分段线性插值.docx
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分段线性插值
《数值分析》课程设计
题目分段线性插值
学生牛彦坡陈彬冯梦雨
指导教师郭阁阳
天津工程师范学院
课程设计任务书
理学院数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨
课程设计课题:
考察分段线性插值
一、课程设计工作日自2009年6月22日至2009年6月28日
二、同组学生:
牛彦坡陈彬冯梦雨
三、课程设计任务要求(包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资料等):
来源与意义:
本课题来源于教材第二章插值法,目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想,加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab解决相关问题的能力。
基本要求:
要求自编程序;掌握编程思想,学会一门编程语言;报告要有较强的理论分析;有较强说服力的数据表或图像;对结果进行分析;给出相应结论;鼓励创新;
参考资料:
1.数值分析,李庆扬,王能超,易大义,2001,清华大学出版社(第四版)。
2.数值方法,关治,陆金甫,2006,清华大学出版社。
3.数值分析与实验学习指导,蔡大用,2001,清华大学出版社。
4.数值分析与实验,薛毅,2005,北京工业大学出版社。
指导教师签字:
教研室主任签字:
天津工程师范学院
课程设计评审表
理学院数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨
设计任务完成情况及指导教师评语
答辩情况
评定成绩
成绩:
指导教师签字:
日期:
教研室主任:
主任签字:
日期:
日期:
一、问题提出:
考察分段线性插值:
对
在(-5,5)上进行分段线性插值,取不同节点个数
,得到不同分段线性插值函数。
(要求:
自编程序,报告有数据表、图像、分析、结论。
)
虽然matlab里有直接分段线形插值的函数,但为了对分段插值算法有更明确的理解,编写该程序是有必要的
需要解决的问题:
1、由已知数据节点编写分段线形插值函数,从而能由所编函数得到非节点的函数值。
2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差,从而得出节点数与插值效果的关系
二、理论基础
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x)。
设已知节点a=x0 1o 2o 3o 在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数。 则称 为分段线性插值函数。 模型一: 由定义可知 在每个小区间[xk,xk+1]上可表示为 = 模型二: 首先确定间隔序列k,使得: 第二个量是局部变量s,其定义为: 最后一个量是一阶均差 则插值基函数可表示为 . 三、实验内容 1、模型一: 用MATLAB分别建立m文件: (1)原函数 (2)分段线性插值函数 (3)比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果 2、选取插值节点数为偶数 在MATLAB窗口中执行: fd3n=2的数据见附录,图像如下: n=8的图如下: n=20的图 3、模型二: 用MATLAB分别建立m文件: (1)分段插值函数fd22 (2)插值效果比较函数fd32(选取插值节点数为奇数) 程序代码(参见附录) 在MATLAB窗口中执行: fd32 得下图: 上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像 3、由上所有的图可看出,由于原函数是偶函数,等距节点所得插值函数有很强对称性,下任取节点, 编写程序,得图 上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像 4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和,程序模板为 得下图: 红星由fd32得奇数节点误差平方和,绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和,圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录 四、结果分析 1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数,在节点处与原函数的函数值一定相同 2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方,与原函数的误差比较大 3、由误差平方和e,插值节点个数越多,e有减小的趋势,最后趋于0。 单考虑奇数或偶数个节点,则随节点数增加e严格减小。 4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。 五、结论 插值节点个数越多,分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,插值效果越好。 六、参考文献 《数值分析与实验》薛毅编著北京工业大学出版社 附录 代码如下: %线性插值原函数 functiony=fd1(x) y=1./(1+x.^2); %分段线性插值函数 functionyi=fd2(x,y,xi) n=length(x); m=length(y); ifn~=m error('X和Y向量的长度必须相同'); return; end fork=1: n-1 ifabs(x(k)-x(k+1)) error('数据有误'); return; end ifx(k)<=xi&xi<=x(k+1)%保证x(k) temp=x(k)-x(k+1); yi=(xi-x(k+1))/temp*y(k)+(xi-x(k))/(-temp)*y(k+1) return; end end %比较插值效果 a=-5; b=5; n=input('请输入分端节点数: '); ifn<=0 error('你输入的数据有误! ! ! '); break; end h=(b-a)/(n-1);%求节点 x=a: h: b; y=fd1(x); xx=a: : b;%用分段线性插值函数求非节点函数值 yyi=fd1(xx); m1=length(xx); z=zeros(1,m1); fork1=1: m1 z(k1)=fd2(x,y,xx(k1)); end w=z-yyi;%计算误差 subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k: ');%插值图像 xlabel('x'); ylabel('y'); title('原函数(实线)-插值函数(虚线)'); holdon subplot(2,1,2);plot(xx,w,'k: ');%误差的图像 xlabel('x'); ylabel('R(x)'); title('误差分析'); holdon xx=xx'; yyi=yyi'; z=z'; w=w'; %分段线性插值函数 functionv=fd22(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u)); forj=2: n-1 k(x(j)<=u)=j; end s=u-x(k); v=y(k)+s.*delta(k); %同时画不同节点的插值函数图像和误差图像 clear close t=[-5: : 5]; a=['k''g''r''c''m']; fori=1: 5 n=2*i+1; x=linspace(-5,5,n);%把区间[-55]分为(n-1)份,算插值节点 y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p';%计算以(x,y)为插值点的插值函数在t处的各个值 y1=fd1(t);y1=y1'; e=p-y1;%计算误差 subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon;%画出插值函数图像及误差图像 subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon; end subplot(2,1,1); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,2); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,1); fplot(@fd1,[-55],'k');%画出原函数图像 holdoff %插值节点非等分区间获得 close t=[-5: : 5]; a=['k''g''r''c''m']; fori=1: 5 n=2*i+1; x=[-5rand(1,n-2)*10-55];%得(-5,5)上的n维随机向量 x=sort(x); y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p'; y1=fd1(t);y1=y1'; e=p-y1; subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon; subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon; end subplot(2,1,1); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,2); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,1); fplot(@fd1,[-55],'k'); holdoff %比较不同节点数误差平方和 clear t=[-5: : 5];a=[];b=[]; fori=1: 10 n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点 x=linspace(-5,5,n) y=fd1(x); p=fd22(x,y,t); y1=fd1(t); e=p-y1; e=e*e'; a=[ae]; b=[bn]; end plot(b,a,'go') xlabel('n节点数') ylabel('e误差平方和') holdon n=2的数据: X Y YI(原函数) W 0 0 0 0 0 0 n 2 3 4 5 6 7 误差平方和 n 8 9 10 11 12 13 14 误差平方和 n 15 16 17 18 19 20 21 误差平方和
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