河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练.docx
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河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练
专题四 与圆有关的计算
类型一与切线有关的简单证明与计算
(2018·昆明)如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.
(1)求证:
AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.
【分析】
(1)连接OC,先证明OC∥AD,然后利用切线的性质得OC⊥DE,从而得到AD⊥ED;
(2)OC交BF于H,如解图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD,∠CHF=90°,利用垂径定理得到BH=FH,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出AB,从而得到⊙O的半径.
【自主解答】
(1)证明:
连接OC,如解图,
∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥AD,
∵ED切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,∴AD⊥ED;
例1题解图
(2)解:
OC交BF于点H,如解图,
∵AB为直径,
∴∠AFB=90°,
易得四边形CDFH为矩形,
∴FH=CD=4,∠CHF=90°,
∴OH⊥BF,
∴BH=FH=4,
∴BF=8,
在Rt△ABF中,AB=
=
=2
,
∴⊙O的半径为
.
1.(2018·河南说明与检测)如图,AB为半圆O的直径,点C为半圆上任一点.
(1)若∠BAC=30°,过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证:
△PBC≌△AOC;
(2)若AB=6,过点C作AB的平行线交半圆O于点D,当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时,求
的长.
2.(2018·河南说明与检测)如图,在⊙O中,∠AOB=120°,点C为
的中点,延长OC到点D,使CD=OC,AB交OC于点E.
(1)求证:
DA是⊙O的切线;
(2)若OA=6,求弦AB的长.
3.(2018·河南说明与检测)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,∠CAE=∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的长.
4.(2018·金华)如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若BC=8,tanB=
,求⊙O的半径.
5.(2018·玉林)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC=∠B.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)点E是AB上一点,若∠BCE=∠B,tan∠B=
,⊙O的半径是4,求EC的长.
6.(2018·天津)已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.
(Ⅰ)如图①,若D为
的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;
(Ⅱ)如图②,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.
图①
图②
7.(2018·信阳一模)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数.
8.(2018·河南说明与检测)如图,AB是⊙O的直径,C是
的中点,⊙O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线BD于点F,AF交⊙O于点H,连接BH.
(1)求证:
AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的长.
类型二与四边形判定结合的证明与计算
(2018·河南)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证:
CE=EF;
(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:
①当∠D的度数为________时,四边形ECFG为菱形;
②当∠D的度数为________时,四边形ECOG为正方形.
例2题图
【分析】
(1)连接OC,如解图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形的性质和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;
(2)①要证明四边形ECFG为菱形,可知△CEF为等边三角形,∵∠ACB=90°,∠CFE=60°,∴∠D可求;
②∵四边形ECOG为正方形,∴∠COG=90°,∠COF=45°,则∠COA=45°,根据△ACO是等腰三角形,在Rt△AOD中,已知∠DAO,则∠D可求.
【自主解答】
(1)证明:
连接OC,如解图,
∵CE为切线,∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,
∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,
∵∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,
又∵OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;
(2)解:
①当∠D=30°时,四边形ECFG为菱形,
【解法提示】∵四边形ECFG为菱形,
∴CE=CF=FG=EG,
由
(1)知CE=EF,
∴△ECF是等边三角形,
∴∠CFD=60°,
∵∠ACB=90°,
∵∠DCF=90°,
∴∠D=90°-60°=30°.
②当∠D=22.5°时,四边形ECOG为正方形.
【解法提示】
例2题解图
∵四边形ECOG为正方形,
∴CO=CE,∴∠OCE=90°,
∴△COE是等腰直角三角形,
∴∠COE=45°,
∵DO⊥AB,
∴∠DOA=90°,
∴COA=∠DOA-∠COE=45°,
∵OA=OC,
∴∠CAB=67.5°,
∴∠D=90°-62.5°=22.5°.
1.(2016·河南)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.
(1)求证:
MD=ME;
(2)填空:
①若AB=6,当AD=2DM时,DE=______;
②连接OD,OE,当∠A的度数为__________时,四边形ODME是菱形.
2.(2015·河南)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:
△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为______;
②连接OD,当∠PBA的度数为__________时,四边形BPDO是菱形.
3.(2014·河南)如图,CD是⊙O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作⊙O的切线PA,PB,切点分别为点A,B.
(1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;
(2)填空:
①当DP=______cm时,四边形AOBD是菱形;
②当DP=________cm时,四边形AOBP是正方形.
4.(2018·驻马店一模)如图,AC是⊙O的直径,点P在线段AC的延长线上,且PC=CO,点B在⊙O上,且∠CAB=30°.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)若D为圆O上任一动点,⊙O的半径为5cm时,
①当弧CD长为______时,四边形ADPB为菱形;
②当弧CD长为______时,四边形ADCB为矩形.
5.(2018·濮阳一模)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,OD∥AC,AD=OC.
(1)求证:
四边形OCAD是平行四边形;
(2)探究:
①当∠B=________°时,四边形OCAD是菱形;
②当∠B满足什么条件时,AD与⊙O相切?
请说明理由.
6.(2017·河南模拟)已知:
如图,在平行四边形ABCD中,⊙O是经过A、B、C三点的圆,CD与⊙O相切于点C,点P是
上的一个动点(点P不与B、C点重合),连接PA、PB、PC.
(1)求证:
CA=CB;
(2)①当点P满足______________时,△CPA≌△ABC,请说明理由;
②当∠ABC的度数为__________时,四边形ABCD是菱形.
