教室安排节电规划.docx
- 文档编号:23293529
- 上传时间:2023-05-16
- 格式:DOCX
- 页数:41
- 大小:187.68KB
教室安排节电规划.docx
《教室安排节电规划.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《教室安排节电规划.docx(41页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
教室安排节电规划
2008暑期数学建模集训
题目2008002B题:
教室的优化管理问题
摘要:
教室的优化分配问题是典型的优化类问题。
在解决优化类问题的过程中,我们建立了规划模型,予以解决。
在问题一的解决过程中,将去上自习的人数的二项分布转化为正态分布,得到确切的需要去上自习的人数。
之后建立了规划模型,得到结果为:
不需要开的教室为:
1、2、7、11、15、16、41、44、45,能提供座位数为6013个,总用电量为75749瓦。
问题二在问题一的基础上将宿舍进行了分区,同时要使满意度最大、用电量最省。
分别采用归一化模型和吸引力模型解决问题。
对归一化模型在满座率上的改进,更好的说明了问题。
得到结果如下:
归一化模型:
不需要开放的教室为1、2、11、15、16、37、41、45,开放教室能提供的总座位数为6013个,总用电量为76423瓦。
改进的归一化模型:
不需要开放的教室为1、2、11、15、16、25、26、33、41、45,开放教室能提供的座位总数为5807个,总用电量为73192瓦。
吸引力模型:
不需要开放的教室为1、15、21~25,开放教室能提供座位5695个,用电量为80339瓦。
问题三解决的是座位不够用的情况。
通过将教室加倍,并通过约束条件选出需要搭建的教室。
同样利用归一化模型和吸引力模型。
归一化模型得出需要搭建的教室为:
14、24、32。
吸引力模型得出需要搭建的教室为:
18、26、34、40。
在模型改进中考虑到每个同学上自习时间的问题,将问题一进一步改进。
在实际应用中,应充分考虑到自习时间的问题。
最后对模型作出了评价,也给学校提出了建议。
关键字:
归一化模型吸引力模型二项分布LINGO
一、问题重述
近年来,大学用电浪费比较严重,集中体现在学生上晚自习上,一种情况是去某个教室上自习的人比较少,但是教室内的灯却全部打开,第二种情况是晚上上自习的总人数比较少,但是开放的教室比较多,这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。
管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习,每天晚上从7:
00---10:
00开放(如果哪个教室被开放,则假设此教室的所有灯管全部打开)。
通过对数据的分析,完成以下问题:
1.假如学校有8000名同学,每个同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%。
问该安排哪些教室开放,能达到节约用电的目的.
2.假设这8000名同学分别住在10个宿舍区,现有的45个教室分为9个自习区,按顺序5个教室为1个区,即1,2,3,4,5为第1区,…,41,42,43,44,45为第9区。
这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系,距离近则满意程度高,距离远则满意程度降低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量,并重新考虑如何安排教室,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
3.假设临近期末,上自习的人数突然增多,每个同学上自习的可能性增大为0.85,要使需要上自习的同学满足程度不低于99%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要,需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。
搭建的教室紧靠在某区,每个区只能搭建一个教室,搭建的教室与该区某教室的规格相同(所有参数相同),学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室,并搭建在什么位置,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度.
