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误差分类主义批判
误差分类主义批判
——兼论测量不确定度评定原理
叶晓明1
1.武汉大学测绘学院,精密工程与工业测量国家测绘局重点实验室,武汉430079
摘要:
误差处理与误差评价是测量学的重要内容,然而传统的测量误差理论中的误差分类学说其实是一个巨大的错误,本文通过概念定义分析及事例指出传统误差分类理论的错误所在,提出正确的误差认识论,阐明测量不确定度理论的思想原理,率先指出包括测绘学科在内的一切测量领域都应该以不确定度作为测量结果真实性的评价指标。
关键词:
测量不确定度精度误差系统误差随机误差
中图分类号:
P2;TB9文献标识码:
A
1引言
传统测量误差理论将误差分类为系统误差、随机误差和粗差。
在误差处理方法上,把系统误差做修正或抵偿,用多余观测抵偿随机误差,把粗差剔除。
而在误差评价上,用系统误差评价准确度,用随机误差评价精度(精密度)。
最后用精度和准确度(计量界称正确度)共同定性评价精确度(计量称准确度)。
譬如:
水准网一等、二等、三等、四等,水准仪的DSZ05级、DSZ1级、DSZ3级,经纬仪的J07级、J1级、J2级、J6级,数字电压表的3位半、4位半,A/D转换器的8bit、10bit等。
可见,传统精度理论的误差认识论是误差分类主义。
自测量不确定度理论于1963年由美国国家标准局(NBS)的Eisenhart首先提出以来,现在已经成为国际上表示测量结果可靠性的通行做法,跟传统理论的测量可靠性定性评价不同,该理论实现了测量真实可靠性的定量评价。
但由于该理论中的不确定度B类合成方法和传统理论的系统误差不能均方合成的禁忌存在正面的碰撞,该理论自然受到误差分类主义学派的排斥。
诸多介绍不确定度理论的文献也因为拘泥于传统误差分类学说,无法清楚地阐明不确定度理论的思想原理。
譬如:
不确定度和精度有何关系?
不确定度评定有什么意义?
不确定度B类合成为什么把系统误差进行均方合成?
为什么有些学科迄今仍然还是采用精度理论?
为此,本次撰文专门剖析传统的误差分类学说的错误要害,以阐明不确定度理论的核心思想,指出不确定度理论较传统精度理论的科学性。
2概念定义分析
误差及其分类的定义在不同文献中稍有不同,但含义一致。
这里我们按《测绘基本术语—GB/T-14911-94》中的定义进行分析。
误差的概念是测量值对其真值之差,包括随机误差、系统误差和粗差。
随机误差是指同样测量条件下的测量值序列中,各测量值的测量误差的数值,符号具有不确定性,但又服从一定统计规律的测量误差;
系统误差是指同样测量条件下的测量值序列中,各测量值的测量误差的数值、符号保持不变或按某确定规律变化的测量误差;
粗差是指同样测量条件下的测量值序列中,超过测量误差的标准偏差某整数倍的测量误差。
通过这些概念定义我们不难得到其字面所表达的实际逻辑关系如图1。
可见,仅就概念定义字面而言,误差分类学说仅仅针对“同样测量条件下的测量值序列中”的误差进行了分类,而对“非同样测量条件下的”或“非测量值序列中的”误差并未进行分类,特别是针对单一误差,误差分类定义其实并没有问津。
就是说,对于误差的定义
来说,
是无法通过分类定义找到类别答案的。
误差分类定义实质是对重复观测条件下的误差样本的特性的分类而不是对误差的分类。
譬如:
光电测距仪的加常数误差、乘常数误差、幅相误差、相位不均匀误差、周期误差,水准仪的i角误差、补偿非线性误差、交叉误差、调焦误差等,这些单一的没有涉及“测量值序列”的原理误差其实都不属于误差分类定义的讨论范围。
