数值分析第三版课本习题及答案讲解.docx

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数值分析第三版课本习题及答案讲解

1

（21）S6***

（322）3,

1

（322）3

99702.

1.

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13.

14.

第一章绪论

设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

设x的相对误差为2％,求xn的相对误差.

下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位

有效数字:

x11.1021,x20.031,x3385.6,x456.430,x571.0.利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限:

（i）x1*x*2x*4,（ii）x1*x*2x3*,（iii）x*2/x4*,其中x1*,x*2,x*3,x*4均为第3题所给的数计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

设Y028,按递推公式

1

YnYn1783

100（n=1,2,⋯）

计算到Y100.若取783≈27.982（五位有效数字）,试问计算Y100将有多大误差?

求方程x256x10的两个根,使它至少具有四位有效数字（783≈27.982）.

1

N2dx

当N充分大时,怎样求N1x?

2正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

f（x）ln（xx1）,求f（30）的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

若改用另一等价公式

ln（xx21）ln（xx21）

计算,求对数时误差有多大?

试用消元法解方程组

x11010x21010;x1x22.

假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15.

1.

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10.

s1absinc,

已知三角形面积2其中c为弧度,

0c

2,且测量a

b,c

的误差分别为a,b,c.证

明面积的误差s满足

a

b

c

a

b

c

ss

第二章

插值法

根据（2.2）定义的范德蒙行列式,令

1

x0

2

x0

n

x0

1

xn1

2

xn1

n

xn1

1

x

2x

nx

Vn（x）Vn（x0,x1,,xn1,x）

证明Vn（x）是n次多项式,它的根是x0,,xn1,且

Vn（x）Vn1（x0,x1,,xn1）（xx0）（xxn1）

当x=1,-1,2时,f（x）=0,-3,4,求f（x）的二次插值多项式.

给出f（x）=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.

x

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

lnx

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.357765

-0.223144

给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=（1/60）°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.

设xkx0kh,k=0,1,2,3,

求xm0axxx3l2（x）

设xj为互异节点（j=0,1,⋯,n）,求证:

n

xkjlj（x）xk（k0,1,,n）;

i）j0

n

（xjx）klj（x）k1,2,,n）.

ii）j0

mk次多项式,并且f（x）0（l为正整数）.

11.证明（fkgk）fkgkgk1fk.

n1n1

fkgkfngnf0g0gk1fk.

12.证明k0k0

n1

2

2yjyny0.

13.证明j0

x1,x2,,xn,证明

k

xkj

j1f（xj）

0,0kn2;an1,kn1.

14.若f（x）a0a1xan1xanx有n个不同实根

15.证明n阶均差有下列性质

i）若F（x）cf（x）,则Fx0,x1,,xncfx0,x1,,xn;

ii）若F（x）f（x）g（x）,则Fx0,x1,,xnfx0,x1,,xngx0,x1,,xn.

16.,求f20,21,,27及f20,21,,28.

17.证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3（x）f（4）（）（xxk）2（xxk1）2/4!

（xk,xk1）并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18.求一个次数不高于4次的多项式P（x）,使它满足P（0）P（k1）并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P（x）,以便使它能够满足以下边界条件P（0）P（0）0,P

（1）P

（1）1,P

（2）1.

20.设f（x）Ca,b,把a,b分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数n（x）并证明当

n时,n（x）在a,b上一致收敛到f（x）.

2

21.设f（x）1/（1x2）,在5x5上取n10,按等距节点求分段线性插值函数Ih（x）,计算各节点间

中点处的Ih（x）与f（x）的值,并估计误差.

22.求f（x）x2在a,b上的分段线性插值函数Ih（x）,并估计误差.

23.求f（x）x4在a,b上的分段埃尔米特插值,并估计误差

24.给定数据表如下:

xj

0.25

0.30

0.39

0.45

0.53

yj

0.5000

0.5477

0.6245

0.6708

0.7280

试求三次样条插值S（x）并满足条件

i）S（0.25）1.0000,S（0.53）0.6868;

ii）S（0.25）S（0.53）0.