二、模型假设和符号说明
2.1模型假设
1、假设开放时间段内如果哪个教室开放,则此教室的所有灯管全部打开。
2、假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到该自习区任何教室的距离均相同。
3、搭建的教室与该区某教室的规格完全相同,且学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离均相同
4、假设学生选择自习区的满意程度之与其距离有关,不考虑个人偏好的影响。
5、在选择自习室时若没有座位,学生选择立即离开寻找其他教室,不存在等待问题。
6、自习教室不存在占座问题,即学生选择座位只与当时座位上是否有人有关。
7、假设在一定时间段内学生去上自习均匀分布,即单位时间内上自习的人数为定值。
2.2符号说明
第
个教室的座位数
:
第
个教室拥有灯管数
:
第
个教室灯管瓦数
:
第
个教室的耗电量
:
总耗电量
:
从
学生区到
自习区的人数
:
需要上自习的总人数
:
需要上自习同学的满足程度
:
满座率
:
第
个学生区到第
个自习区上自习的满意度
:
第
个学生区到第
个自习区的距离
:
第
个学生区到第
个自习区的学生人数
三、问题分析
教室的优化管理是一个典型的优化问题。
在解决问题的过程中,根据题目的要求,逐步深入,最终建立规划模型解决问题。
3.1问题一
问题一在满足题设条件的前提下,要使用电量最省,通过对题意的分析,将其转化为规划模型,通过求解得到最优开放教室。
为简化问题方便分析,首先不考虑学生上自习时间的长短,只要求开放教室能使上自习的同学满足程度不低于95%。
8000名同学每个同学是否上自习相互独立,且上自习的可能性为0。
7,则上自习同学的概率服从二项分布,根据二项分布的近似条件,将其转化为连续的正态分布处理,为满足题设条件要求,将其看作是所有同学一次性上自习,即不存在座位的重复使用的问题。
规划模型用LINGO软件进行求解。
得到最后开放教室的数目为41个,共能提供座位数为6013个,总用电量为75749瓦。
其次考虑到自习时间的长短会影响教室座位的使用效率,继而影响开放教室的数目,即学生上自习的总数目为一个动态变化过程,在需要上自习同学的人数上作些必要的改变,使模型更加接近实际。
在模型的改进中详细阐述。
3.2问题二
问题二在问题一的基础上考虑到不同宿舍区同学选择自习室满意度的问题,即学生上自习的满意程度与到该教室的距离有关。
我们建立了两个模型来解决此问题。
3.2.1归一化模型
学生上自习的满意程度与到该教室的距离有关,距离近则满意程度高,反之则低。
为比较各学生区到各自习区的满意程度,我们将各宿舍区到自习区的距离归一化,作为满意度的度量,同时将满意程度分等级,最后得到满意度和最节约电量的双目标规划函数。
3.2.2吸引力模型
学生选择自习室不仅受距离影响,自习室空座位的多少也会影响学生的选择和满意程度。
相比于空座位的多少,距离的影响因素更大。
学生对各自习区的满意程度决定了其选择,可以看作是自习区对学生的吸引力,在此我们引入吸引力模型
,教室拥有的座位数越多,离学生区越近,吸引力越大,即满意程度越高。
最后通过转化,将满意度最大和用电量最少此双目标规划函数转化为单目标规划,最终求得结果。
3.3问题三
问题三是实际问题的进一步深入,期末学生上自习的概率的增大可能会造成教室不够用的问题,需要临时搭建几个教室。
为简化问题,首先将所有的自习教室加倍,通过约束条件,使每个自习区只能搭建一个教室,在问题二的基础上求解。
四、模型的建立和求解
4.1问题一
此题要求使开放教室既能满足学生上自习的需求,又使用电量最省,是一个典型的优化问题。
常规模型直接从题目要求出发,根据题目要求,要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,即在去上自习的同学中95%以上能找到座位。
4.1.1模型的准备
1、实际上自习人数的确定
已知8000名同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为0.7,则有
个人上自习的人的概率服从二项分布,即:
对于此离散型的概率分布,在实际解决问题中应用不是很方便。
注意到N为8000,概率为0.7,隶莫佛尔一拉普拉斯定理告诉我们:
若随机变量
服从二项分布
,则
,它说明,若P为常量,只要N足够大,二项分布就可近似为正态分布。
根据计算,当
,且
,二项分布就可直接看作正态分布。
此题已知数据满足条件,所以可直接将其看作为正态分布,即
,其中
,
,即8000个同学中去上自习的人数服从
,
的正态分布。
要使大多数情况下学生去上自习人数的95%以上都能找到座位,设定
,查表得,
,即只需满足5695个去上自习同学中有95%以上能找到座位即可。
2.约束条件的挖掘
约束条件一为使需要上自习的同学的满足程度不低于95%,二为开放教室的满座率不低于0。
8,且尽量不超过0。
9,根据题意,
约束条件为:
4.1.2模型的建立
规划的目的是使用电量最省,直接将各个教室的用电量总和作为目标函数。
由于开放哪些教室不确定,此处我们用0-1规划的思想,用
表示教室是否开放,即:
表示第
个教室的灯管数,
表示第
个教室各灯管的瓦数,则目标函数为
约束条件见上。
4.1.3模型的求解
规划模型用LINGO编程求得:
不需要开的教室为:
1、2、7、11、15、16、41、44、45,能提供座位数为6013个,总用电量为75945瓦。
编程见附录。
具体结果如下:
3是否开1.0000000座位数193.00000占用数173.70000
4是否开1.0000000座位数193.00000占用数173.70000
