求数列通项公式的6种方法.docx
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求数列通项公式的6种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)
总述:
一•利用递推关系式求数列通项的7种方法:
累加法、
累乘法、
待定系数法、
倒数变换法、
由和求通项
定义法
(根据各班情况适当讲)
二。
基本数列:
等差数列、等比数列。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:
累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三•求数列通项的方法的基本思路是:
把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数
列。
四•求数列通项的基本方法是:
累加法和累乘法。
五•数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1•适用于:
an^an-f(n)这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
例1已知数列{务}满足an^an2nT,ai=1,求数列{a.}的通项公式。
解:
由ani=an,2n1得ani-a*=2n1则
an=(an-an4)(an4—anQ川(a3-a2)(a2-ai)ai
二[2(n-1)1][2(n-2)1]|l|(221)(211)1
=2[(n-1)(n-2)丨1|21](n-1)1
=2此型(n-1)1
2
-(n-1)(n1)1
二n2
2所以数列{an}的通项公式为an=n。
例2已知数列{务}满足an—an23n1,內=3,求数列{%}的通项公式。
解法一:
由an=an23n1得an1-an=23n1则
答案:
裂项求和
an
1
=2——
n
评注:
已知%=a,an卑—an=f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项an.
1若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
2若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
3若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
4若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
二、累乘法
1.适用于:
an-二f(n)an这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2•若加=f(n),则电二f⑴,鱼二f
(2)=f(n)
ana-ia2an
n
两边分别相乘得,也二ai|丨f(k)aik4
例4•设&•是首项为i的正项数列,且n•1a爲一naj•an.他=0(n=-,2,3,•••),
则它的通项公式是an=.
an1_n
手an>0(n乏N),;(n+1)an^—nan=0,即ann十1
-n-2时,
an_n_1
an4n
an4
an-2
皂a1口.心:
—丄
a1=nn-12=n
评注:
本题是关于an和an1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到
an与an1的更为明显的关系式,从而求出
练习.已知(n-1)ani=nan®=1,求数列{an}的通项公式
三、待定系数法适用于an1=qan•f(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如an7,(*0,其中3二a)型
例6已知数列{an}中,a1=1,a^2an二1(n丄2),求数列an/的通项公式。
解法一:
Va^2anj1(n一2),
.an1=2(an」1)
又7a1^2r:
an1是首项为2,公比为2的等比数列
.an•1=2n,即an=2n-1
解法二:
:
an=2anJ-1(n一2),
a.1=2an1
两式相减得an1-an=2(an-and)(n-2),故数列玄计-aj是首项为2,公比为2的等
比数列,再用累加法的
练习.已知数列{an}中,
1
a^-2,an-1an
2
1、n4
an)1
答案:
2
n
2•形如:
an厂Panq
(其中q是常数,且n0,1)
__n
①若P=1时,即:
an1_anq,累加即可.
亠n
②若P^1时,即:
an1-P°nq,
n1
求通项方法有以下三种方向:
i.两边同除以p.目的是把所求数列构造成等差数列
nl二丄■
(2)n
即:
an1
p
an
1
n1
—
n
q
q
q
q
pq,然后类型i,累加求通项.
banbPb1
bnnbn1bn
令q,则可化为qq.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:
目的是把所求数列构造成等差数列
设an1•■q二p(an•■).通过比较系数,求出’,转化为等比数列求通项
注意:
应用待定系数法时,要求p=q,否则待定系数法会失效。
例7已知数列{an}满足an1=2an43,ai=1,求数列处的通项公式。
解法一(待定系数法):
设an1•'l3='2(an•'3_1),比较系数得\=-4,'2=2,
则数列G一43'是首项为ai一4一5,公比为2的等比数列,
n二ndn」nV
所以习一43=一5'2,即an=43一52
an出2a.4
解法二(两边同除以q):
两边同时除以3得:
3333,下面解法略
**3•形如an1二pan•kn•b(其中k,b是常数,且k=0)
例8在数列{an}中,a1二1,an1=3an2n,求通项an.(逐项相减法)
n启2时an=3an」+2(n—。
**5.形如an2=pa*1■qan时将an作为f(n)求解
分析:
原递推式可化为an£卅=(P+X)(an4!
+?
-an)的形式,比较系数可求得人,数列
、ani."uan”‘为等比数列。
例11已知数列{an}满足an2=5an1-6%,印=-1,去=2,求数列{an}的通项公式。
解.设务2'an1=(5')(an1'an)
比较系数得几=-3或丸=-2,不妨取几=-2,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)
则an2-2an1=3(an1-2务),则玄彳-2寺餐是首项为4,公比为3的等比数列
an斗—2an=43nJL所以务=43心—52n°
练习数列{an}中,若a1=8,a2=2,且满足an2—4an1'3an=0,求务
四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
2a
例16已知数列{an}满足an1n,印=1,求数列{an}的通项公式。
an+2
解:
求倒数得
1
an1
1+丄八丄一丄』,,•
2a/an1an2’
—为等差数列,
.an1an.1
首项
公差为-,
2
an
五、由和求通项
2
已知数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn满足Sn=3n-2n,印=2求数列{a.}的通项公式。
1
例19已知数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn满足Sn(an1)(an-2),且a2,a4,a9成
6
等比数列,求数列{an}的通项公式。
1
解:
•••对任意n三N有sn(an1)(an-2)⑴
6
1
•••当n=1时,S,=印(a「1)(a「2),解得a,=1或印=2
6
1
当n>2时,Sn二@厂1)(务八2)⑵
6
⑴-⑵整理得:
(anVn/an-ann-3)=0
-{a*}各项均为正数,•a*—a*4=3
2
当a=1时,an=3n_'2,此时a4a?
a9成立
2
当q=2时,an=3n-1,此时a4=a?
a9不成立,故a
所以an=3n-2
12
练习。
已知数列{an}中,an0且Sn何“)2,求数列{an}的通项公式•
2
答案:
Sn-Sn二二an&-=何41)2a^2门-1
定义法
13
16.已知等比数列〈an?
的公比q=3,前3项和S3:
3
(I)求数列订鳥的通项公式;
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