勾股定理的逆定理 答案版.docx
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勾股定理的逆定理答案版
2018年10月18日勾股定理的逆定理
一.选择题
1.已知三角形的三边长为a、b、c,如果(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0,则△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形
2.若a、b、c是△ABC的三边,且满足(a﹣b)2=c2﹣2ab,则△ABC是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法错误的是( )
A.如果∠C﹣∠B=∠A,则△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2,则△ABC是直角三角形
C.如果∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则△ABC是直角三角形
D.如果a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形
4.以下列各题的数组为三角形的三条边长:
①5,12,13;②
,
,
;③
,2;④15,25,20.其中能构成直角三角形的有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
5.如图,以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形,且S△AFB=169,S△AEC=25,S△CHB=144,则S△ACB=( )
A.130B.120C.100D.90
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
二.填空题
6.如图,在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 .
7.如图是单位长度为1的网格图,A、B、C、D是4个网格线的交点,以其中两点为端点的线段中,任意取3条,能够组成 个直角三角形.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t= 时,△ABP为直角三角形.
三.解答题
9.如图,四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
10.如图网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
(1)求△ABC的面积;
(2)判断△ABC是什么形状?
并说明理由.
11.如图,一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子蜡烛,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?
12.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,求AM的最小值.
13.已知三条线段的长分别为a,a+1,a+2.
(1)当a=3时,证明这三条线段可以组成一个直角三角形.
(2)若这三条线段可以组成一个三角形,求a的取值范围.
14.阅读下列解题过程:
、
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,①
所以c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)②.
所以c2=a2+b2.③
所以△ABC是直角三角形.④
请你判断上述解题过程是否正确?
如果有误,请你将正确的解答过程写下来.
15.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)证明:
AP=CQ;
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,证明:
△PQC是直角三角形.
16.如图,已知四边形ABCD中,AB=24,AD=15,BC=20,CD=7,∠ADB+∠CBD=90°,求四边形ABCD的面积.
17.已知某直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边长为c,那么三边长分别为a+1,b+1,c+1,三角形会不会是直角三角形呢?
请说明理由(提示:
若a+b>c,则a+b﹣c>0).
18.在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表:
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
其中m、n为正整数,且m>n.
(1)观察表格,当m=2,n=1时,此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长?
说明你的理由.
(2)探究a,b,c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示:
a= ,b= ,c= .
(3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形?
如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例.
19.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时,△ABC为 三角形;当△ABC三边分别为6、8、11时,△ABC为 三角形.
(2)猜想,当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)试证明
(2)中猜想的正确性.
20.已知a,b,c为三角形的三边,若a=2,b=3,当c为何值时,△ABC是:
(1)锐角三角形?
(2)直角三角形?
(3)钝角三角形?
2018年10月18日数学饼干的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.已知三角形的三边长为a、b、c,如果(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0,则△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形
【分析】根据非负数的性质得出a,b,c的值,再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可.
【解答】解:
∵(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0,
∴a﹣5=0,b﹣12=0,c﹣13=0,
∴a=5,b=12,c=13,
∵52+122=132,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
故选:
C.
2.若a、b、c是△ABC的三边,且满足(a﹣b)2=c2﹣2ab,则△ABC是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
【分析】根据题意,利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系,从而可以解答本题.
【解答】解:
∵(a﹣b)2=c2﹣2ab,
∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,
故选:
B.
3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法错误的是( )
A.如果∠C﹣∠B=∠A,则△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2,则△ABC是直角三角形
C.如果∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则△ABC是直角三角形
D.如果a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断.
【解答】解:
A、∠C﹣∠B=∠A,即∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,那么△ABC是直角三角形,说法正确;
B、c2=b2﹣a2,即a2+c2=b2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90,说法正确;
C、∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,又∵∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,则△ABC是直角三角形,说法正确;
D、a=3,b=5,c=4,32+52≠42,但是32+42=52,则△ABC可能是直角三角形,故原来说法错误.
故选:
D.
4.以下列各题的数组为三角形的三条边长:
①5,12,13;②
,
,
;③
,2;④15,25,20.其中能构成直角三角形的有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
【解答】解:
①52+122=132,故是直角三角形;
②(
)2+(
)2≠(
)2,故不是直角三角形;
③(
)2+(
)2≠22,故不是直角三角形;
④152+202=252,故是直角三角形.
故选:
B.
5.如图,以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形,且S△AFB=169,S△AEC=25,S△CHB=144,则S△ACB=( )
A.130B.120C.100D.90
【分析】根据题意和图形得到AB2=AC2+BC2,根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°,根据题意求出AC、BC的长,根据三角形的面积计算即可.
【解答】解:
∵S△AFB=S△AEC+S△CHB,
∴
AB2=
AC2+
BC2,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
∵
AC2=25,
BC2=144,
∴AC=10,BC=24,
∴S△ACB=
×10×24=120,
故选:
B.