但是,几乎所有文献对误差分类学说的解释都是:
误差的类别等于其在“同样测量条件下的测量值序列中”的表现属性的类别。
即:
这种理解不仅不符合概念的字面含义,也造成了理论和实践中的诸多困扰。
3误差分类学说在传统理论中并不能自圆其说
因为概念中规定了“同样测量条件”(重复观测),即所有的测量条件都没有改变,仅仅测量时间上存在先后的不同,所以只要一种误差不是时间的函数,它就必定被归类为系统误差,且终身享受系统误差“待遇”。
这就难怪所有测绘仪器内的除电子噪声误差外的几乎所有原理误差都被归类为系统误差,因为只有电子噪声误差是时间的函数(随机函数)。
譬如:
光电测距仪的加常数误差、乘常数误差、幅相误差、相位不均匀误差、周期误差等,水准仪的i角误差、补偿非线性误差、交叉误差、调焦误差等都被归类为系统误差,因为它们在相同观测条件(重复观测)下对测量结果的影响都是系统性的。
但事实上,这些误差在非重复观测条件下对测量结果的影响却几乎都是随机性的,根本不是系统性的。
譬如:
光电测距仪的加常数误差、幅相误差、相位不均匀误差、周期误差对导线网的误差的影响都是随机性的。
水准仪的i角误差、补偿非线性误差、交叉误差、调焦误差等水准网误差的影响也都是随机性的。
这些误差都直接影响测量成果的精度(精密度),这和传统理论的所谓系统误差不影响精度(精密度)只影响准确度的理论显然是自相矛盾的。
再譬如:
通常认为光学经纬仪度盘分度误差是随机误差,以一测回方向标准差来评价,甚至作为经纬仪的标称精度,这是测绘学界一直普遍习惯接受的。
因为以度盘上不同位置的刻度误差来统计,数学期望为0;但其实严格按误差分类的定义,以重复实验条件为前提,这时度盘上某一刻度的误差的数学期望并不为0,刻度误差表现的是系统属性,恰恰是严格定义意义的系统误差!
用系统误差评价精度,还是自相矛盾。
更严重的是,按照这样的分类定义,光学经纬仪这种纯光机仪器中就没有随机误差了,全是系统误差。
再譬如,测绘学领域在做光电测距仪三角高程精度分析时,测量原理方程为:
(1)
斜距,
仰角,
仪器高,
棱镜高。
误差方程为:
(2)
精度估计公式:
(3)
(1)
(2)(3)的推理过程无疑是正确的,
四个单一误差彼此独立互不相关,各自分别存在于一个相应的概率区间。
合成误差的概率区间的估计当然按(3)进行。
但是如果我们非要去死扣误差分类理论,麻烦就来了:
根据误差分类定义,在同样观测条件下,
这四个误差对
的影响都是系统性的,所以都是系统误差。
而公式(3)却把系统误差进行均方合成用来评价精度,这显然也和传统精度理论的系统误差不能均方合成、以随机误差评价精度的规则自相矛盾。
可见传统精度理论的误差分类学说在学术逻辑上本身是不能自圆其说的,系统误差不能参与均方合成原本就是一个没有学术理据的伪命题。
而建立在误差分类主义之上的精度、准确度概念当然也就所谓皮之不存毛将焉附了。
更有甚者,因为有系统误差和粗差不影响精度的理论教条,所以系统误差和粗差就可以放任自流。
譬如:
国家光电测距仪计量检定规程迄今一直都没有对测距仪加常数误差、乘常数误差规定限差。
导致了“存在巨大误差的高精度仪器”的悖论学说,“存在巨大误差”和“高精度”这二个完全对立的测量可靠性表述被强行捏在一起,造成了学术误会(计量界一直反对测绘仪器误差不限差)。
再譬如:
笔者曾发现日本某品牌全站仪存在设计错误导致仪器有高达20″的人为误差,但我国测绘权威质检机构仍然判定其为“合格仪器”,原因也是因为该误差是系统误差,不影响精度。
也是一种“存在巨大误差的高精度”悖论。
4误差属性的类别与误差的类别是二回事
误差分类学说错在哪里呢?
