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22对数函数
2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算
第一课时对数的概念
三维目标定向
〖知识与技能〗
理解对数的概念,掌握对数恒等式及常用对数的概念,领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗
从指数函数入手,引出对数的概念及指数式与对数式的关系,得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗
增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力,体会对数的价值,形成正确的价值观。
教学重难点:
指、对数式的互化。
教学过程设计
一、问题情境设疑
引例1:
已知,如果,则x=?
引例2、改革开放以来,我国经济保持了持续调整的增长,假设2006年我国国内生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番?
分析:
设经过x年国内生产总值比2006年翻两番,则有,即1.08x=4。
这是已知底数和幂的值,求指数的问题,即指数式中,求b的问题。
能否且一个式子表示出来?
可以,下面我们来学习一种新的函数,他可以把x表示出来。
二、核心内容整合
1、对数:
如果,那么数x叫做以a为底N的对数,记作。
其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a>0且时,(符号功能)——熟练转化
如:
,42=162=log416
2、常用对数:
以10为底写成;
自然对数:
以e为底写成(e=2.71828…)
3、对数的性质:
(1)在对数式中N=ax>0(负数和零没有对数);
(2)loga1=0,logaa=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);
(3)如果把中b的写成,则有(对数恒等式)。
三、例题分析示例
例1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)54=625;
(2);(3);
(4);(5)lg0.01=–2;(6)ln10=2.303。
例2、求下列各式中x的值:
(1);
(2)logx8=6;
(3)lg100=x;(4)–lne2=x。
补充例题:
求值
(1);
(2)。
四、学习水平反馈:
P64,练习1,2,3,4。
补充练习:
求下列各式中的值。
,。
五、三维体系构建
1、对数的相关概念,常用对数,自然对数;
2、对数与指数的互换;
3、对数的基本性质;
4、求值(已知对数、底数、真数其中两个,会求第三个)。
六、课后作业:
P74,习题2.2,A组1、2。
教学反思:
第二课时对数的运算
三维目标定向
〖知识与技能〗
理解并会推导对数的运算法则,并会用语言叙述该法则,理解并能用换底公式化简求值。
〖过程与方法〗
理解积、商、幂的对数运算法则,能灵活应用换底公式化简求值。
〖情感、态度与价值观〗
从新颖别致的运算法则中感受奇异美,并能体会对数运算的使用价值。
教学重难点:
灵活运用对数法则,求值或化简。
教学过程设计
一、复习引入
1、对数的概念:
,常用对数lgx,自然对数:
lnx。
2、对数的性质:
N=ax>0;loga1=0,logaa=1;。
3、课前练习:
(1)给出四个等式:
①②
③若,则x=10④若则其中正确的是。
(2)。
(3)。
(4)?
二、核心内容整合
对数的运算性质:
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:
(1);
(2);
(3)。
语言表达:
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和;
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差;
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数的n倍。
证明:
证:
设,由对数的定义可以得:
,
所以,
即证得。
学生类比证明
(2)(3)。
三、例题分析示例
例1、用表示下列各式:
(1);
(2)。
例2、求下列各式的值:
(1);
(2)。
课堂小结:
对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:
(1);
(2);
(3)。
说明
(1)简易语言表达;
(2)有时可逆向运用公式;
(3)底数的取值必须是;
(4)注意:
,
巩固练习:
P68,练习1、2、3。
提高练习:
1
(1)若,则x=。
(2)的值为。
(3)。
四、探究
(1);
(2)(换底公式);
(3)。
分析:
(1)设,
所以。
(2)设,
所以。
(3)。
应用:
P75,练习,4。
五、课后作业:
P74习题2.2,A组,3、4、5。
教学反思:
第三课时对数运算性质的应用
一、课标定位
(一)知识与技能
1、掌握对数的运算性质,能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题。
2、掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一些简单的化简和证明。
3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。
(二)过程与方法
1、利用类比的方法,得出对数的运算性质,体会数学知识的前后连贯性,加深对公式内容及公式适用条件的记忆。
2、结合实例探究换底公式,并通过换底公式的应用,体会化归与转化的数学思想。
3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨,培养探究能力。
(三)情感态度与价值观
1、通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养严谨的科学精神。
2、通过计算器来探索对数的运算性质,认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具,激发学生学习数学的热情。
二、教学过程设计
(一)知识梳理
1、对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:
(1);
(2);
(3);(4);
2、换底公式:
;
(二)对数运算性质的运用
例1、若,则下列各式中:
①;②;③;
④;⑤;⑥;
⑦;⑧。
其中成立的有()
(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个
例2、。
练习1、若,则()
(A)a
(三)对数换底公式的应用
例3、已知,求b的值。
例4、设,求的值。
练习2、若,则有()
(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)
(四)、对数运算在实际问题中的应用
例5、20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。
这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA–lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)。
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)。
例6、科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14。
碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。
动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变。
死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年。
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。
练习3、声音的强度D(dB)由公式:
给出,其中I为声音能量(),能量小于时,人听不见声音。
求:
(1)人低声说话()的声音强度;
(2)平时常人的交流()的声音强度;
(3)听交响音乐时,坐在铜管乐前()的声音强度。
(五)探究创新
设满足,用表示,并求当x取何值时,取得最小值。
(六)课堂小结
1、利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围;
2、初学对数运算法则时,容易出现下面的错误:
,,,…;产生这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来,把对数符号当作表示数的字母进行运算;
3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数,是对数运算中非常重要的工具。
(七)作业:
课本P74,习题2.2,A组11,12;B组3。
教学反思:
2.2.2对数函数及其性质
三维目标定向
〖知识与技能〗
(1)掌握对数函数的概念、图象和性质;
(2)能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
〖过程与方法〗
通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,体会对数是一类重要的函数模型,借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
〖情感、态度与价值观〗
注意对比思想的应用,体验用联系的观点分析问题,认识事物之间的相互转化。
教学重难点
〖重点〗对数函数的概念、图象和性质。
〖难点〗底数a对对数函数的影响,在解决有关问题时定义域对函数的影响。
教学过程设计
一、引例
复利是计算利息的一种方式,现假设有本金1元,每期利率为2.25%,本利和为y,试写出本利和y随存期x变化的函数解析式。
()
1、根据对数的定义,这个函数写成对数式的形式是什么?
