复合函数练习题附答案.docx
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复合函数练习题附答案
复合函数练习题附答案
21、已知函数f的定义域为[0,1],求函数f的定义域。
析:
由已知,x?
[0,1],故x?
[?
1,1]。
所以所求定义域为[?
1,1]
2、已知函数f的定义域为[?
3,3],求f的定义域析:
由已知x的范围为[?
1,1],那么3?
2x的范围为[1,5],从而f的定义域为[1,5]
3、已知函数y?
f的定义域为,求f的定义域。
由f的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析:
132x?
1?
解得x?
?
22
4、设f?
x?
?
lg2?
x?
x?
?
2?
,则ff?
?
的定义域为?
x?
2?
?
x?
A.?
?
4,00,4?
B.?
?
4,?
11,4?
C.?
?
2,?
11,2?
D.?
?
4,?
22,4?
?
x?
0,即?
0,得?
2?
x?
2.那么由题意应有2?
x
析:
?
-2?
x?
?
4?
x?
4?
?
2,解得?
综上x?
?
选B?
2x?
?
1或x?
12?
?
2x?
5.函数y=log1的单调递减区间是
2
A.B.C.D.
析:
本题考查复合函数的单调性,根据同增异减。
对于对数型复合函数,应先求定义域,即x2?
3x?
2?
0,得定义域为?
.由于外函数是以0?
1?
1为底,故为减函数。
则求y的减区间,只需要求内函数的增2
3区间。
内函数为t?
x2?
3x?
2,其对称轴为x?
在函数y的定义域内,t在上2
为增函数,所以选择B
6.找出下列函数的单调区间.
y?
a?
x2?
3x?
2;
解析:
此题为指数型复合函数,考查同增异减。
令t?
?
x2?
3x?
2,则y?
at,t?
?
x2?
3x?
2。
由于a?
1,则外函数为增函数,由同增异减可知,t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的
333,即t在上位增函数,在上位减函数,从而函
222
33数y的增区间为,减区间为22对称轴为x?
y?
2x2?
2x?
3.
解:
设t?
?
x2?
2x?
3,则y?
2t.因?
x2?
2x?
3?
0,得?
1?
x?
3.由?
x2?
2x?
3对称轴为x?
1.即内函数t的增区间为[?
1,1],减区间为
[1,3]。
则由复合函数的单调性可知函数y的单调增区间为[?
1,1],减区间为[1,3].
7、讨论y?
loga,的单调性。
x
解:
由已知可分a?
1和0?
a?
1两种情况讨论。
令t?
ax?
1,则y?
logat
当a?
1时,ax?
1?
0则得x?
1,此时t在上为增函数,又y?
logat为增函数,由复合函数的同增异减,则y在上为增函数。
当0?
a?
1时,ax?
1?
0则得x?
1,此时t在上为减函数,又y?
logat为减函数,由复合函数的同增异减,则y在上为增函数。
8.求函数y=log1的定义域、值域和单调区间。
3
解:
令t?
x2?
5x?
4,则y?
log1t.则函数y的定义域应满足t?
0,即x2?
5x?
4?
0
3
解得x?
1或x?
4,故函数y的定义域为?
由t?
x2?
5x?
4?
2?
t?
0,则y?
R,即值域为R.
由函数t的对称轴为x?
2.5,则t的减区间为,增区间为由复合函数的单调性可知函数y的增区间为,减区间为
9?
0,又y?
log1t为减函数43
复合函数练习题
21、已知函数f的定义域为[0,1],求函数f的定义域。
析:
由已知,x2?
[0,1],故x?
[?
1,1]。
所以所求定义域为[?
1,1]
2、已知函数f的定义域为[?
3,3],求f的定义域
析:
由已知x的范围为[?
1,1],那么3?
2x的范围为[1,5],从而f的定义域为[1,5]
6.找出下列函数的单调区间.
y?
a?
x2?
3x?
2;
解析:
此题为指数型复合函数,考查同增异减。
令t?
?
x2?
3x?
2,则y?
at,t?
?
x2?
3x?
2。
由于a?
1,则外函数为增函数,由同增异减可知,t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的
333对称轴为x?
即t在上位增函数,在上位减函数,从而函
222
33数y的增区间为,减区间为22
y?
2x2?
2x?
3.
解:
设t?
?
x2?
2x?
3,则y?
2t.因?
x2?
2x?
3?
0,得?
1?
x?
3.由?
x2?
2x?
3对称轴为x?
1.即内函数t的增区间为[?
1,1],减区间为
[1,3]。
则由复合函数的单调性可知函数y的单调增区间为[?
1,1],减区间为[1,3].
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义:
设y=f的定义域为A,u=g的值域为B,若A?
B,则y关于x函数的y=f[g]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
二、复合函数定义域问题:
例题剖析:
、已知f的定义域,求f?
g?
的定义域
思路:
设函数f的定义域为D,即x?
D,所以f的作用范围为D,又f对g作用,作用范围不变,所以g?
D,解得x?
E,E为f?
g?
的定义域。
例1.设函数f的定义域为,则函数f的定义域为_____________。
解析:
函数f的定义域为即u?
,所以f的作用范围为又f对lnx作用,作用范围不变,所以0?
lnx?
1解得x?
,故函数f的定义域为
1
,则函数f?
f?
的定义域为______________。
x?
1
1
解析:
先求f的作用范围,由f?
,知x?
?
1
x?
1
例2.若函数f?
即f的作用范围为?
x?