误差的分类只是根据误差在特定测量条件下的表现属性来进行的分类,这个特定的条件就是“同样测量条件下的测量值序列”。
而在脱离了这个特定条件时的其他任何条件下,误差仍然永久享受在该特定条件下获得的类别待遇,即使误差因为测量条件的改变已经表现出另外的属性。
根据事物的属性来对事物分类其实是有讲究的。
因为许多事物往往是不同属性的对立统一体,这时就根本不能把它割裂开来以属性对事物进行分类;同一事物可能在不同条件下或不同视角下表现出完全不同甚至相反的属性,这也是司空见惯的。
譬如:
光具有波粒二象性,我们却不可以说光分类为波动光和粒子光。
但如果我们强行下定义“波动光是指在双缝试验条件下表现出干涉属性的光”“粒子光是指在双缝试验条件下表现出粒子属性的光”,那当然会导致“世界上只有波动光”的结论了。
再譬如:
水有固化和汽化的性质,我们却不可以说根据水的性质可以把水分类为固化水和汽化水。
但如果我们强行下定义“固化水是指在温度零度条件下表现出固化性质的水”“汽化水是指在温度零度条件下表现出汽化性质的水”,那当然会导致“世界上只有固化水”的结论了。
再譬如:
大家熟知的盲人摸象的寓言——大象的耳朵象扇子尾巴象绳子,我们却不可以说大象按形状属性可分类为扇子型大象和绳子型大象。
但如果我们强行下定义“扇子型大象是指耳朵形状象扇子的大象”“绳子型大象是指耳朵形状象绳子的大象”,那当然会导致“世界上只有扇子型大象”的结论。
同样的道理,误差在不同测量条件下可以表现出系统、随机或粗差属性,我们却不可以说误差可分类为系统误差、随机误差和粗差,更不能规定一个特定的“同样测量条件下的测量值序列”条件下的属性来下分类定义。
因为这些属性是对立统一于误差这个整体里的,同一误差在不同测量条件下表现出完全不同属性也是司空见惯的。
重要的是,就误差概念而言,误差仅仅是一个差异量
,仅仅是一个单一的唯一的未知数,在不涉及到测量方法条件时根本就无所谓系统或随机属性。
总之,误差分类学说有三大错误:
1、误差是一个整体,其各种不同的表现属性对立统一于误差这个整体,不应该把它割裂开来对误差分类,误差属性的类别不能等同于误差的类别;2、误差对测量结果的影响属性依赖测量条件,不能以一种条件下的属性来断定其他任何条件下的属性类别。
3、系统误差不能参与均方合成是个没有学术理据的伪命题。
其实误差分类学说的缺陷早已被学者们所注意。
哈尔滨工业大学丁振良教授在文献中强调,“不确定的系统误差又与随机误差有相通之处”,“多个这样的误差共同作用时,相互间表现出一定的抵偿性,这也与随机误差的情形一致。
”
天津大学杨惠连教授在文献强调,“在系统误差与随机误差之间并不存在一条不可逾越的鸿沟,两者在一定条件下是可以相互转化的。
”
而武汉大学李德仁院士在文献中的表述则更直接而到位,“尽管在多年的测量实践中已习惯地如此分类,但从统计检验理论的观点出发,并不存在一个普遍而又明确的定义,我们只能从不同侧面来分析和将他们分类。
”“系统误差可以仅视为函数模型的误差或仅视为随机模型的误差,当然也可以同时作为函数模型和随机模型的误差处理。
”
5正确的误差认识论
误差的属性和误差的类别究竟是怎样的关系呢?
科学的表述究竟是怎样的呢?
误差的概念是测量值与其真值的差异量。
就概念定义而言,误差是一个数
,一个客观存在的唯一的数。
所以,站在误差定义的角度,误差本身是没有类别之说的。
误差源对测量结果的影响属性是有类别的,分为系统影响属性、随机影响属性或粗大影响属性。
系统影响属性是指误差源影响测量结果均值与真值的偏差,增加测量次数不受消减;随机性影响属性是指误差源直接影响测量结果的离散性,增加测量次数对结果取均值可以削弱该误差源对结果的影响;粗大影响属性是指误差源导致测量结果的显著离群。
至于误差源究竟表现何种属性,取决于测量方法条件,不可一概而论。
脱离了测量方法条件,误差就无所谓属性。
譬如,对于光电测距仪来说,我们可以说加常数误差对仪器示值误差的影响是系统性的,我们也可以说加常数误差对于导线网闭合差的影响是随机性的,但我们不可以给加常数误差规定一个终身制的类别。
因为加常数误差对不同测量结果的影响属性是不同的。