25.若f（x）Ca,b,S（x）是三次样条函数,证明

b2b2b2b

f（x）2dxS（x）2dxf（x）S（x）2dx2S（x）f（x）S（x）dx

i）aaaa;

ii）若f（xi）S（xi）（i0,1,,n）,式中xi为插值节点,且ax0x1xnb,则

aS（x）f（x）S（x）dxS（b）f（b）S（b）S（a）f（a）S（a）.

26.编出计算三次样条函数S（x）系数及其在插值节点中点的值的程序框图（S（x）可用（8.7）式的表达式）.

第三章函数逼近与计算

1.（a）利用区间变换推出区间为a,b的伯恩斯坦多项式.

（b）对f（x）sinx在0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数

部分和误差做比较.

2.求证:

（a）当mf（x）M时,mBn（f,x）M.（b）当f（x）x时,Bn（f,x）x.

3.在次数不超过6的多项式中,求f（x）sin4x在0,2的最佳一致逼近多项式.

4.假设f（x）在a,b上连续,求f（x）的零次最佳一致逼近多项式.

3

maxxax

5.选取常数a,使0x1达到极小,又问这个解是否唯一?

6.求f（x）sinx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7.求f（x）ex在0,1上的最佳一次逼近多项式.

8.如何选取r,使p（x）xr在1,1上与零偏差最小?

r是否唯一?

9.设f（x）x43x31,在0,1上求三次最佳逼近多项式.

10.令Tn（x）Tn（2x1）,x0,1,求T0*（x）,T1*（x）,T2*（x）,T3（x）.

1

11.试证Tn（x）是在0,1上带权xx2的正交多项式.

12.在1,1上利用插值极小化求1f（x）tg1x的三次近似最佳逼近多项式.

13.设f（x）ex在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln（x）,若fLn有界,证明对任何

n1,存在常数n、n,使

nTn1（x）f（x）Ln（x）nTn1（x）（1x1）.

112331541655

1

设在

1,1上（x）

xxxxx

28243843840,试将（x）降低到3次多项式并估计

误差

在1,1上利用幂级数项数求f（x）sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

f（x）是a,a上的连续奇（偶）函数,证明不管n是奇数或偶数,f（x）的最佳逼近多项式Fn（x）Hn也是奇（偶）函数.

求a、b使02axbsinxdx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较

f（x）、g（x）C1a,b,定义

bb

（a）（f,g）af（x）g（x）dx;（b）（f,g）af（x）g（x）dxf（a）g（a）;

aa

问它们是否构成内积?

14.

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20.

21.

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25.

26.

27.

用许瓦兹不等式

（4.5）估计

1x

dx

的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界

并比较其结果

选择a,使下列积分取得最小值

1（xax2）2dx,

1

11

xax2dx

设空间span1,x,2spanx100,x101,分别在1、2上求出一个元素,使得其为x2C0,1的最佳平方逼近,并比较其结果.

f（x）x在1,1上,求在1span1,x2,x4上的最佳平方逼近

sin（n1）arccosx

n1x2是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

un1x2xunxun1x

1

f（x）sinx

将2在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并

画出误差图形,再计算均方误差.

把f（x）arccosx在1,1上展成切比雪夫级数

时间t（秒）0距离s（米）0

0.9

10

1.9

30

3.0

50

3.9

5.0

80

110

用最小二乘法求一个形如yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差

xi

19

25

31

38

44

yi

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

观测物体的直线运动,得出以下数据

求运动方程.

28.在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下

时间

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

浓度

0

1.27

2.16

2.86

3.44

3.87

4.15

4.37

4.51

4.58

4.62

4.64

用最小二乘拟合求yf（t）.

29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.

30.编出改进FFT算法的程序框图.