7.(2018·河南说明与检测)如图,△ABC内接于圆O,且AB=AC.延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交圆O于点E.
(1)求证:
△ABE≌△CDE.
(2)填空:
①当∠ABC的度数为________时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=
,AB=2
,则DE的长为_________.
8.(2018·河南说明与检测)如图,半圆O的直径为AB,点M为半圆上一动点(不与点A,B重合),点N为
的中点,ND⊥AB于点D,过点M的切线交DN的延长线于点C.
(1)若MC∥AB,
①求证:
AD=CN;
②填空:
四边形OMCD是何种特殊的四边形?
________.
(2)填空:
当∠ANM=____________时,四边形ANMO为菱形.
9.(2018·河南说明与检测)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与AC边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE.
(1)求证:
OE∥AD;
(2)填空:
①∠BAC=________°时,四边形ODEB是正方形;
②当∠BAC=________°时,AD=3DE.
10.(2017·濮阳一模)如图,AB是⊙O的直径,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP中点,延长CO交⊙O于点D,连接AD,过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E,连CE交AB于点F,连接DF.
(1)求证:
△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四边形ACED是何种特殊的四边形?
②在点P运动过程中,线段DF、AP的数量关系是______________.
11.如图,已知⊙A的半径为4,EC是⊙A的直径,点B是⊙A的切线CB上的一个动点,连接AB交⊙A于点D,弦EF平行于AB,连接DF,AF.
(1)试判断直线BF与⊙A的位置关系,并说明理由;
(2)填空:
①当∠CAB=__________时,四边形ADFE为菱形;
②当EF=___________时,四边形ACBF为正方形.
12.(2018·河南说明与检测)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G,连接CG.设⊙O的半径为5.
①当CF=__________时,四边形ABCG为菱形;
②当BC=4
时,四边形ABCG的面积是__________.
参考答案
类型一
针对训练
1.
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°.
∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.
∴OC=BC,∠OBC=∠BOC=60°.
∴∠AOC=∠PBC=120°.
∵CP是⊙O的切线,∴OC⊥CP.
∴∠OCP=90°.∴∠ACO=∠PCB.
在△AOC和△PBC中,
,∴△PBC≌△AOC.
(2)解:
如解图①,∵四边形AOCD为菱形,
∴OA=AD=CD=OC.
连接OD,则OA=OD=OC,
∴△AOD和△COD都是等边三角形.
∴∠AOD=∠COD=60°.
∴∠BOC=60°.
∴
的长为
=π.
如解图②,同理,∠BOC=120°,
的长为
=2π.
综上可知,
的长为π或2π.
图①
图②
第1题解图
2.
(1)证明:
如解图,连接AC.∵C是
的中点,
∴
=
.
第2题解图
∵∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形.
∴∠OAC=∠OCA=60°,AC=OC.
∵CD=OC,
∴CD=AC.
∴∠DAC=∠D=
∠OCA=30°.
∴∠DAO=∠OAC+∠DAC=90°.
∵OA是⊙O的半径,
∴DA是⊙O的切线.
(2)解:
∵OA=OC,∠AOC=∠BOC=60°,
∴AE=BE,OE⊥AB.
在Rt△AOE中,AE=OA·sin60°=6×
=3
.
∴AB=2AE=6
.
3.
(1)证明:
AB与⊙O相切,理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°,
∵∠CAE=∠ADF,
∠AEC=∠FDC,
∴∠ADF+∠FDC=90°,即∠ADC=90°.
∴CD⊥AB.
又∵CD为⊙O的直径,∴AB与⊙O相切.
第3题解图
(2)解:
连接FC,DE,如解图,
∵CD为⊙O的直径,∴∠DEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴DE∥AC,∴∠CAE=∠DEA,
∵∠DEA=∠DCF,
∴∠CAE=∠DCF,即∠CAP=∠FCP,
∵∠CPA=∠FPC,
∴△CAP~△FCP,
∴
=
,
∴
=
=
,
∴PA=2PC=4PF,
∴PF=
AF=
,
∴CP=2PF=
.
4.
(1)证明:
连接OD,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°-(∠2+∠3)=90°,
第4题解图
∴OD⊥AD,
∵OD为⊙O的半径,
∴AD为⊙O的切线;
(2)解:
设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=4,
根据勾股定理得:
AB=
=4
,
∴OA=4
-r,
在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=
,
∴CD=AC·tan∠1=2,
根据勾股定理得:
AD2=AC2+CD2=16+4=20,
在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,即(4
-r)2=r2+20,
解得:
r=
.
5.
(1)证明:
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90°,
∴∠BAC=90°,
∴BA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:
∵∠BCE=∠B,
∴EC=EB,设EC=EB=x,
在Rt△ABC中,tan∠B=
=
,AB=8,
∴AC=4,
在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,
∴CE=5.
6.解:
(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°,
∴∠ACB=90°,∠ABC=52°,
∵D为
的中点,∠AOB=180°,
∴∠AOD=90°,
∴∠ABD=45°.
(Ⅱ)连接OD,如解图,
∵DP切⊙O于点D,
∴OD⊥DP,即∠ODP=90°,
由DP∥AC,又∵∠BAC=38°,
∴∠P=∠BAC=38°,
∵∠AOD是△ODP的一个外角,
∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°,
∴∠ACD=64°,
∵OC=OA,∠BAC=38°,
∴∠OCA=∠BAC=38°,
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