5是否开1.0000000座位数128.00000占用数115.20000
6是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
8是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
9是否开1.0000000座位数110.00000占用数99.000000
10是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
12是否开1.0000000座位数247.00000占用数222.30000
13是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
14是否开1.0000000座位数210.00000占用数189.00000
17是否开1.0000000座位数192.00000占用数172.80000
18是否开1.0000000座位数195.00000占用数175.50000
19是否开1.0000000座位数128.00000占用数115.20000
20是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
21是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
22是否开1.0000000座位数120.00000占用数108.00000
23是否开1.0000000座位数110.00000占用数99.000000
24是否开1.0000000座位数160.00000占用数144.00000
25是否开1.0000000座位数70.000000占用数63.000000
26是否开1.0000000座位数256.00000占用数230.40000
27是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
28是否开1.0000000座位数210.00000占用数189.00000
29是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
30是否开1.0000000座位数205.00000占用数184.50000
31是否开1.0000000座位数110.00000占用数99.000000
32是否开1.0000000座位数160.00000占用数144.00000
33是否开1.0000000座位数70.000000占用数61.550000
34是否开1.0000000座位数256.00000占用数230.40000
35是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
36是否开1.0000000座位数210.00000占用数189.00000
37是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
38是否开1.0000000座位数190.00000占用数171.00000
39是否开1.0000000座位数210.00000占用数189.00000
40是否开1.0000000座位数200.00000占用数180.00000
41是否开1.0000000座位数150.00000占用数135.00000
43是否开1.0000000座位数180.00000占用数162.00000
总座位6013.0000总使用座位5410.2500总电量75945.000
4.2问题二
问题二8000名同学分住于10个宿舍区,学生选择自习区的影响因素第一为自习区距离学生区的远近,第二取决于自习教室能提供的座位数。
通过认真分析题目我们知道,学生选择自习室时有趋向于选择人较少的教室的趋势,所以能提供的座位数对满意程度有影响。
距离的影响主要在于距离近,满意程度高,反之满意程度低。
开放的自习室不仅要满足节约用电的原则,还要能提高学生的满意度。
因此在第一问的基础上我们建立了双目标规划模型。
关于满意度的度量,我们分别从两个方面予以研究,得出两个模型解决问题.
4.2.1模型一:
归一化模型
归一化模型主要指将距离归一化,此模型在处理问题的过程中,因为学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关,所以归一化后的数据即可作为对满意度的评价.
4.2.1.1满意度的评价
满意程度与到自习区的距离有关。
题目给出了各学生区到各自习区的距离。
因不同学生区和自习区的距离不同,相对于不同学生区,各自习区满意度的评价标准也不同。
为方便统一处理,首先我们将相对于每一个学生区的距离用极差变换法进行处理,得到各满意度矩阵。
第
个自习区相对第
个学生区的满意度
(
)
从满意度矩阵可以得到各自习区的相对优势,再根据各自习区相对于各学生区的满意度,将其划分为5个等级。
每个等级之间的等级长度
,用模糊评语{非常满意、很满意、满意、基本满意、不满意}来表示,由此得到每个自习区相对于各学生区的评价。
在此我们考虑将其划分为5个等级:
当数值就介于区间
之间时,认为非常满意;
当数值就介于区间
之间时,认为很满意;
当数值就介于区间
之间时,认为满意;
当数值就介于区间
之间时,认为基本满意;
当数值就介于区间
之间时,认为不满意;
这五个等级就构成模糊集,取对应数值5,4,3,2,1,这样得到每个学生区对各个自习区的相对评价
。
我们求得
。
4.2.1.2模型的建立
在满意度的基础上使用电量最省.由问题一我们知道,总用电量
.
