】根据题意画出示意图如图所示.在△MON中,利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式,然后利用二次函数求最值.
【解析】如图所示,设快艇从M处以v千米/小时的速度出发,沿MN方向航行,t小时后与汽车相遇.在厶MOf中,M3500,ONk100t,
MNkvt,
设/MOka,由题意得
由余弦定理,得
MNkO陥ON—2OMON-cosa,
即V2t2=5002+1002t2—2x500X100tx5.
5
v2=5002x右—2x500x80x*+1002=(500x1—80)2+3600.
180252
当r=500,即t=~4时,Vmin=3600.
即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶,
25
此时MNk60X=375,MQ是M到ON的距离,且MQ=300.4
3004
设/MNOB,贝卩sinB=375=5.所以可得a+B=90°,
即MNWOM所成的角为90°
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- 正弦 定理 余弦 应用 实例 练习 答案