高考数学理科一轮复习函数yasinωx+φ的图象及性质学习型教学案.docx
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高考数学理科一轮复习函数yasinωx+φ的图象及性质学习型教学案
高考数学理科一轮复习函数y=asin(ωx+φ)的图象及性质学案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 学案20 函数y=Asin的图象及
三角函数模型的简单应用
导学目标:
1.了解函数y=Asin的物理意义;能画出y=Asin的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
自主梳理
.用五点法画y=Asin一个周期内的简图
用五点法画y=Asin一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示.
X
Ωx+φ
y=
Asin
0
A
0
-A
0
2.图象变换:
函数y=Asin的图象可由函数y=sinx的图象作如下变换得到:
(1)相位变换:
y=sinxy=sin,把y=sinx图象上所有的点向____或向____平行移动__________个单位.
(2)周期变换:
y=sin→y=sin,把y=sin图象上各点的横坐标____或____到原来的________倍.
(3)振幅变换:
y=sin→y=Asin,把y=sin图象上各点的纵坐标______或______到原来的____倍.
3.当函数y=Asin,x∈表示一个振动量时,则____叫做振幅,T=________叫做周期,f=______叫做频率,________叫做相位,____叫做初相.
函数y=Acos的最小正周期为____________.y=Atan的最小正周期为________.
自我检测
.要得到函数y=sin2x-π4的图象,可以把函数y=sin2x的图象
A.向左平移π8个单位
B.向右平移π8个单位
c.向左平移π4个单位
D.向右平移π4个单位
2.已知函数f=sinωx+π4的最小正周期为π.将y=f的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是
A.π2
B.3π8
c.π4
D.π8
3.已知函数f=sin的最小正周期为π,为了得到函数g=cosωx的图象,只要将y=f的图象
A.向左平移π8个单位长度
B.向右平移π8个单位长度
c.向左平移π4个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
4.函数y=sin2x-π3的一条对称轴方程是
A.x=π6
B.x=π3
c.x=π12
D.x=5π12
5.若动直线x=a与函数f=sinx和g=cosx的图象分别交于m、N两点,则|mN|的最大值为
A.1
B.2
c.3
D.2
探究点一 三角函数的图象及变换
例1 已知函数y=2sin2x+π3.
求它的振幅、周期、初相;用“五点法”作出它在一个周期内的图象;说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
变式迁移1 设f=12cos2x+3sinxcosx+32sin2x.
画出f在-π2,π2上的图象;
求函数的单调增减区间;
如何由y=sinx的图象变换得到f的图象?
探究点二 求y=Asin的解析式
例2 已知函数f=Asin的图象的一部分如图所示.求函数f的解析式.
变式迁移2 已知函数f=Asin的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
求f的解析式及x0的值;
若锐角θ满足cosθ=13,求f的值.
探究点三 三角函数模型的简单应用
例3 已知海湾内海浪的高度y是时间t的函数,记作y=f.下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t
0
3
6
9
2
5
8
21
24
y
.5
.0
0.5
.0
.5
.0
0.5
0.99
.5
经长期观测,y=f的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据的结论,判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
变式迁移3 交流电的电压E与时间t的关系可用E=2203sin100πt+π6表示,求:
开始时的电压;最大电压值重复出现一次的时间间隔;电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.
数形结合思想的应用
例 设关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间内有相异的两个实根α、β.
求实数a的取值范围;
求α+β的值.
【答题模板】
解 原方程可化为sin=-a2,
作出函数y=sin)的图象.
[3分]
由图知,方程在内有相异实根α,β的充要条件是-1<-a2<1-a2≠32.
即-2<a<-3或-3<a<2.[6分]
由图知:
当-3<a<2,即-a2∈时,直线y=-a2与三角函数y=sin的图象交于c、D两点,它们中点的横坐标为76π,∴α+β2=7π6,
∴α+β=7π3.[8分]
当-2<a<-3,即-a2∈时,直线y=-a2与三角函数y=sin的图象有两交点A、B,
由对称性知,α+β2=π6,∴α+β=π3.[11分]
综上所述,α+β=π3或α+β=73π.[12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数与图形结合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略.