31.现给出一张记录xk4,3,2,1,0,1,2,3,试用改进FFT算法求出序列xk的离散频谱

Ck（k0,1,,7）.

第四章数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精

度:

h

（1）hf（x）dxA1f（h）A0f（0）A1f（h）;

（1）;2h

（2）2hf（x）dxA1f（h）A0f（0）A1f（h）;1

（3）1f（x）dxf

（1）2f（x1）3f（x2）/3;

（4）

f（x）dxhf（0）f（h）/1ah2f（0）f（h）

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分

1x

2dx,n8

（1）04x2

（2）

1（1

0

1

ex）2

dx,n10

x

（3）

xdx,n4

1

（4）06sin2

dx,n6

（2.4）具有5次代数精度

4.用辛普森公式求积分

exdx

并计算误差

5.推导下列三种矩形求积公式:

bf（）2

af（x）dx（ba）f（a）（ba）2

（1）a2;

bf（）2

af（x）dx（ba）f（b）（ba）2

（2）a2;

babf（）3

af（x）dx（ba）f（ab）f（）（ba）（3）a224.

b

f（x）dx

6.证明梯形公式（2.9）和辛普森公式（2.11）当n时收敛到积分a.

b

7.用复化梯形公式求积分af（x）dx,问要将积分区间a,b分成多少等分,才能保证误差不超过（设不

计舍入误差）?

21

20exdx5

8.用龙贝格方法计算积分0,要求误差不超过105.

Sa1（c）2sin2d

9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是0a,这里a是椭圆的半长轴,c

是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R6371公里为地球半径,则a（2RHh）/2,c（Hh）/2.我国第一颗人造卫星近地点距离h439公里,远地点距

离H2384公里,试求卫星轨道的周长

35

nsin24

10.证明等式n3!

n25!

n试依据nsin（/n）（n3,6,12）的值,用外推算法求的近

似值.

3dy

11.用下列方法计算积分1y并比较结果.

（1）龙贝格方法;

（2）三点及五点高斯公式;

（3）将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

12.用三点公式和五点公式分别求

在x1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差

f（x）的

x

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

f（x）

0.2500

0.2268

0.2066

0.1890

0.1736

f（x）（1x）2

值由下表给出

第五章常微分方程数值解法

1.就初值问题yaxb,y（0）0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确

y1ax2bx

2

相比较。

取步长h=0.1计算，并与准确解

x

yx12e相比较。

4.用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

yn

yy0;y（0）1,

2hn

2h

并证明当h0时，它原初值问题的准确解yex。

5.利用尤拉方法计算积分

etdt

在点x0.5,1,1.5,2的近似值。

6.取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

yxy,0x1;

1）y（0）1,

y3y/（1x）,0x1;

2）y（0）1.

7.证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：

h

yn1ynh2（K2K3）;

K1f（xn,yn）;

K2f（xnth,ynthK1）;

K3f（xn（1t）h,yn（1t）hK1）.

8.证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

yn1ynh（K13K3）;

4

K1f（xn,yn）;

hh

K2f（xn3,yn3K1）;

33

22

K3f（xnh,ynhK2）;

1）33

h

yn1yn9h（2K13K24K3）;

K1f（xn,yn）;

hh

K2f（xn2,yn2K1）;

33

K3f（xnh,ynhK2）.

2）44

9.分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

y1y,y（0）0,

取h0.2,y00,y10.181,计算y（1.0）并与准确解y1ex相比较。

10.证明解yf（x,y）的下列差分公式

1h

yn12（ynyn1）4（4yn1yn3yn1）是二阶的，并求出截断误差的首项。

11.导出具有下列形式的三阶方法：

yn1a0yna1yn1a2yn2h（b0ynb1yn1b2yn2）.

12.将下列方程化为一阶方程组：

y3y2y0,

1）y（0）1,y（0）1;

y0.1（1y2）yy0,

2）y（0）1,y（0）0;

x（t）x3,y（t）y3,rx2y2,

3）r3r3

x（0）0.4,x（0）0,y（0）0,y（0）2.