二.填空题(共3小题)
6.如图,在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 AB,EF,GH .
【分析】本题应先计算出各线长度,再根据勾股定理逆定理进行判断.
【解答】解:
AB2=22+22=8,
CD2=42+22=20,
EF2=12+22=5,
GH2=32+22=13,
所以AB2+EF2=GH2.
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB,EF,GH.
故答案为:
AB,EF,GH.
7.如图是单位长度为1的网格图,A、B、C、D是4个网格线的交点,以其中两点为端点的线段中,任意取3条,能够组成 3 个直角三角形.
【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方,由勾股定理的逆定理即可得出结果.
【解答】解:
由勾股定理得:
AD2=BD2=12+32=10,AC2=12+22=5,
AB2=22+42=20,BC2=CD2=25,
∵AD2+BD2=AB2,AC2+AB2=BC2,AC2+AB2=CD2,
∴能够组成3个直角三角形.
故答案为:
3.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t= 2s或
s 时,△ABP为直角三角形.
【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度,再分两种情况:
①当∠APB为直角时,②当∠BAP为直角时,分别求出此时的t值即可.
【解答】解:
∵∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,
∴BC=4cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4cm,
∴t=4÷2=2s.
②当∠BAP为直角时,BP=2tcm,CP=(2t﹣4)cm,AC=3cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(2t﹣4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(2t﹣4)2]=(2t)2,
解得t=
s.
综上,当t=2s或
s时,△ABP为直角三角形.
故答案为:
2s或
s.
三.解答题(共12小题)
9.如图,四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
【分析】首先在Rt△BAD中,利用勾股定理求出BD的长,再根据勾股定理逆定理在△BCD中,证明△BCD是直角三角形,再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案.
【解答】解:
连接BD,
在Rt△BAD中,
∵AB=AD=2,
∴BD=
=2
,
在△BCD中,
DB2+CD2=(2
)2+12=9=CB2,
∴△BCD是直角三角形,
∴∠BDC=90°,
∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2
÷2=2+
.
10.如图网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
(1)求△ABC的面积;
(2)判断△ABC是什么形状?
并说明理由.
【分析】
(1)运用割补法,正方形的面积减去三个小三角形的面积,即可求出△ABC的面积;
(2)根据勾股定理求得△ABC各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,从而不难得到其形状.
【解答】解:
(1)△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5.
故△ABC的面积为5;
(2)∵小方格边长为1,
∴AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,BC2=32+42=25,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形.
11.如图,一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子蜡烛,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?
【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C,则AC+BC=70cm,设AC=x,则BC=(70﹣x)cm,利用勾股定理建立方程,解方程即可求出x的值.
【解答】解:
已知如图:
设AC=x,则BC=(70﹣x)cm,
由勾股定理得:
502=x2+(70﹣x)2,
解得:
x=40或30,
若AC为斜边,
则502+(70﹣x)2=x2,
解得:
x=
,
若BC为斜边,
则502+x2=(70﹣x)2,
解得:
x=
.
故这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或
cm或
cm.
12.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,求AM的最小值.
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°;根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,则AM=
EF,要求AM的最小值,即求EF的最小值;根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形AEPF是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短,知:
AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高.
【解答】解:
∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°.
又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴四边形AEPF是矩形,
∴EF=AP.
∵M是EF的中点,
∴AM=
EF=
AP.
当AP⊥BC时,AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
,
∴AM的最小值是
.
13.已知三条线段的长分别为a,a+1,a+2.
(1)当a=3时,证明这三条线段可以组成一个直角三角形.
(2)若这三条线段可以组成一个三角形,求a的取值范围.
【分析】
(1)根据勾股定理的逆定理即可求解;
(2)根据三角形的三边关系,即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和,列不等式求解.
【解答】
(1)证明:
当a=3时,a+1=4,a+2=5,
∵32+42=52,
∴这三条线段可以组成一个直角三角形.
(2)解:
根据三角形的三边关系,得
a+a+1>a+2,
解得a>1.
故a的取值范围是a>1.
14.阅读下列解题过程:
、
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,①
所以c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)②.
所以c2=a2+b2.③
所以△ABC是直角三角形.④
请你判断上述解题过程是否正确?
如果有误,请你将正确的解答过程写下来.
【分析】利用提公因式法把原式因式分解,根据等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理解答.
【解答】解:
上述解题过程不正确,
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,
∴c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2),
∴(a2﹣b2)(c2﹣a2+b2)=0,
∴a2﹣b2=0或(c2﹣a2+b2)=0,
∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
15.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)证明:
AP=CQ;
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,证明:
△PQC是直角三角形.
【分析】
(1)根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ,从而得到AP=CQ;
(2)设PA=3a,PB=4a,PC=5a,由已知可判定△PBQ为正三角形,从而可得到PQ=4a,再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形.
