数值分析学期期末考试试题与答案A.docx
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数值分析学期期末考试试题与答案A
期末考试试卷(A卷)
2007学年第二学期考试科目:
数值分析考试时间:
120分钟
学号
姓名
年级专业
题号
一
二
三
四
总分
2
3
4
5
1
6
得分
评阅人
一、判断题(每小题
2分,共10分)
1.
用计算机求1000
1时,应按照n从小到大的顺序相加。
(
)
1000
n1
n
2.
为了减少误差,应将表达式2001
1999改写为
2
进行计算。
(
)
2001
1999
3.
用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
(
)
4.
采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,
公式阶数越高,数值解越精确。
(
)
5.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有
关,与常数项无关。
(
)
二、填空题(每空
2分,共36
分)
1.
已知数a的有效数为
0.01,则它的绝对误差限为
________,相对误差限为_________.
1
0
1
0
2.
设A0
2
1
x
5,则A1_____,x
2______,Ax
_____.
1
3
0
1
3.
已知f(x)
2x5
4x3
5x,则f[
1,1,0]
f[
3,2,
1,1,2,3]
.
4.
为使求积公式
1
f(x)dx
A1f(
3)A2f(0)A3f(
3)的代数精度尽量高,应使
1
3
3
A1
,A2
,A3
,此时公式具有
次的代数精度。
5.
n阶方阵A的谱半径
(A)与它的任意一种范数
A的关系是
.
6.
用迭代法解线性方程组
AX
B时,使迭代公式
X(k1)
MX(k)
N(k
0,1,2,
)产
生的向量序列
X(k)
收敛的充分必要条件是
.
7.
使用消元法解线性方程组
AXB时,系数矩阵
A可以分解为下三角矩阵
L和上三角矩
1/13
阵U的乘积,即A
LU.若采用高斯消元法解
AX
B,其中A
4
2
2
,则
1
L_______________
,U
______________
;若使用克劳特消元法解
AX
B,则
u11
____;若使用平方根方法解AX
B,则l11与u11
的大小关系为_____(选填:
>,
<,=,不一定)。
8.
以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题
y
x
y
y(0)
的数值解,其迭代公式为
1
___________________________.
三、计算题(第1~3、6小题每题
8分,第4、5小题每题
7分,共46
分)
1.
以x0
2为初值用牛顿迭代法求方程
f(x)x3
3x
1
0在区间(1,2)
内的根,要求
(1)
证明用牛顿法解此方程是收敛的;
(2)
给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算
x1,x2,
计算结果
取到小数点后
4位)。
2/13
2.给定线性方程组
x10.4x2
0.4x3
1
0.4x1
x2
0.8x3
2
0.4x1
0.8x2x3
3
(1)分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;
(2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3.已知函数yf(x)在如下节点处的函数值
x
-1
0
1
2
y
1
4
3
0
(1)
建立以上数据的差分表;
(2)
根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式
P2(x),并计算
y(1.1)的近似值;
(3)
采用事后估计法计算(
2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)
。
3/13
4.已知如下数据表,试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
x
-1
0
1
2
y
1
2
5
0
4/13
5.已知函数y
f(x)在以下节点处的函数值,利用差商表求
f(3)和f
(3)的近似值。
x
1
3
4
y
2
1
8
6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
yx2y2
(0x1,h0.2)
y(0)0
5/13
四、(8分)已知n+1个数据点(xi,yi)(i0,1,2,
n),请用多种方法建立这些数据点之间
的函数关系,并说明各种函数的适用条件。
6/13
期末考试答案及评分标准(A卷)
2007学年第二学期考试科目:
数值分析
一、判断题:
(每小题
2分,共
10分)
1.
×
2.
√
3.×
4.
×
5.
×
二、填空题:
(每空2
分,共36
分)
1.
0.005
10
2
0.5
或0.5
,
2.
5,
26,15
3.
0,2
4.
1,0,1,3
5.
(A)
A
6.
(M)
1
1
0
4
2
1
1,
7.
1
0
2
2
8.
y
yn
(
xn
y)
(1
xn
y)y
1.5xn2.5yn
0.5,n0,1,2,
n
1
n
1
n或
n1
2
三、解答题(第
1~4小题每题
8分,第5、6小题每题
7分,共
46分)
1.