图象的应用主要有以下几个方面:
①比较大小;②求单调区间;③解不等式;④确定方程根的个数.如判断方程sinx=x的实根个数;⑤对称问题等.
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法,用三角函数有界性求a的范围,不仅过程繁琐,而且很容易漏掉a≠-3的限制,而从图象中可以清楚地看出当a=-3时,方程只有一解.
.从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”,尤其在求y=Asin的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y=sinx的作用.
2.三角函数自身综合问题:
要以课本为主,充分掌握公式之间的内在联系,从函数名称、角度、式子结构等方面观察,寻找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题.
3.三角函数模型应用的解题步骤:
根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.
将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
一、选择题
.将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是
A.y=sin12x
B.y=sin12x-π2
c.y=sin12x-π6
D.y=sin2x-π6
2.如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是
A.y=sinx+π6
B.y=sin2x-π6
c.y=cos4x-π3
D.y=cos2x-π6
3.为得到函数y=cos2x+π3的图象,只需将函数y=sin2x的图象
A.向左平移5π12个单位长度
B.向右平移5π12个单位长度
c.向左平移5π6个单位长度
D.向右平移5π6个单位长度
4.已知函数f=Acos的图象如图所示,f=-23,则f等于
A.-23
B.-12
c.23
D.12
5.若函数y=Asin+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则它的解析式是
A.y=4sin4x+π6
B.y=2sin2x+π3+2
c.y=2sin4x+π3+2
D.y=2sin4x+π6+2
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.已知函数y=sin的图象如图所示,则φ=________.
7.函数f=cos2x的图象向左平移π4个单位长度后得到g的图象,则g=______.
8.已知函数f=3sinωx-π6和g=2cos+1的图象的对称轴完全相同.若x∈0,π2,则f的取值范围是____________.
三、解答题
9.已知函数f=Asin的图象的一部分如下图所示.
求函数f的解析式;
当x∈[-6,-23]时,求函数y=f+f的最大值与最小值及相应的x的值.
0.已知函数f=Asin是R上的偶函数,其图象过点m.又f的图象关于点N3π4,0对称且在区间[0,π]上是减函数,求f的解析式.
1.已知函数f=sin•cosωx+cos2ωx的最小正周期为π,
求ω的值;
将函数y=f的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g的图象,求函数y=g在区间0,π16上的最小值.
答案
自主梳理
.0-φω π2-φω π-φω 3π2-φω 2π-φω 0 π2 π 3π2
2π 2.左 右 |φ| 伸长 缩短 1ω 伸长 缩短 A 3.A 2πω 1T ωx+φ φ 2π|ω| π|ω|
自我检测
.B 2.D 3.A 4.D 5.B
课堂活动区
例1 解题导引 作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简图后,应向两边伸展一下,以示整个定义域上的图象;
变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ωx+φω来确定平移单位.
解 y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.
令X=2x+π3,则y=2sin2x+π3=2sinX.
列表:
X
-π6
π12
π3
7π12
5π6
X
0
π2
π
3π2
2π
y=sinX
0
0
-1
0
y=2sin2x+π3
0
2
0
-2
0
描点连线,得图象如图所示:
将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍,得到y=sin2x的图象;再将y=sin2x的图象向左平移π6个单位,得到y=sin2x+π6=sin2x+π3的图象;再将y=sin2x+π3的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin2x+π3的图象.
变式迁移1 解 y=12•1+cos2x2+32sin2x+32•1-cos2x2
=1+32sin2x-12cos2x=1+sin2x-π6.
设X=2x-π6,
则x=12X+π12,令X=0,π2,π,3π2,2π,
于是五点分别为π12,1,π3,2,7π12,1,5π6,0,13π12,1,描点连线即可得图象,如下图.
由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得单调增区间为-π6+kπ,kπ+π3,k∈Z.
由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
得单调减区间为π3+kπ,kπ+5π6,k∈Z.
把y=sinx的图象向右平移π6个单位;再把横坐标缩短到原来的12倍;最后把所得图象向上平移1个单位即得y=sin2x-π6+1的图象.
