七年级下册数培优资料第五章相交线与平行线教师版.docx
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七年级下册数培优资料第五章相交线与平行线教师版
七年级下册数学培优资料——
第五章相交线与平行线
例1.如图
(1),直线a与b平行,∠1=(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
解:
∵ a∥b,
∴ ∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)
∵ ∠1+∠3=∠2+∠4=180°(平角的定义)
∴ ∠1=∠2(等式性质)
则 3x+70=5x+22 解得x=24
即∠1=142°
∴ ∠3=180°-∠1=38°图
(1)
评注:
建立角度之间的关系,即建立方程(组),是几何计算常用的方法。
例2.已知:
如图
(2),AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,
∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数。
解:
∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D(两直线平行,内错角相等)
∵∠B+∠BED+∠D=192°(已知)
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2(∠B+∠D)=192°(等量代换)
则∠B+∠D=96°(等式性质)
∵∠B-∠D=24°(已知)图
(2)
∴∠B=60°(等式性质)
即∠BEF=60°(等量代换)
∵EG平分∠BEF(已知)
∴∠GEF=
∠BEF=30°(角平分线定义)
例3.如图(3),已知AB∥CD,且∠B=40°,∠D=70°,求∠DEB的度数。
解:
过E作EF∥AB
∵ AB∥CD(已知)
∴ EF∥CD(平行公理)
∴ ∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°(两直线平行,内错角相等)
∵ ∠DEB=∠DEF-∠BEF
∴ ∠DEB=∠D-∠B=30°
评注:
证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”,则应添出辅助线。
图(3)
例4.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点,有多少个不同交点?
解:
2条直线产生1个交点,
第3条直线与前面2条均相交,增加2个交点,这时平面上3条直线共有1+2=3个交点;
第4条直线与前面3条均相交,增加3个交点,这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点;
…
则 n条直线共有交点个数:
1+2+3+…+(n-1)=
n(n-1)
评注:
此题是平面上n条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律。
例5.6个不同的点,其中只有3点在同一条直线上,2点确定一条直线,问能确定多少条直线?
解:
6条不同的直线最多确定:
5+4+3+2+1=15条直线,除去共线的3点中重合多算的2条直线,即能确定的直线为15-2=13条。
另法:
3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线,这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线,加上3点所在的直线共有:
3+9+1=13条
评注:
一般地,平面上n个点最多可确定直线的条数为:
1+2+3+…+(n-1)=
n(n-1)
例6.10条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?
解:
2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域;
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3段,每一段将它所在的区域一分为二,则区域增加3个,即最多分成2+2+3=7个不同区域;
同理:
4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域;
…
∴10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
推广:
n条直线两两相交,最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+
n(n+1)=
(n2+n+2)块不同的区域
思考:
平面内n个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?
直线的条数
3
4
5
...
n
对顶角的对数
6
12
20
...
n(n-1)
邻补角的对数
12
24
40
...
2n(n-1)
例7.两条直线相交于一点,所形成的的角中有2对对顶角,4对邻补角,那么,三条直线相交于一点时,有多少对对顶角,多少对邻补角?
四条直线相交于一点时,有多少对对顶角,多少对邻补角?
n条直线相交于一点时,有多少对对顶角,多少对邻补角?
二、巩固练习
1.平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线( )条
A.6 B.7 C.8 D.9
2.平面上三条直线相互间的交点个数是 ( )
A.3 B.1或3 C.1或2或3 D.不一定是1,2,3
3.平面上6条直线两两相交,其中仅有3条直线过一点,则截得不重叠线段共有( )
A.36条 B.33条 C.24条 D.21条
4.已知平面中有
个点
三个点在一条直线上,
四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这
个点作一条直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时
等于()
(A)9(B)10(C)11(D)12
5.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角( )
A.4对 B.8对 C.12对 D.16对
6.如图,已知FD∥BE,则∠1+∠2-∠3=()
A.90° B.135° C.150° D.180°
第7题
7.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,则∠E与∠F的大小关系;
8.平面上有5个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5点之外这些直线最多还
有交点
9.平面上3条直线最多可分平面为个部分。
10.如图,已知AB∥CD∥EF,PS⊥GH于P,∠FRG=110°,则∠PSQ=。
11.已知A、B是直线L外的两点,则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。
12.平面内有4条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个。
13.已知:
如图,DE∥CB,求证:
∠AED=∠A+∠B
14.已知:
如图,AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
第13题第14题
15.如图,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,
∠EDC+∠ECD=90°,
求证:
DA⊥AB
16.一直线上5点与直线外3点,每两点确定一条直线,最多确定多少条不同直线?
