概率论与数理统计第四章测试题.docx
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概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量的数字特征
一、选择题
1.设两个相互独立的随机变量X和丫的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是
(A)8(B)16(C)28(D)44
2.若随机变量X和丫的协方差CovX,Y0,则以下结
3.设随机变量x和y相互独立,
X:
Ni,i2,Y:
N2,2",贝VZX2Y:
()
4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量E=X+Y与n=X-Y不相关的充要条件为
(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=
E(Y2)-(EY)2
(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=
E(Y2)+(EY)2
5.设X、Y是两个相互独立的随机变量且都服从于N0,1,则ZmaxX,Y的数学
期望陀)=()(A)-2=(B)0
(O厶(D)+
6.设八,是相互独立且在®砒上服从于均匀分布的随机变量衣则町曲心芒)卜()
(A)f(B)a(C)f
(D)?
7.设随机变量龙和『的方差存在且不等于0,则
D(X+Y)=DX+DY是X和Y()
(A)不相关的充分条件,但不是必要条件
(B)独立的充分条件,但不是必要条件
(C)不相关的充分必要条件(D)独立
的充分必要条件
8.若离散型随机变量尤的分布列为
(A)2(B)0(C)ln2
(D)不存在
9.将一枚硬币重复掷ri次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于
(A)-1(B)0(C)1(D)1
2
10•设随机变量X和Y独立同分布,具有方差
2>0,则随机变量U=X+Y和V=X-Y
(A)独立
不相关
(B)不独立(C)相关(D)
11•随机变量X的方差存在,且E(X)=,则对
于任意常数C,必有
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2
E(X-C)2=E(X-)2
E(X-)
12•设X〜U(a,b),E(X)=3,D(X)=-,则P(1 3 () (A)0(B)4(C)£(D) 丄 2 二、填空题 1.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数, 每次命中目标的概率为0.4,则eX2 2•设一次试验成功的概率为p,进行了100次独立重复试验,当p时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为 3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布, 1X0 随机变量Y0X0,则Y的方差DY= 1X0 4・DX4,DY9,xy0.5,贝DXY DXY 5•设随机变量x服从于参数为的泊松分布,且 已知EX1X21,贝V 6•设(X,Y)的概率分布为: -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.2 贝yCOV(X2,Y2)=。 7•已知P(Xk)責(k123),贝yE(X)=。 8.X~N(,2),Y~N(,2),X与Y相互独 立,则Cov(X+Y,X-Y)=。 9.随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分 布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3,则 E(X)=,D(X)=。 10.设pXY=0.9,Z=X-0.4,贝yY与Z的相关系 数为。 11•设随机变量Xij独立同分布,EXij=2,则行列式 EY二 三、简答题1•从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5。 设X为同种遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。 2•已知随机变量X,Y服从二维正态分布,且X与Y分别服从正态分布N(1,32)与N(0,42),它们的相关系数⑵求X与Z的相关系数xz。 3.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)乙箱中次品数X的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 4.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。 假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间丫的数学期望。 5.一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量丫是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布。 商店没售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了供货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 6.两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动。 试求两 台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。 7.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望和方差。 8设随机变量X的概率密度为f(x)2吨,0X 0,其他,对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于-的次数,求Y的数学期望。 3 9.设随机变量X,丫相互独立,且都服从均值为 0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差。 10.假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0W x<1,0 记 U0,XY; 1,XY, V°,X2Y; 1,X2Y, (1)求(U,V)的概率分布; (2)求U和V的相关系数r。 11•假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量 试求 (1)X和丫的联合概率分布; (2)D(X+Y) 12.设A,B是两个随机事件;随机变量 1,若B出现; 1,若B不出现, 试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。 参考答案 1.D2.B ,、选择题 6.-0.027.18/118.0 9.4,14/310.0.911.0 三、简答题 1.解: X服从二项分布B(3,|),其分布律为 5 X 0 1 2 3 P 27/125 54/125 36/125 8/125 其分布函数为 0,x0, 27/125,0x1, F(x)81/125,1x2, 117/125,2x3,1,x3. X的数学期望为EX3| 2・解: ⑴因X: N(1,32),Y: N(0,42),xy£,Z△Y,故有 3 111 EZ-EX-EY- 323J covX,Y.DX.DYXY1346, 2 XY1 DZD()-DX 329 ^cov(X,Y)31(6)0,xz 232 EX (2)又全概率公式 5•解: 设Z表示商店每周所得的利润,则 1000X500(YX)500(XY),YX, T=X+Y,从而有 6.解: 以X和Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间, f(t)fx(X)fY(t x)dx t5x 25ee 0 5(tx)dx 0, 25te5t,t t 由已知,EX EY 1 -,DXDY 5 1 25, 从而有: ET EX EY-,DT 5 DX DY—。 25 0, 0, 7. 解: X服从几何分布, P(X=i)=q i-1p, i=1,2,… EX ・i1 iq i1 p(qi) i1 p(q i1 i) p壮) EX2 DX P(A) P(i(i i1 i1 1)q iqi1)pq( i1 qi) i2 2p 2 p EX2(EX)2 解: 设A表示 X的观察值大于-,故 3 1X1 P(X3)/32cos2dx2; 由题意可知,Y〜B(4,1/2); 故EY2DY(EY)241丄(41)25。 222 9•解: 有独立正态分布的性质, X-Y〜N(0,1), E|XY| |z|Jedz 2 z2 ze2dz 再求E|X Y|21 ;所以D|XY| 10•解: (1) P(U 0,v 0)P(XY)- 4 P(U0,V 1) P(U1,V0) P(YX 2Y) 1 p(u1,v1); (2) EU 4,ev EUV 1,可计算cov(U,V) EUV EUEV DU 31 3 44 16, 11. 解: (1) P(X 1,Y 1)P( DV P(X 1 U1) 最后得到 cov(X,Y).DX.DY 1,Y 1)P(U 1) P(X 1,Y1) (2) P(XY 2)1 所以 E(X+Y)=0 12 EY=2P(B)-1, E(XY)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)4P(AB)2P(A)2P(B)1 P(X P(X1,Y Y0)1 2 1) P(U Di P(X D(X+Y)=2。 EX=P(A)-[1-P(A)]=2P(A)-1 p(Ab)p(aB) P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(AB) 从而X和Y不相关的充要条件是 cov(X,Y)E(XY)EXEY0,即 4P(AB)2P(A)2P(B)1[2P(A)1][2P(B)1]4P(A)P(B)2P(A)2P(B)1, 当且仅当P(AB)=P(A)P(B),当且仅当A,B独立。
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- 概率论 数理统计 第四 测试