数学人教版八年级下册1823正方形的性质.docx
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数学人教版八年级下册1823正方形的性质
18.2.3正方形的性质
【教学目的】
1.知识与技能:
⑴掌握正方形的概念、性质并会用它们进行有关的论证和计算。
⑵理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系。
2.过程与方法:
经历正方形性质的探索过程,增强学生变化、归纳的能力。
3.情感态度:
⑴通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力。
⑵在运用知识解决问题的过程中培养学生独立思考的习惯,积极参与讨论,敢于发表意见,交流中受益。
【重点、难点】
教学重点:
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
教学难点:
正方形与矩形、菱形关系的理解。
【教学过程】
一、温故而知新(课件展示)
定义
边
角
对角线
平行四边形
矩形
菱形
1.填空:
学生回答,填空。
同学们,今天我要带领大家去见一位老朋友:
正方形(课件出示)
请同学们根据你对正方形的了解,填空:
(1)正方形是四边形;
(2)四条边长都相等;
(3)四个角都是直角。
师:
由
(1)和
(2)我们可以知道正方形是(菱形);
由
(1)和(3)我们可以知道正方形是(矩形)。
所以正方形既是矩形又是菱形,那么正方形有哪些性质呢?
(板书课题)
二、新知探究、合作交流:
探究一:
正方形的概念
1、学生观看课件演示,思考正方形和矩形、菱形的关系。
学生总结汇报,教师点评:
正方形是有一组邻边相等的矩形;
正方形是有一个角是直角的菱形。
2、思考:
怎样给正方形下定义?
学生交流回答,教师投影展示
正方形定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形。
探究二:
正方形的性质
1、思考、讨论:
平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系?
学生思考,讨论,汇报成果,教师点评:
2、总结正方形的性质:
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。
所以正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质
学生思考讨论总结出正方形的性质:
边对边平行;
四边相等。
角:
四个角都是直角。
对角线互相平分;
对角线对角线相等;
对角线互相垂直;
每条对角线平分一组对角
对称性:
正方形是轴对称图形。
三、例题解析:
例1.求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
这是一道几何命题的证明,该怎么做?
你会做吗?
第一步:
明确题目中的已知和求证;
第二步:
根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;
第三步:
经过分析,找出由已知推出要证的结论和途径,写出证明过程。
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O,
求证:
△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
例3.已知:
如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,
求证:
∠MFD=45°
分析:
欲证∠MFD=45°,由于△MDF是直角三角形,
只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____
要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等?
(△CMD≌△ADF)
四、随堂练习
1、1.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的图形可能是()
A.平行四边形、矩形、菱形B.菱形、矩形、正方形
C.矩形、正方形D.菱形、正方形
2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为,对角线长为,面积为.
3.正方形的对角线和它的边所成的角是度.
4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长为,面积为。
5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF=
6.正方形ABCD的面积是9cm2。
则AB=________AC=_________
7.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,
交CD于F,求∠BEC的度数.
五、课堂小结
这节课你学到了什么?
还有哪些疑惑?
(我知道了……我理解了……我学会了……)
本节课我们学习了正方形的性质,正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系……
六、布置作业
1、总结正方形的判定方法。
2、完成下表:
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:
①对角线相等的菱形是正方形吗?
为什么?
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
为什么?
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?
为什么?
如果不是,应该加上什么条件?
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?
为什么?
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
四、课堂引入
1.做一做:
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:
什么样的四边形是正方形?
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
2.【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
五、例习题分析
例1(教材P111的例4)求证:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:
四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2(补充)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
分析:
要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例3(补充)已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
分析:
由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:
∵ PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°.
∵ PQ∥NM,
∴ 四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴ ∠1+∠2=90°.
又 ∠3+∠2=90°,∴ ∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
六、随堂练习
1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线________.
2.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;()
②对角线互相垂直的矩形是正方形;()
③对角线垂直且相等的四边形是正方形;()
④四条边都相等的四边形是正方形;()
⑤四个角相等的四边形是正方形.()
1.已知:
如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别
为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.
求证:
∠AFE=∠AEF.
4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,
求∠EAD与∠ECD的度数.
七、课后练习
1.已知:
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
求证:
EA⊥AF.
2.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形CFDE是正方形.
3.已知:
如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:
AE=BE+DF.
【教学反思】
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- 关 键 词:
- 学人 教版八 年级 下册 1823 正方形 性质