13.取h=0.25，用差分方法解边值问题

yy0;

y（0）0,y

（1）1.68.

14.对方程yf（x,y）可建立差分公式

2

yn12ynyn1hf（xn,yn）,

试用这一公式求解初值问题

y1;

y（0）y

（1）0,

验证计算解恒等于准确解

x2x

y（x）.

2

15.取h=0.2用差分方法解边值问题

（1x2）yxy3y6x3;

y（0）y（0）1,y

（1）2.

第六章方程求根

2

1.用二分法求方程xx10的正根，要求误差<0.05。

2.用比例求根法求f（x）1xsinx0在区间［0,1］内的一个根，直到近似根xk满足精度|f（xk）|0.005时终止计算。

3.为求方程x3x210在x01.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭

代公式。

2

1）x11/x2，迭代公式xk111/xk；

32

x31x2，迭代公式

xk131xk2；

3）

x2

1

x1，迭代公式

xk11/xk1。

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4.比较求ex10x20的根到三位小数所需的计算量；

1）在区间[0,1]内用二分法；

2）用迭代法xk1（2exk）/10，取初值x00。

5.给定函数f（x），设对一切x,f（x）存在且0mf（x）M，证明对于范围内02/M的任

意定数λ，迭代过程xk1xkf（xk）均收敛于f（x）的根x。

6.已知x（x）在区间[a,b]内只有一根，而当a

|（x）|k1，

试问如何将x（x）化为适于迭代的形式？

将xtgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

3

7.用下列方法求f（x）x33x10在x02附近的根。

根的准确值x＝1.87938524⋯，要求计算

结果准确到四位有效数字。

1）用牛顿法；

2）用弦截法，取x01,x11.9；

3）用抛物线法，取x01,x13,x22。

8.用二分法和牛顿法求xtgx0的最小正根。

9.研究求a的牛顿公式

1a

xk1（xk）,x00,

k12kxk0

证明对一切k1,2,,xka且序列x1,x2,是递减的。

10.对于f（x）0的牛顿公式xk1xkf（xk）/f（xk），证明

2

Rk（xkxk1）/（xk1xk2）

收敛到f（x）/（2f（x）），这里x为f（x）0的根。

11.试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

f（x）

1）

x,x0;

x,x0;

f（x）3x32,2x0;

2）x,x0.

32

12.

应用牛顿法于方程

x2a0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。

13.

应用牛顿法于方程

f（x）1

x2

0

，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。

14.

应用牛顿法于方程

f（x）xn

a0和f（x）1xn

0，分别导出求na的迭代公式，并求

lkim（naxk1）/（naxk）2.

15.证明迭代公式

xk1

xk（xk23a）

3xk2a

是计算a的三阶方法。

假定初值x0充分靠近根x，求

lkim（axk1）/（axk）3.

第七章解线性方程组的直接方法

1.考虑方程组：

0.4096x10.1234x20.3678x30.2943x40.4043;

0.2246x10.3872x20.4015x30.1129x40.1550;

0.3645x10.1920x20.3781x30.0643x40.4240;

0.1784x10.4002x20.2786x30.3927x40.2557;

（a）用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

（b）用列主元消去法解上述方程组并且与（a）比较结果。

2.（a）设A是对称阵且a110，经过高斯消去法一步后，A约化为

a11a1

0A2

证明A2是对称矩阵。

（b）用高斯消去法解对称方程组：

0.6428x10.3475x20.8468x30.4127;

0.3475x11.8423x20.4759x31.7321;

0.8468x10.4759x21.2147x30.8621.

4.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有

顺序主子式均不为零。

5.由高斯消去法说明当i0（i1,2,,n1）时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。

n

|aii||aij|（i1,2,,n）,

6.设A为n阶矩阵