答案
1.5个点中任取2点,可以作4+3+2+1=10条直线,在一直线上的3个点中任取2点,可作2+1=3条,共可作10-3+1=8(条)故选C
2.平面上3条直线可能平行或重合。
故选D
3.对于3条共点的直线,每条直线上有4个交点,截得3条不重叠的线段,3条直线共有9条不重叠的线段
对于3条不共点的直线,每条直线上有5个交点,截得4条不重叠的线段,3条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21条不重叠的线段。
故选D
4.由
个点中每次选取两个点连直线,可以画出
条直线,若
三点不在一条直线上,可以画出3条直线,若
四点不在一条直线上,可以画出6条直线,
∴
整理得
∵n+9>0∴
∴选B。
5.直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD,各得2对同旁内角,共4对;直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH,各得6对同旁内角,共12对。
因此图中共有同旁内角4+6=16对
6.∵FD∥BE
∴∠2=∠AGF
∵∠AGC=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180°∴选B7.解:
∵AB∥CD (已知)
∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2(等式性质)
即∠EAD=∠FDA
∴AE∥FD
∴∠E=∠F
8.解:
每两点可确定一条直线,这5点最多可组成10条直线,又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个)
又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线,这四条直线共有3+2+1=6个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉5×6=30个交点,所以有交点的个数应为45-30=15个
9.可分7个部分10.解∵AB∥CD∥EF
∴∠APQ=∠DQG=∠FRG=110°
同理∠PSQ=∠APS
∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ
=110°-90°=20°
11.0个、1个或无数个
1)若线段AB的垂直平分线就是L,则公共点的个数应是无数个;
2)若AB⊥L,但L不是AB的垂直平分线,则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为0个;
3)若AB与L不垂直,那么AB的垂直平分线与直线L一定相交,所以此时公共点的个数为1个
12.4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点
13.证明:
过E作EF∥BA
∴∠2=∠A(两直线平行,内错角相等)DE∥CB,
EF∥BA
∴∠1=∠B(两个角的两边分别平行,这两个角相等)
∴∠1+∠2=∠B+∠A(等式性质)
即∠AED=∠A+∠B
14.证明:
分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ,
则AB∥EH∥PF∥GQ(平行公理)
∵ AB∥EH
∴ ∠ABE=∠BEH(两直线平行,内错角相等)
同理:
∠HEF=∠EFP
∠PFG=∠FGQ
∠QGD=∠GDC
∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+
∠FGQ+∠QGD(等式性质)
即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD
15.证明:
∵DE平分∠CDA CE平分∠BCD∴∠EDC=∠ADE∠ECD=∠BCE (角平分线定义)
∴∠CDA+∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE
=2(∠EDC+∠ECD)=180°
∴ DA∥CB
又∵ CB⊥AB
∴ DA⊥AB
18.∵直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线;直线外3点间最多能确定3
条直线,
∴最多能确定15+3+1=19条直线
如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?
请说明理由.
(2)若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?
问题1:
如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?
问题2:
如图1-25所示.若∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1,问AA1与BAn是否平行?
这两个问题请同学加以思考.
例3:
如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.
分析:
利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.
解:
过F到FG∥CB,交AB于G,则∠C=∠AFG(同位角相等),
∠2=∠BFG(内错角相等). 因为AE∥BD,所以,∠1=∠BFA(内错角相等),
所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°.
说明:
(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.
(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:
∠1=∠DFC=∠C+∠2,即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.
例4:
求证:
三角形内角之和等于180°.
分析:
平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.
证:
如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).显然∠1+∠BAC+∠2=平角,所以∠A+∠B+∠C=180°.
说明:
事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.
例5:
求证:
四边形内角和等于360°.
分析:
应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.
证:
如图1-28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).
∠C=∠4(同位角相等), 又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).由于
∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
说明:
(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.
(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:
三角形内角和=180°=(3-2)×180°,
四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.
人们不禁会猜想:
五边形内角和=(5-2)×180°=540°,
…………………………
n边形内角和=(n-2)×180°.
这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.
(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.
3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:
EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?
4.证明:
五边形内角和等于540°.
5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:
EF平分∠DEB.
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