【解答】解:
(1)猜想:
AP=CQ,
证明:
∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°,
∴∠ABP=∠QBC.
又∵AB=BC,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQ,
∴AP=CQ;
(2)证明:
由PA:
PB:
PC=3:
4:
5,
可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,
连接PQ,在△PBQ中,
由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,
∴△PBQ为正三角形.
∴PQ=4a.
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2
∴△PQC是直角三角形.
16.如图,已知四边形ABCD中,AB=24,AD=15,BC=20,CD=7,∠ADB+∠CBD=90°,求四边形ABCD的面积.
【分析】作∠DBM=∠BDA,∠BDN=∠DBA,射线BM,DN交于A′,可得△A′BD≌△ADB,可得:
∠A′BD=∠ADB,A′B=AD=15,A′D=AB=24,连接A′C,由∠ADB+∠CBD=90°,得到∠A′BD+∠CBD=90°,证得∠A′BC=90°,根据勾股定理得到A′C=25,根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形,于是得到结果.
【解答】解:
作∠DBM=∠BDA,∠BDN=∠DBA,射线BM,DN交于A′,可得△A′BD≌△ADB,
可得:
∠A′BD=∠ADB,A′B=AD=15,A′D=AB=24,
如图1,连接A′C,
∵∠ADB+∠CBD=90°,
∴∠A′BD+∠CBD=90°,
即∠A′BC=90°,
∴A′B2+BC2=A′C2,
∵A′B=15,BC=20,
∴A′C=25,
在Rt△A′CD中,A′D=24,CD=7,
∴A′D2+CD2=576+49=625,
∵A′C2=625,
∴A′D2+CD2=A′C2.
∴△A′DC是直角三角形,且∠A′DC=90°,
∴S四边形A′BCD=S△A′BC+S△A′CD=
×20×15+
×24×7=234,
∵S△A'BD=S△ABD,
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234.
17.已知某直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边长为c,那么三边长分别为a+1,b+1,c+1,三角形会不会是直角三角形呢?
请说明理由(提示:
若a+b>c,则a+b﹣c>0).
【分析】根据勾股定理可得a2+b2=c2,分别求的(a+1)2、(b+1)2、(c+1)2的值,根据(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2≠0,即可解题.
【解答】解:
∵某直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边长为c,
∴a2+b2=c2,
∵(a+1)2+(b+1)2=a2+2a+1+b2+2b+1,(c+1)2=c2+2c+1,
∴(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2=2a+2b﹣2c+1,
∵a+b>c,∴a+b﹣c>0,
∴(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2>1≠0,
∴三边长分别为a+1,b+1,c+1,三角形不是直角三角形.
18.在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表:
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
其中m、n为正整数,且m>n.
(1)观察表格,当m=2,n=1时,此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长?
说明你的理由.
(2)探究a,b,c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示:
a= m2+n2 ,b= 2mn ,c= m2﹣n2 .
(3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形?
如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例.
【分析】
(1)计算出a、b、c的值,根据勾股定理的逆定理判断即可;
(2)根据给出的数据总结即可;
(3)分别计算出a2、b2、c2,根据勾股定理的逆定理进行判断.
【解答】解:
(1)当m=2,n=1时,a=5、b=4、c=3,
∵32+42=52,
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长;
(2)观察得,a=m2+n2,b=2mn,c=m2﹣n2;
(3)以a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形,
∵a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4,
∴a2=b2+c2,
∴以a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形.
19.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时,△ABC为 锐角 三角形;当△ABC三边分别为6、8、11时,△ABC为 钝角 三角形.
(2)猜想,当a2+b2 > c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 < c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)试证明
(2)中猜想的正确性.
【分析】
(1)利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值,然后作出判断即可;
(2)根据
(1)中的计算作出判断即可;
(3)若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;理由:
过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a﹣x.根据勾股定理,得a2+b2=c2+2ax,从而可证;
当△ABC是钝角三角形时,a2+b2<c2;理由:
过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.设CD为x,则有BD2=a2﹣x2,根据勾股定理,得a2+b2+2bx=c2,从而可证.
【解答】解:
(1)∵两直角边分别为6、8时,斜边=
=10,
∴△ABC三边分别为6、8、9时,△ABC为锐角三角形;
当△ABC三边分别为6、8、11时,△ABC为钝角三角形;
故答案为:
锐角;钝角;
(2)当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;
当a2+b2<c2时,△ABC为钝角三角形;
故答案为:
>;<;
(3)若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;
理由:
过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,
则有BD=a﹣x.
根据勾股定理,得b2﹣x2=AD2=c2﹣(a﹣x)2,
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2.
则a2+b2=c2+2ax.
∵a>0,x>0,
∴2ax>0;
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