再譬如,对于水准仪来说,我们可以说固定整平条件下补偿非线性误差对仪器读数的影响是系统性的,我们也可以说补偿非线性误差对于水准网闭合差的影响是随机性的,但我们不可以给补偿非线性误差规定一个终身制的类别。
因为补偿非线性误差对不同测量结果的影响属性是不同的。
再譬如,对于经纬仪来说,我们可以说度盘分度误差在重复测量条件下对仪器示值误差的影响是系统性的,我们也可以说度盘分度误差对三角网误差的影响是随机性的,我们同样不可以给度盘分度误差规定一个终身制的类别。
因为度盘分度误差对不同测量结果的影响属性也是不同的。
需要补充强调的是,误差除了具有上述三种对测量结果的影响属性外,其本身还具有确定性和模糊性。
确定性是指误差值的唯一性、不变性,是一个唯一的确定的数量值;模糊性是指误差值的不可知性。
这种确定性和模糊性恰恰也是微观世界里的一种普遍属性——我们不能准确预言其发生,但可以准确预言其发生的概率。
当然,不同误差之间还有相关性和非相关性之说等。
见图3。
确定性和模糊性是误差本身的属性。
相关与非相关是误差彼此之间作用关系属性。
系统、随机和粗大属性则是误差作为源误差对次级测量结果的误差的影响属性,自然跟测量方法相关联。
任何测量——不论我们的测量过程如何——不论我们是否进行了多余观测和平差计算取最或然值,我们最终提交的测量结果都是唯一的,所以结果的误差值就是唯一的;但由于误差的模糊性,这个唯一的误差值是不可知的,人们只能用这个误差值所存在的概率区间——标准差来表达测量结果的可靠性。
标准差可以通过多余观测序列以统计法获得,称为实验标准差——测绘学称之为精度;也可以通过完整的误差传递方程以误差合成方法导出,称为标准不确定度。
二者所评价的误差源对象通常是不同的:
精度评价的是误差中的所谓“随机误差”成分(传统理论),不包括所谓“系统误差”成分,是对部分源误差合成值的概率区间的评价;而不确定度则是对所有源误差合成值的概率区间的评价,是对最终误差的模糊程度的总体性评价。
6测量不确定度理论就是屏弃误差分类学说而建立的
测量不确定度理论于1963年由美国国家标准局(NBS)的Eisenhart首先提出,在历时了30余年的国际学术界讨论后,成为当前国际上表示测量结果真实可靠度的通行做法。
我国于1998年前后开始推行这一规范,其标志性技术法规文件是JJF1001-1998《通用计量术语与定义》和JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》。
目前,这一测量可靠性的评价方法也已经推广应用到了绝大部分学科与技术领域,但也有少数学科仍然延续采用传统精度评价方法,譬如测绘学。
不确定度理论体现的是误差评定的存在主义思维——所有既存的对测量结果有影响的误差源都影响结果的真实性,只要存在的误差都要参与评定。
除已经改正了的已知误差不参与评定外,所有既存的未知误差都要参与评定,改正的不完整性(残剩量)也要参与评定,只要是不能确定的未知误差都一律按统计规则参与评定。
不确定度理论不再在系统误差随机误差的分类问题上纠缠,没有了系统误差和随机误差的概念,也没有精度、准确度、精确度等概念(请参阅GUM2正文中的定义和基本概念部分),只强调误差对结果的系统性影响还是随机性影响,系统性影响多次平均测量不受消减,随机性影响多次平均测量要受消减。
这样,不确定度当然就是对测量结果与真值的接近程度的定量估计,是对测量结果的真实性可靠性的定量评价。
不确定度评定是需要分析误差源在当前测量条件下对结果误差的影响属性的,根本不需要追究误差的所谓“类别”——其仅仅在重复测量条件下的属性的类别。
因为当前测量条件通常并不一定就是重复测量条件。
甚至在仪器设计或测量生产中,人们通常总是尽量避免采用重复测量方法,因为在重复测量方法下,许多误差源都表现出系统属性,既不能使用差分法抵偿消减,也不能使用统计法消减,更不能使用回归分析法消减。
一般地,测量原理方程:
(4)
是包括仪器、环境、甚至最小读数在内的所有影响测量结果真实性的因素。
误差方程:
(5)
这里的
是误差源,就是误差,是未知误差,是存在于相应概率区间的一些彼此独立的未知数而已。