每个学生区选择自习区时,考虑到满意度的问题,将对应的满意度大的自习区乘以相应的权重。
此双目标规划函数一方面要使满意度最大,另一方面使用电量最省,通过相减的形式,将其转化为单目标函数
考虑到满意度量纲与用电量量纲的不同,我们首先求解单目标,即分别只考虑满意度、用电量,通过lingo编程得出不考虑用电量时的总体满意度最大值
和不考虑满意度时的总用电量最小值
。
将目标函数改为
其中,
代表各自习区相对于学生区的评价,
代表从第
个学生区到第
个自习区的人数。
约束条件为:
问题二中开放的教室满座率尽量不超过90%,我们还可以这么理解,即教室地理优势将影响其满座率,使得实际中有些教室的满座率将超过90%,为使我们的模型更加切合实际,我们根据上面对各个教室的评价,对其满座率
的变化范围做相应的处理其原则如下:
令
的最大值记
,
在此基础上我们就得到了一个更切合实际的模型:
4.2.1.3模型的求解
基于以上分析,我们用LINGO软件对模型进行求解。
1、再不考虑满座率变化的情况下,得出的结果为:
不需要开放的教室为1、2、11、15、16、37、41、45,开放教室能提供的总座位数为6013个,总用电量为76423瓦。
具体程序见附录。
2、考虑到满座率变化的情况,得到的结果为:
不需要开放的教室为1、2、11、15、16、25、26、33、41、45,开放教室能提供的座位总数为5807个,总用电量为73192瓦。
具体程序见附录。
通过以上求解的结果我们可以看出,考虑到满座率变化后,开放教室的总数减少,也更省电。
我们认为应该考虑到满座率对结果的影响。
4.2.2模型二:
吸引力模型
对问题二深入分析,得出学生到哪个教室自习不仅和教室与宿舍之间的距离有关还和该教室能够提供的总座位数有关。
学生倾向到距离近,座位数多的教室上自习。
这样既能节省走路时间又提高有位可坐的可能性。
综合考虑这两个因素,同时距离的权重远大于座位数。
综上,我们引入万有引力模型
,设定G为1,我们对此模型进行相应的改变得到
。
其中
表示第
个宿舍的学生去到第个
自习区上自习的满意程度。
表示第
个宿舍的学生数,在这里均为800。
表示第
个自习区所能提供的座位数,
表示第
个宿舍到第
个自习区的距离。
求解过程中,我们也首先运行单目标函数求得个满意度,再对此公式得到的数据用进行归一化处理,得到满意度
。
之后求解同归一化模型。
求解结果如下表:
不需要开放的教室为1、15、21~25,开放教室能提供座位5695个,用电量为80339瓦。
具体数据和程序见附录。
4.3问题三
问题三考虑到期末上自习人比较多时会出现教室不够用的情况,这时需要重新搭建教室,每个自习区最多只能搭建一个教室,搭建的教室与该区某教室的规格相同。
为方便处理,我们将原有45个教室加倍,即将每个教室都复制,依次编号为46~90,其规格与1~45相同。
期末教室紧张,同时学生上自习的必要性增大,因此教室的满座率、上自习的可能性和满足程度也要相应的提高。
又每个自习区最多只搭建一个教室故我们得到约束条件:
两种模型求解结果分别如下:
(1)归一化模型
需要搭建的教室为第14、24和第32号教室,共能提供座位数为7374个,总用电量为96927瓦。
(2)吸引力模型
需要搭建的教室为第18、26、34和第40号教室,共能提供座位7751个,总用电量为102641瓦。
通过比较我们发现,归一化模型在处理此问题时须搭建得教室数目较少,效果更好。
五、模型改进
问题一中在常规模型解决问题的过程中,将满足最多情况下学生上自习的数目做为约束条件,即只考虑在自习时间段内,每个座位上只有一位同学上过自习,没有考虑自习座位的重复入座性。
而在实际中,每个同学上自习的时间为一个随机数,即上自习的时间不确定,先去上自习的同学能找到座位,而当他上晚自习走后,后来的同学也可以在他刚才的位置上自习,此种情况下开放教室的数目可以大大减少,因此不能忽略自习时间的问题。
我们在此将整个自习区看作一个系统,有学生进入自习区,即系统有输入时,系统总量增加;同时,部分学生的离开会造成系统总量的减少,即系统有输出。