R|x?
?
1?
,又f对f作用所以f?
R且f?
?
1,即f?
f?
中x应满足?
?
x?
?
1
f?
?
1?
?
x?
?
1
?
即?
1,解得x?
?
1且x?
?
2
?
?
1?
x?
1?
故函数f?
f?
的定义域为x?
R|x?
?
1且x?
?
、已知f?
g?
的定义域,求f的定义域
思路:
设f?
g?
的定义域为D,即x?
D,由此得g?
E,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以x?
E,E为f的定义域。
例3.已知f的定义域为x?
?
1,2,则函数f的定义域为_________。
解析:
f的定义域为?
1,2,即x?
?
1,2,由此得3?
2x?
?
1,所以f的作用范围为?
1,5,又f对x作用,作用范围不变,所以x?
?
1,5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即函数f的定义域为?
1,5
?
?
x2
例4.已知f?
lg2,则函数f的定义域为______________。
x?
8
2
x2x2
解析:
先求f的作用范围,由f?
lg2,知2?
0
x?
8x?
8
2
解得x2?
4?
4,f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以
x?
,即f的定义域为
、已知f?
g?
的定义域,求f?
h?
的定义域
思路:
设f?
g?
的定义域为D,即x?
D,由此得g?
E,f的作用范围为E,又f对h作用,作用范围不变,所以h?
E,解得x?
F,F为f?
h?
的定义域。
x
例5.若函数f的定义域为?
1,1,则f的定义域为____________。
?
?
xx
解析:
f的定义域为?
1,1,即x?
?
1,1,由此得2?
?
,2?
?
2?
?
1
?
?
1?
f的作用范围为?
,2?
?
2?
?
1
?
?
?
又f对log2x作用,所以log2x?
?
,2?
,解得x?
2即f的定义域为
?
,4
?
?
,4
?
评注:
函数定义域是自变量x的取值范围f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
同步练习:
2
1、已知函数f的定义域为[0,1],求函数f的定义域。
答案:
[?
1,1]
2、已知函数f的定义域为[?
3,3],求f的定义域。
答案:
[?
3,9]
3、已知函数y?
f的定义域为,求f的定义域。
13?
答案:
2
4、设f?
x?
?
lg
2?
x?
x?
?
2?
,则ff?
?
的定义域为
2?
x?
2?
?
x?
A.?
?
4,00,4?
B.?
?
4,?
11,4?
C.?
?
2,?
11,2?
D.?
?
4,?
22,4?
?
?
2?
?
2?
x?
解:
选C.由?
0得,f的定义域为?
x|?
2?
x?
2?
。
故?
2?
x?
?
2?
?
?
x
?
2,2
,解得2?
2.x
?
x?
?
2?
x4,?
11,4?
。
故ff?
?
的定义域为?
?
4,?
11,4?
?
2?
?
x?
13x
5、已知函数f的定义域为x?
,求g?
f?
f的定义域。
22a33?
1?
1
?
?
ax?
?
?
x?
2?
2a22a
[解析]由已知,有?
?
?
1x3a3,x?
a.?
?
2?
2a2?
2
13
?
x?
;2
1a33
当?
a,即0?
a?
1时,有,
2a22a2
a3
定义域为{x|?
?
x?
a};
22331a
当?
a,即a?
1时,有,
2a22a2
13
定义域为{x|?
?
x?
.
2a2a
13
故当a?
1时,定义域为{x|?
?
x?
;
2a2aa3
当0?
a?
1时,定义域为{x|?
?
x?
a}.
22
当a?
1时,定义域为{x|?
[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
引理证明
已知函数y?
f).若u?
g在区间,又函数y?
f在区间上是减函数,那么,原复合函数y?
f)在区间在区间?
g,记u1?
g,
u2?
g即u1?
u2,且u1,u2?
因为函数y?
f在区间上是减函数,所以f?
f,即
f)?
f),
故函数y?
f)在区间)的单调性判断步骤:
ⅰ确定函数的定义域;
ⅱ将复合函数分解成两个简单函数:
y?
f与u?
g。
ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性;
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同,则复合后的函数y?
f)为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异,则复合后的函数y?
f)为减函数。
例题演练
例1、求函数y?
log12
2
解:
定义域x?
2x?
3?
0?
x?
3或x?
?
1
单调减区间是设x1,x2?
且x1?
x则
2
y1?
log1y2?
log1
2
2
22
2
?
=
∵x2?
x1?
3∴x2?
x1?
0x2?
x1?
2?
0∴>又底数0?
∴y2?
y1?
0即y2?
y1∴y在2
22
1
?
1
同理可证:
y在[例]2、讨论函数f?
loga的单调性.[解]由3x2?
2x?
1?
0得函数的定义域为
1
{x|x?
1,或x?
?
3
则当a?
1时,若x?
1,∵u?
3x2?
2x?
1为增函数,∴f?
loga为增函数.
若x?
?
1
,∵u?
3x2?
2x?
1为减函数.
1
,则3
∴f?
loga为减函数。
2
)为减函数,若x?
?
当0?
a?
1时,若x?
1,则f?
loga?
log)为增函数.a在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.解:
∵a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2-a>0是减函数
由y=loga在[0,1]上x的减函数,知y=logat是增函数,∴a>1
由x?
[0,1]时,2-a?
2-a>0,得a<2,∴1<a<2
当00x
x
x
x
x
由y=loga在[0,1]上x的减函数,知y=logat是减函数,∴x
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