由于通常各项误差源彼此独立互不相关,结果的标准差和各分项标准差的关系为:
(6)
该标准差即标准不确定度,是未知误差的概率区间的合理估计值,均方合成是基于多维独立随机变量条件下的概率区间估计法则。
并不象传统理论那样针对所谓随机误差,没有随机误差概念了。
也没有系统误差的概念了,更没有“系统误差不能均方合成”的说法了。
不确定度的评定原理实质就是误差传递原理,B类均方合成法则是基于未知误差彼此独立互不相关的理由而产生,即使未知误差对于结果是系统性影响(所谓的“系统误差”)。
所以,不确定度更大程度是通过测量原理分析估计出来的(当然也可以包含有统计的部分),即使是没有多余观测的单次测量甚至是只有测量方案而未实施的测量,其测量结果的不确定度也都是可以预测估计的,而这也是不确定度和传统精度的一个重大区别。
就如同仪器设计师在仪器设计时就能够把仪器的示值误差分析估计出来一样,不一定需要必须把仪器加工出来进行测试统计;就如同硬币着地时某面朝上的概率值50%是可以通过原理分析而得到一样,不一定需要每次必须进行大量的抛掷试验通过统计来获得。
统计值也并不一定比估计值更真实,通过科学原理分析对已发生甚至未发生的测量的可靠性作出准确定量的预测判断,这恰恰是不确定度理论的科学性所在。
可见,不确定度的概念实质就是测量结果误差的概率区间的合理估计值,这个“合理”就是必须遵循数理统计理论、必须基于严谨的测量原理误差分析来进行估计。
顺便指出,当前学术界对不确定度概念的表述实在太拗口。
(6)式是标准差的估计原理,而实践中通常通过测量结果多余观测序列的统计直接获得实验标准差(测绘学称之为精度),不确定度理论把通过统计获得的实验标准差称为A类不确定度。
但实验标准差通常不可能象(6)式那样包含全部误差源的贡献,不同测量条件下的实验标准差所评价的误差源是不同的,特别是那些在当前测量条件下表现为系统属性的误差源将不影响实验标准差的统计值。
譬如:
水准仪的重复测量标准差不受补偿器误差、调焦误差、交叉误差、标尺分度误差、标尺米长误差、磁致误差等所影响;水准仪的单站高差标准差不受标尺米长误差、磁致误差、调焦误差所影响;水准测量的每KM往返测量标准差不受标尺米长误差影响。
那些不影响实验标准差但影响结果真实性的其他所有误差源则就是B类不确定度的来源。
不确定度评定强调(5)式中所有的误差源都参与评定,不能遗漏,也不能重复,更不能无中生有。
所以要求测量师除必须具有必备的数学、计量等知识外,还必须在物理层面对其从事的专业测量原理有深入的研究,对其专业测量的原理误差的构成机理、影响规律、数量大小等有足够的知识和经验。
特别是要知悉当前测量条件下的A类不确定度是对哪些误差源的评价,要知悉哪些误差源没有被A类不确定度所包含而必须作为B类参与合成。
而人们传统上按
(1)
(2)(3)的思路进行三角高差精度估计当然是正确无疑的,这也说明不确定度理论的误差合成思维原本就存在于传统理论之中,只是传统误差理论中的误差分类学说反而对它自己形成了羁绊。
再譬如,在仪器学领域,甚至在不确定度理论之前,我们设计制造测距仪时,为了使仪器的最大允许示值误差MPE满足设计指标,我们把仪器所有原理误差(改正抵偿等消减措施后的剩余残差)如加常数误差、乘常数误差、幅相误差、周期误差、相位不均匀误差等各分配一定的限差范围,以保证均方合成后的结果必须小于设计值,而这些误差源在传统理论中几乎都被归类为所谓的系统误差。
这也说明不确定度的误差合成思想原本是存在于传统理论之中的。
存在主义和分类主义还有一个决然不同的哲学认识:
分类主义通常认为系统误差是稳定的,其真值是可知的,系统误差可以通过改正而根除,系统误差比随机误差地位更优越。
系统误差不存在的前提下,精度就等于精确度1;而存在主义认为误差的真值是不可知的,不可以通过改正来根除误差,按函数模型改正误差也只能起到消减误差的效果,这和利用随机模型消减误差的地位是一样的,改正后的残余误差当然也要参与不确定度评价,“系统误差不存在的前提”只是一个假设。
这也是前边提到的在光电测距仪加乘常数误差的限差问题上存在学术碰撞的一个深层原因。
