解三角形中相关的取值范围问题.docx
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解三角形中相关的取值范围问题
解决与三角形相关的取值范围问题
例1:
在锐角|ABC中,A=2B,则c的取值范围是
b
例2:
若LABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,
则sinBcosB的取值范围是
例3:
在LABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosEBccosA
成等差数列。
(1)求B的大小。
(2)若b=5,求LABC周长的取值范围。
例4:
在LABC中,a2b2=,ab,若LABC的外接圆半径为竽,则
Labc的面积的最大值为
例5:
(2008,江苏)满足AB=2,AC=J2BC的LABC的面积的最大值是
例6:
已知角A,B,C是LABC三个内角,a,b,c是各角的对边,向量
A-B5A-B9
m=(1-cos(AB),cos,)n=(,cos),且mn=
2828
(1)求tanAtanB的值。
(2)求严s?
C2的最大值
a+b-c
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在LABC中,a=2,c=1,贝,C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边
长的比值为m,则m的取值范围是
3.在RtLABC中,C/,且代B,C所对的边a,b,c满足axc,则实
数x的取值范围为
4.在锐角ABC中,A=2B,AC=1,则BC的取值范围是
5.在锐角ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,记M二cosAcosC,
则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc二a2-(b-c)2且
sinBsinC=士,贝卩sinA二,Sabc的最大值为
3
8.在LABC中,T=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),且常n=sinB+sinC
(1)求证:
LABC为直角三角形
(2)若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.2sinA-、3cosA
(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值
(2)若a—3,求LABC面积的最大值
解决与三角形相关的取值范围问题
例1在锐角LABC中,A=2B,则c的取值范围是
b
解析:
由0:
:
:
A"B且0:
:
:
C…-A-B—
22
csinCsin3Bsin2BcosBcos2BsinB2__
得6&盲,所以二皿0sB",
点评:
①本题易错在求B的范围上,容易忽视“LABC是锐角三角形”
这个条件。
②本题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化,化多
元为一元,体现了解题的通性通法。
则sinBcosB的取值范围是
恵sB叶e旷即sin,B松osB的取值范围是(1,J2]。
点评:
本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起
来,有利于提高学生解题的综合能力。
例3:
在LABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB90SA成等差数列。
(1)求B的大小。
(2)若b=5,求LABC周长的取值范围。
解析:
(1)由题意知acosC•ccosA=2bcosB,
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
所以sin(AC)=2sinBcosB,于是cosB=1,B=—
23
(2)由正弦定理」bc10,所以
sinAsinBsinCJ3
又由二得二二A「:
.2,所以
2663
ji
abc=510sin(A)(10,15]。
6
点评:
对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公
式以及恒等变换式等实施变形,达到化简、求值域的目的。
例4:
在LABC中,a2b2=c22ab,若LABC的外接圆半径为◎,则
32
LABC的面积的最大值为
222解析:
又a2•b2=c22ab及余弦定理得cosC=ab一°=丄,所以
32ab3
sinC二包
又由于c=2RsinC=4,所以c2二a2b2-2abcosC即162ab=a2b2_2ab3
所以ab-12,又由于S=1absinC2ab_4\2,故当且仅当a=b=2、、3
23
时,LABC的面积取最大值4、2
点评:
先利用余弦定理求cosA的大小,再利用面积公式结合基本不等式,求面积的最大值,要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
例5:
(2008,江苏)满足ab=2,ac“2bc的LABC的面积的最大值是解析:
设BC=x,则ACfN,
1_根据面积公式得Sabc=ABBCsinB=x-1-cos2B①
2
由余弦定理得cosB-AB2Bc2-Ac2=4八(怎)2=土
2ABBC4x4x
代入①式得Sabc=x.1-(44x2)2「128「(X;12)2
4x116
由三角形三边关系有2xx.2且x•2「,2x,所以2、、2-2*222,
故当^2.3时,Sabc取得最大值2迈。
点评:
本题结合函数的知识,以学生熟悉的三角形为载体,考察了面积公式、余弦定理等知识,是一道考察解三角形的好题。
例6:
已知角A,B,C是LABC三个内角,a,b,c是各角的对边,向量m二(1一cos(AB),co*B,
2
(1)求tanAtanB的值。
(2)求严的最大值。
a+b-c
解析:
由m=(1-cos(AB),cos△B),n=(5,cos—B),且mn=?