系统中上自习的学生的总数为一个动态的变化过程。
根据题目要求,要使需要上自习的学生的满足程度不低于95%,即满足去上自习的学生的总量最大即可。
对于此系统来说,即找到系统容量的最大值。
在问题一的基础上我们建立了此动态模型。
5.1系统输入过程
在7:
00~10:
00的时间段内,都会有同学去上自习。
通过查阅资料和实际体会我们知道,选择7:
00时去上自习的人数目较多,随着时间的推移,去上自习的人数目逐渐减少,即服从负指数分布
。
对于此连续的负指数分布,在处理问题的过程中,有很多的不便。
为了简化问题,我们可以将其微元化,将每一个小的微元看做是恒定流输入。
在此我们假设将7:
00~10:
00这个时间段分为
个小时间段,每个时间段去上自习的人数占总上自习人数的比例为
。
则各个小时间段内去上自习的人数
,
为需要上自习人数的最大值,由第一问可知
人。
即:
时间输入(人数)
1
2
3
……
N
5.2系统输出过程
随着时间的推移,会有上自习同学不断离开的情况,系统有输出。
经过查阅资料我们知道,大多数同学每天上自习的时间为1~2个小时。
实际生活中,在1.5小时附近选择离开的人数会较多,学生上自习时间的长短服从正态分布,即
,我们假设其
小时。
自习时间的长短决定了有多少学生离开,其离开的概率可以根据其自习时间,利用正态分布函数求得。
开始阶段离开的人数较少,概率也很小,相比于前1.5个小时输入量很大的情况,其输出可以忽略不计,即其输出还不足以影响到系统总量的增加。
当从某个时间开始,离开的概率逐渐增大,而输入的速度也逐渐变慢,此时离开的人数就会影响到系统总量。
假设从自习时间从
时开始,之后离开的人数的概率逐渐增大。
对应时间和离开人数的概率如下所示:
自习时间
离开概率
…
…
其中
。
5.3系统状态
系统总量的变化与输入和输出有关。
知道每一时刻输入人数和输出人数,就可确定系统总量的变化。
经分析得到,在某时刻之前,系统总量不断增加,之后系统总量不断减少,系统总量存在一个最大值。
在实际处理的过程中,此过程较为复杂,处理起来不是很方便。
为说明考虑自习时间的确会影响到最终决定开放教室的数目。
我们此处通过数值进行检验。
5.4模型检验
在7:
00~10:
00之间我们选取30分钟为一个时间段,各时间段分别对应自习的人数占总体人数的比率如下:
时间段
自习人数占总人数的比率
输入流量(人/分钟)
7:
00~7:
30
40%
75
7:
30~8:
00
30%
56
8:
00~8:
30
15%
28
8:
30~9:
00
10%
18
9:
00~9:
30
3%
6
9:
30~10:
00
2%
4
输入流量表示的是假设输入人数以恒定流形式输入时的人数,即在时间段内每分钟进入人数相等。
假设每个人自习的时间均为1.5小时,则在刚开始的1.5个小时内,每分钟都有人数输入,而没有输出,所以系统总人数是一个不断递增的过程,从第91分钟开始,不断有学生离开教室,且离开的人数大于进入的人数,系统总量不断减少。
则系统最大负荷即为90分钟时刻上自习的总人数,即
人,只要满足系统容量最大时开放教室数目满足需求即可。
从第91分钟开始,系统总量不断减少,之后来上自习的人就可以在之前离开的同学的位置上上自习,大大节约了开放的教室的数目。
之后的求解过程同模型一。
目标函数为
约束条件为:
利用LINGO编程求得:
不需要开的教室为:
1、2、6、7、11、12、15、16、18、22、25、33、41、42、44、45。
共能提供座位数为5041个,总用电量为62270瓦。
六、模型评价
在处理此问题的过程中,通过逐步深入的方法,依次解决了各问题,采用了常规模型、归一化模型、吸引力模型等模型来解决问题。
6.1模型优点
1、通过合理的简化,有利于问题的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 教室 安排 节电 规划