不确定度理论没有误差分类的概念,当然就没有误差可以通过戴上系统误差或粗差的类别“帽子”而享受不影响精度甚至放任自流的待遇,“存在巨大误差的高精度”悖论当然就不可能出现。
当然,笔者也注意到许多介绍不确定度理论的文献至今仍然弥漫着浓厚的精度理论色彩,传统误差分类学说的概念术语如系统误差、随机误差、精确度、准确度、精密度等大量充斥于其中,这样诠释的不确定度理论当然是不伦不类的。
既然继续肯定误差分类理论,那么就必然得出不确定度B类合成原理是个错误,否则相反。
传统理论的“系统误差不能均方合成”和不确定度理论的B类均方合成法则是对立的,正确的当然只能有一个,不可能同时都正确。
这样逻辑缺陷的文献当然可能导致那些有思维主见的人士对不确定度理论产生怀疑。
7
打靶理论新解
传统精确度理论的文献中,经常使用打靶例子形象说明系统误差和随机误差不能均方合成、只能用准确度和精密度共同定性评价精确度的道理。
既然我们今天否定了误差分类理论,我们当然需要对打靶例子作出解释。
当一支枪以足够多发的子弹向靶子射击时,从子弹命中靶标的分布密度看,弹孔分布在一个偏离靶中心的概率区间内,该概率区间的宽度表达子弹的密集程度,是随机误差,体现精密度(精度);而所有弹孔的平均中心与靶标中心的偏差则是系统误差,体现准确度。
如图4。
精密度和准确度无法合成,只能用准确度和精密度共同定性评价射击质量。
而我们真正关心的问题是:
射手在任意一支枪和任意一发子弹的条件下弹孔偏离靶心的概率区间究竟有多大?
就如同我们的测量结果——就一个唯一的结果(相当于一发子弹或有限发子弹的平均)偏离真值的概率区间究竟有多大一样。
在这种情况下,传统理论的回答只能是以试验场获得的精度和准确度来定性评价单发射击命中质量,定性的回答当然等于没有回答。
当然可能还有一种更雷人的回答:
单次射击没有多余观测,根本就没有射击质量可谈。
然而,在不确定度理论看来,这是一种只见树木不见森林的认识。
我们分析一下上述射击试验的原理不难理解,所谓随机误差基本来自射手、子弹、风向等不确定因素,而造成所谓系统误差的因素基本来自枪支的瞄准器。
既然系统误差来自枪支的瞄准器,而且已经通过实验测出,那么我们完全可以反问传统理论:
为什么不把它做改正呢?
传统理论不是始终强调系统误差是可以改正的吗?
而事实是,枪支的瞄准器出厂时都已经经过了严格的校准,已经经过了所谓系统误差改正!
只是因为校准也是有残差的,试验中测出的所谓系统误差本身就是校正后的残差。
即使再次根据打靶试验结果反复校正,也永远不可能保证瞄准器绝对没有残差,因为有所谓随机误差的存在等原因,所谓系统误差的真值是不可知的,残差是永远存在的;况且从物理稳定性的角度来说,试验测出的所谓系统误差值也仅仅只能代表试验测试当时的状况,不代表它将来不发生变化。
所以说,瞄准器的所谓系统误差的当前真值是不可知的,也是不可以绝对控制的,只能保证该批次的枪支的瞄准器偏差在一个规定的概率区间内。
就是说,瞄准器偏差同样也是未知的不确定因素。
所以要实现任意一枪和任意一弹条件下的命中概率估计显然仅仅使用一支枪做重复射击测试就进行推测是远远不够的,而必须对足够多的枪支且每支枪都经过足够多的子弹进行射击测试,以所有样本合并后的弹孔密度区间来推测任意一枪和任意一弹的条件下的命中概率区间。
如图5。
按高斯分布理论,这个概率区间就等于该批次枪支瞄准器的标准偏差和单枪重复射击标准偏差的方和根,结果等于是把所谓系统误差和随机误差进行了均方合成。
即误差方程为:
(7)
标准不确定度评定公式为:
(8)
所以,站在不确定度理论的角度,打靶例子是一个至少二维独立随机变量条件下的概率估计问题,而不是传统精确度理论那样按一维随机变量加常量的描述方式。
传统精确度理论纠缠于系统误差概念定义,把瞄准器误差归类为系统误差却又无法改正它,于是裹足不前;而不确定度理论则认为瞄准器的偏差既然是一个真值不可知的未知误差,那它当然也是一个存在于一定概率区间的随机变量,这个概率区间就是该批次枪支瞄准器的偏差的统计值。
当把一批枪支的瞄准器的偏差按贝塞尔公式统计其标准差的时
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