例2 解题导引 确定y=Asin+b的解析式的步骤:
求A,b.确定函数的最大值m和最小值m,则A=m-m2,b=m+m2.求ω.确定函数的周期T,则ω=2πT.求参数φ是本题的关键,由特殊点求φ时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
解 由图象可知A=2,T=8.
∴ω=2πT=2π8=π4.
方法一 由图象过点,
得2sinπ4×1+φ=2,
∴sinπ4+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=π4,
∴f=2sinπ4x+π4.
方法二 ∵点对应“五点”中的第二个点.
∴π4×1+φ=π2,∴φ=π4,
∴f=2sinπ4x+π4.
变式迁移2 解 由题意可得:
A=2,T2=2π,即2πω=4π,∴ω=12,
f=2sin12x+φ,f=2sinφ=1,
由|φ|<π2,∴φ=π6.∴f=2sin.
f=2sin12x0+π6=2,
所以12x0+π6=2kπ+π2,x0=4kπ+2π3,
又∵x0是最小的正数,∴x0=2π3.
f=2sin2θ+π6
=3sin2θ+cos
2θ,
∵θ∈0,π2,cosθ=13,∴sinθ=223,
∴cos2θ=2cos2θ-1=-79,
sin2θ=2sinθcosθ=429,
∴f=3×429-79=46-79.
例3 解题导引 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数模型,如本例,关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点,同时第二问中解三角不等式也是易错点.对于三角函数模型y=Asin+k中参数的确定有如下结论:
①A=ymax-ymin2;②k=ymax+ymin2;③ω=2πT;④φ由特殊点确定.
解 由表中数据,知周期T=12,
∴ω=2πT=2π12=π6,
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;
由t=3,y=1.0,得b=1.0,
∴A=0.5,b=1,∴y=12cosπ6t+1.
由题知,当y>1时才可对冲浪者开放,
∴12cosπ6t+1>1,∴cosπ6t>0,
∴2kπ-π2<π6t<2kπ+π2,k∈Z,
即12k-3<t<12k+3,k∈Z.①
∵0≤t≤24,故可令①中的k分别为0,1,2,
得0≤t<3,或9<t<15,或21<t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3 解 t=0时,E=2203sinπ6=1103.
T=2π100π=0.02.
当100πt+π6=π2,t=1300秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为2203伏.
课后练习区
.c 2.D 3.A 4.c 5.D
6.9π10
7.-sin2x
8.-32,3
9.解 由图象知A=2,
∵T=2πω=8,∴ω=π4.……………………………………………………………………
又图象经过点,∴2sin=0.
∵|φ|<π2,∴φ=π4.
∴f=2sin.………………………………………………………………………
y=f+f
=2sin+2sin
=22sin=22cosπ4x.……………………………………………………………
∵x∈[-6,-23],∴-3π2≤π4x≤-π6.
∴当π4x=-π6,即x=-23时,y=f+f取得最大值6;
当π4x=-π,即x=-4时,y=f+f取得最小值-22.………………………
0.解 根据f是R上的偶函数,图象过点m,可得f=f且A=2,
则有2sin=2sin,
即sinωxcosφ=0,
∴cosφ=0,即φ=kπ+π2.
而0≤φ≤π,∴φ=π2.………………………………………………………………………
再由f=2sin=2cosωx的图象关于点N3π4,0对称,f=2cos=0
∴cos3ω4π=0,……………………………………………………………………………
即3ω4π=kπ+π2,ω=43k+12.
又0<ω≤2,∴ω=23或ω=2.……………………………………………………………
最后根据f在区间[0,π]上是减函数,
可知只有ω=23满足条件.
所以f=2cos23x.………………………………………………………………………
1.解 f=sincosωx+cos2ωx
=sinωxcosωx+1+cos2ωx2
=12sin2ωx+12cos2ωx+12
=22sin2ωx+π4+12.……………………………………………………………………
由于ω>0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.………………………………………………
由知f=22sin2x+π4+12,
所以g=f
=22sin4x+π4+12.……………………………………………………………………
当0≤x≤π16时,π4≤4x+π4≤π2.
所以22≤sin4x+π4≤1.
因此1≤g≤1+22,…………………………………………………………………
所以g在此区间内的最小值为1.…………………………………………………
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