得
2828
5[1-cos(AB)]cos2—旦=9,所以4cos(A-B)二5cos(AB),
828
1
即cosAcosB=9sinAsinB,所以tanAtanB=—
9
(2)由余弦定理得2艮呼2二absinC」tanC,而
a+b-c2abcosC2
tanAtanB99ko3
tan(AB)(tanAtanB)2、tanAtanB=-
1-tanAtanB884
即tan(A-B)有最小值—,又tanC二-tan(A-B),
4
所以tanC有最大值一彳(当且仅当tanA=tanB」时取等号)
4—
所以2absinc2的最大值为-—
a2+b2-c28
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合
正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1在LABC中,a=2,c=1,贝,C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边
长的比值为m,则m的取值范围是
3.在RtLABC中,C,且代B,C所对的边a,b,c满足a^xc,贝卩实
2
数x的取值范围为
4.在锐角ABC中,A=2B,AC=1,则BC的取值范围是
5.在锐角LABC中,三个内角A,B,C成等差数列,记M二cosAcosC,则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc=a2-(b-C)2且
sinBsinC=4,贝SsinA二,SABC的最大值为
3
8.在LABC中,m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),且mn=sinB+sinC
(1)求证:
Labc为直角三角形
(2)若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知、2sinA-、3cosA
(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值
(2)若af;3,求LABC面积的最大值
参考答案
..1.1兀
1.sinCsinA,,C-(0,—]
226
2.(2,
3.(1八2]
5.易知B=—,AC=—,贝卩M=cosAcosC=cosAcos(—A)
333
1
2
cosA1
1
ji
1
=——
cosA
sinAcosA=-
sin2A
sin(2A——)
2
2
4
4
2
6
4
由
于
0:
A
2n
3,
所
以
JI
6
7
2A-
二7
6
故
6
1Ms
2
31
iA-n
打1
1
24
(
]
13a,1a-3且3a1,故2:
:
:
a:
:
:
4,易知BA,要保证LABC为锐角
222222
三角形'只需cosBgg。
,即占.0且+0'解得
2、2:
a:
、10
7.由Sabc二a2-(b-c)2,得a2=b2c2bc(sinA-2)
2
由余弦定理得a2=b2c2-2bccosA,故有2一sinA=2cosA,易得A为
2
・2A
锐角,且FA=7,即7
A0
A=,故有sinA8,
17
则b-2R(sinBsinC^12t^16
(当且仅当b=c=8时取等
SabcJbcsinA岂泄(心)2'64=空
2221717
号)
即Sabc的最大值为
256
17
4片
m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),
得sinAcosBsinAcosC=sinBsinC,由正弦定理得acosB-acosC=b•c,
222222
由余弦定理得aac-aabcbc
2ac2ab
整理得(b•c)(a2-b2-c2)=0
又由于bc0,故a2二b2c2,即LABC是直角三角形
(或者:
由sinAcosBsinAcosC=sinBsinC得,
sinAcosBsinAcosC=sin(AC)sin(AB)
化简得cosA(sinBsinC)=0,由于sinB•sinC0,故cosA二0,即LABC是直角三角形)
(2)设LABC内角代B,C所对的边分别为a,b,c
由于LABC外接圆的半径为1,A=,所以a=2RsinA=2,
2
所以bc=2R(sinBcosb)=2(sinBcosb)=2,2sin(B—)
4
又0:
:
:
B,故一:
:
:
B;—,因而2、-2sin(B—)・(2,2、、2]
24444
故4:
:
abc乞22、、2
即LABC的周长的取值范围为(4,2-2.2]
9.