(1)证明:
f(x)x33x1,由于
a)
f
(1)
3
0,f
(2)
1
0,
b)
f(x)
3x2
30
(x(1,2)),
c)
f(x)
6x
0
(x
(1,2)),即f
(x)在(1,2)上不变号,
d)对于初值x02,满足f
(2)f
(2)0,
所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解:
牛顿迭代法的迭代公式为
7/13
xn1
xn
f(xn)
xn
xn3
3xn1
f(xn)
3xn2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
取初值x02进行迭代,得
x11.8889,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
x21.8795.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
2.解:
(1)Jacobi迭代公式为
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x3(k)
1
x2(k1)
0.4x1(k)
0.8x3(k)
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
x3(k1)
0.4x1(k)
0.8x2(k)
3
Gauss-Seidel迭代公式为
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x3(k)
1
x2(k1)
0.4x1(k1)
0.8x3(k)
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
x3(k1)
0.4x1(k1)
0.8x2(k1)
3
0.4
0.4
(2
)Jacobi
迭代矩阵的特征方程为
0
.4
0.8
0
,展开得
0
.4
0.8
3
0.96
0.256
0,即(
0.8)(
0.40.505)(
0.4
0.505)
0,
从而得1
-1.0928,
20.8000,
3
0.2928,(或由单调性易判断必有一个大于
1
的特征根,)因此迭代矩阵的谱半径等于必大于
1,所以Jacobi迭代法发散。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
0.4
0.4
Gauss-Seidel
迭代矩阵的特征方程为
0.4
0.8
0
,展开得
0.4
0.8
(2
0.832
0.128)0,解得
1
0,2
0.628,30.204,迭代矩阵的谱半径
小于1,所以Gauss-Seidel迭代法收敛。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
3.解:
(1)建立差分表
8/13
x
y
y
2y
3y
1
1
3
0
4
4
1
2
1
3
2
3
2
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
(2)建立牛顿后插公式为
P2(x)0
3
(x2)
2
(x2)(x1)
1!
2!
3(x2)(x2)(x1)
x2
4
则所求近似值为
P2(1.1)
2.79
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为
P2
(1)(x)3
1(x1)
4(x1)x
1!
2!
3
(x
1)
2x(x1)
2x2
x
4
则
P2
(1)(1.1)2.68
根据事后误差估计法
R2(x)
x
2P2(0.9)P2
(1)(0.9)
x
1
故截断误差
R2(1.1)
0.9
(2.792.68)0.0471
2.1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
4.解:
设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)a0a1xa2x2.根据已知数据,得
1
1
1
a0
1
1
0
0
2
A
a1
M
1
1
Y
1
a2
5
1
2
4
0
9/13
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
则
4
2
6
8
MM2
6
8
MY
4
6
8
18
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
建立法方程组为
4
2
6
a0
8
2
6
8
a1
4
6
8
18
a2
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
解得
a03.5,a11.5,a21.5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)3.51.5x1.5x2.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
5.解:
设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表:
x
y
一阶差商
二阶差商
1
2
2
5
4
8
7
2
3
1
P2[3,3]
P2[4,3,3]
3
P2(3)
P2[3,3]
P2[3,3,3]
3
P2(3)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
因为二次多项式的二阶差商为常数,又
P2(x)是f(x)的插值函数,故有
P2
[4,3,3]
P2
5
[3,3,3]
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
而
P2[4,3,3]
P2[3,3]7
5,
3
4
2
因此得
10/13
9
P2[3,3],
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
由于
f(k)(x)k!
Pn[x,x,x,,x],
k1
从而得
f(3)P2[3,3]
9,
2
f(3)2!
P2[3,3,3]5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
6.解:
前进欧拉公式:
yn1
yn
h
f(xn,yn)yn
0.2xn2
0.2yn2
⋯⋯⋯⋯1分
后退欧拉公式:
yn1
yn
h
f(xn1,yn
1)
yn
0.2xn2
1
0.2yn2
1⋯⋯1分
预估时采用欧拉公式
yn*
1
yn
0.2xn2
0.2yn2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
校正时采用后退欧拉公式
yn1
yn
0.2xn21
0.2yn*
2
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
由初值
知,节点分别为
xi
0.2i,(i1,2,3,4,5)
0,h0.2
x00,y0
当x10.2,
y1*
y0
0.2x02
0.2y02
0,
y1
y0
0.2x120.2
y1*
2
0.008,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
当x20.4,
y*2y10.2x120.2y120.0160,
11/13
y2y10.2x22
0.2y2*
2
0.0401.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x30.6,
y3*
y2
0.2x22
0.2y22
0.0724,
0.2x32
0.2y3*
2
y3
y2
0.1131.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x40.8,
y4*
y3
0.2x32
0.2y32
0.1877,
0.2x42
0.2y4*
2
y4
y3
0.2481.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x51.0,
y5*
y4
0.2x42
0.2y42
0.3884,
y5
y4
2
*
2
0.2x5
0.2y5
0.4783.
四、(8分)
答:
1、可以建立插值函数:
(1)Newton基本差商公式
Pn(x)f(x0)(xx0)f[x1,x0](xx0)(xx1)f[x2,x1,x0](xx0)(xx1)(xxn1)f[xn,,x1,x0]
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
(2)Lagrange插值多项式
Ln(x)a0f(x0)a1f(x1)
aif(xi)
anf(xn)
其中ai
(xx0)(xxi
1)(xxi1)(xxn)
0,1,,n).
(xix0)(xi
xi
(i
1)(xixi1)(xixn)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
这两类插值函数的适用条件是:
n不太大;而且要求函数严格通过已知数据点。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
2、可以建立拟合函数:
12/13
Pm(x)a0a1xa2x2amxm
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
其中系数a0,a1,a2,
an满足法方程组MMA
MY,
1
x0
x02
x0m
a0
f(x0)
y0
1
x1
x12
x1m
a1
f(x1)
y1
M
A
Y
1
xn
xn2
xnm
am
f(xn)
yn
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
拟合函数的适用条件是:
n比较大,而且并不要求函数严格通过已知数据点,或者已知数据点本身的误差较大。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
13/13
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