()
2、若要本利和翻一番,至少要存多少期?
翻两番呢?
3、存期x是否也是本利和y的函数呢?
(是)
4、用y表示函数,x表示自变量,这个函数的解析式是什么?
()
二、核心内容整合
1、对数函数的概念:
函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为。
2、对数函数模型
(1)火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的函数关系是:
;
(2)生物学家研究发现:
洄游鱼类的游速v和鱼的耗氧量O之间的函数关系:
;
(3)溶液的酸碱度是通过PH值来刻画的,PH值的计算公式为:
。
3、对数函数的图象和性质
(1)用列表法画出函数和的图象;
(2)几何画板演示对数函数的图象,并引导学生观察获得如下结论:
0 a>1 图 象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性 质 (1)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 (3)同正异负,即01,x>1时,logax>0; 01或a>1,0 练一练: 比较a、b、c、d、1的大小: 答: b>a>1>d>c。 三、例题分析示例 例1、求下列函数的定义域: (1); (2)。 分析: (1); (2)。 例2、比较下列各组数中两个值的大小: 1og23.4和log28.5。 分析: 考察对数函数,因为它的底数2>1,所以它在上是增函数,于是。 拓展1: (1); (2)。 小结: 注意函数思想和分类讨论思想的应用。 练习: 已知下列不等式,比较正数m、n的大小: (1); (2)。 拓展2: (1); (2);(3)。 小结: 体现了数形结合思想的应用;“介值法”体现了问题的转化思想。 练习: 已知0 四、学习水平反馈: P73,练习。 思考题: 若函数在上恒有,求a的取值范围。 五、三维体系构建 1、自主探究新知识的方法: 从特殊到一般,具体到抽象的归纳;知识之间的类比。 2、本课知识点——对数函数的概念、图象和性质。 3、实现知识内涵到外延应用的途径。 六、课后作业: P74,习题2.2,(A组)7、8;(B组)2。 教学反思: 对数函数性质的应用 三维目标定向 〖知识与技能〗 进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质,设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。 对于反函数,只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数,不要求学生讨论形式化的反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 〖过程与方法〗 通过问题的探究研讨,体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的思想、体会对数函数的模型功能。 〖情感、态度与价值观〗 进一步增强函数与方程意识,培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质,提高数学思维品质。 教学重难点: 对数函数性质的应用。 教学过程设计 一、复习引入 对数函数的图象与性质。 二、例题分析示例 例1、已知函数, (1)求函数的定义域; (2)判断的奇偶性,并说明理由; (3)探究在其定义域内的单调性。 例2、已知函数, (1)求的定义域; (2)求的单调区间; (3)求的最大值,并求取得最大值时的x的值。 例3、溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公式为pH=–lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算纯净水的pH。 三、反函数 对数函数与指数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。 (以具体的函数如y=log2x与y=2x加以说明,几何画板展示。 ) 注: 只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数,不要求学生讨论形式化的反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 四、学习水平反馈 1、已知函数,若,则等于() (A)b(B)–b(C)(D) 2、在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是。 当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12km/s? 3、求函数的单调区间。 4、已知函数的图象关于原点对称, (1)求m的值; (2)判断在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明。 5、求函数的最大值和最小值。 五、课后作业: P74,A组: 9、12。 教学反思: 对数函数小结 学情分析: 本节要解决的主要问题是: 能熟练地进行简单的对数运算,能运用对数函数的图象与性质解决与之有关的问题。 解决上述问题的关键是: 熟练掌握对数式与指数式之间的互化,掌握对数的各种运算法则及适用条件。 要有数形结合意识,能结合对数函数的图象记忆并运用对数函数的性质。 有分类讨论意识,在底数不确定时,要分a>1和0 一、对数的定义与运算性质的应用 例1: 求下列各式中x的值。 (1); (2);(3)。 例2: 求值: (1); (2)。 二、对数函数图象的应用 例3: 已知y=lgx的图象,作出y=|lgx|和y=lg|x|的图象,并解答以下问题: 函数y=lg|x|() (A)是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (B)是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减 (C)是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (D)是奇函数,在区间上(0,+∞)单调递减 练习: 将y=2x的图象() (A)先向左平移1个单位(B)先向右平移1个单位 (C)先向上平移1个单位(D)先向下平移1个单位 再作关于直线y=x的对称图象,可得到y=log2(x+1)的图象。 三、对数函数的值域及单调性的问题 例4: 已知,求m的取值范围。 练习: 求函数的递减区间。 四、对数函数性质的综合应用 例5: 已知函数,其中a∈R。 (1)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的值域是R,求实数a的取值范围。 练习: 设函数y=|lgx|,若0f(b),证明: ab<1。
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