(1)由2sinA=.3cosA两边平方得2sin2A=3cosA
1
即(2cosA-1)(cosA2)=0,解得cosAL
2
2.22
由a2-c2=b2-mbc得c~~
2bc2
即cosA=l,所以m=1
22
由
(1)知cosA』,则sinA3,
2'2
c-a
2bc2
丄,所以be=b2
c2
-a2_2bc-a2,即be_a2,
故Sabc=1besinA_1a2
v22
3「3
二个人工作业务总结
本人于2009年7月进入新疆中正鑫磊地矿技术服务有限公司(前身为“西安中正矿业信息咨询有限公司”),主要从事测量技术工作,至今已有三年。
在这宝贵的三年时间里,我边工作、边学习测绘相专业书籍,遇到不懂得问题积极的请教工程师们,在他们耐心的教授和指导下,我的专业知识水平得到了很到的提高,并在实地测量工
作中加以运用、总结,不断的提高自己的专业技术水平。
同时积极的参与技术培训学习,加速自身知识的不断更新和自身素质的提高。
努力使自己成为一名合格的测绘技术人员。
在这三年中,在公司各领导及同事的帮助带领下,按照岗位职责要求和行为规范,努力做好本职工作,认真完成了领导所交给的各项工作,在思想觉悟及工作能力方面有了很大的提高。
在思想上积极向上,能够认真贯彻党的基本方针政策,积极学习政治理论,坚持四项基本原则,遵纪守法,爱岗敬业,具有强烈的责任感和事业心。
积极主动学习专业知识,工作态度端
正,认真负责,具有良好的思想政治素质、思想品质和职业道德。
在工作态度方面,勤奋敬业,热爱本职工作,能够正确认真的对待每一项卍工作,能够主动寻找自己的不足并及时学习补充,始终保持严谨认真的工作态度和一丝不苟的工作作风。
在公司领导的关怀以及同事们的支持和帮助下,我迅速的完成了职业角色的转变。
一、回顾这四年来的职业生涯,我主要做了以下工作:
1、参与了新疆库车县新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿的野外测绘和放线工作、点之记的编写工作、1:
2000地形地质图修测、1:
1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作,提交成果《新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿普查报告》已通过评审。
2、参与了库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估项目的室内地质资料编写工作,提交成果为《库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估报告》,现已通过评审。
3、参与了《新疆库车县巴西克其克盐矿普查》项目的野外地质勘查工作,参与项目包括:
1:
2000地质测图、1:
1000勘查线剖面测量、测绘内业资料的编写工作;最终提交的《新疆库车县康村盐矿普查报告》已通过评审。
4、参与了新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量监测工作,项目包括:
野外地质测量与室内地质资料的编写,提交成果为《新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量年报》,
现已通过评审。
6、参与了《新疆博乐市五台石灰岩矿9号矿区勘探》项目的野外地质勘查工作,项目包括:
1:
2000地质测图、1:
1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作,并绘制相应图件。
7、参与了《新疆博乐市托特克斜花岗岩矿详查报告》项目的野外地质勘查工作,项目包括:
1:
2000地质测图、1:
1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作,并绘制相应图件。
通过以上的这些工作,我学习并具备了以下工作能力:
1、通过实习,对测绘这门学科的研究内容及实际意义有了系统的认识。
加深对测量学基本理论的理解,能够用有关理论指导作业实践,做到理论与实践相统一,提高分析问题、解决问
题的能力,从而对测量学的基本内容得到一次实际应用,使所学知识进一步巩固、深化。
2、熟悉了三、四等控制测量的作业程序及施测方法,并掌握了全站仪、静态GPS、RTK等测量仪器的工作原理和操作方法。
3、掌握了GPS控制测量内业解算软件(南方测绘Gps数据处理)以及内业成图软件(南方cass)的操作应用。
能够将外业测量的数据导入软件进行地形图成图和处理。
4、在项目技术负责的指导下熟悉了测量技术总结的编写要求和方法,并参与了部分项目测量技术总结章节的编写工作。
5、在项目负责的领导下参与整个测量项目的组织运作,对项目的实施过程有了深刻理解。
通过在项目组的实习锻炼了自己的组织协调能力,为以后的工作打下了坚实基础。
二、工作中尚存在的问题
从事测绘工作以来,深深感受到工作的繁忙、责任的重大,也因此没能全方位地进行系统地学习实践,主要表现为没有足够的经验,对于地形复杂的地段理解不够深刻;理论知识掌握不够
系统,实践能力尚为有限。
以上问题,在今后工作中自己将努力做到更好。
三、今后的工作打算
通过总结四年来的工作,我无论从工作技术上,还是从世界观、人生观、价值观等各个方面,都有了很大的提高。
今后,我会在此基础上,刻苦钻研,再接再厉,使自己在业务知识水平
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