中考二次函数真题.docx
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中考二次函数真题
2018中考二次函数真题
二次函数
参考答案与试题解析
一.选择题(共22小题)
1.(2018•泰安)一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是( )
A.无实数根B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3
【分析】直接整理原方程,进而解方程得出x的值.
【解答】解:
(x+1)(x﹣3)=2x﹣5
整理得:
x2﹣2x﹣3=2x﹣5,
则x2﹣4x+2=0,
(x﹣2)2=2,
解得:
x1=2+
>3,x2=2﹣
,
故有两个正根,且有一根大于3.
故选:
D.
2.(2018•杭州)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
【分析】假设两位同学的结论正确,用其去验证另外两个同学的结论,只要找出一个正确一个错误,即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b、c的值,然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论).
【解答】解:
假设甲和丙的结论正确,则
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4.
当x=﹣1时,y=x2﹣2x+4=7,
∴乙的结论不正确;
当x=2时,y=x2﹣2x+4=4,
∴丁的结论正确.
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的,
∴假设成立.
故选:
B.
3.(2018•潍坊)已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为( )
A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6
【分析】分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况考虑:
当h<2时,根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程,解之即可得出结论;当2≤h≤5时,由此时函数的最大值为0与题意不符,可得出该情况不存在;当h>5时,根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程,解之即可得出结论.综上即可得出结论.
【解答】解:
当h<2时,有﹣(2﹣h)2=﹣1,
解得:
h1=1,h2=3(舍去);
当2≤h≤5时,y=﹣(x﹣h)2的最大值为0,不符合题意;
当h>5时,有﹣(5﹣h)2=﹣1,
解得:
h3=4(舍去),h4=6.
综上所述:
h的值为1或6.
故选:
B.
4.(2018•泸州)已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )
A.1或﹣2B.
或
C.
D.1
【分析】先求出二次函数的对称轴,再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,然后由﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,可得x=1时,y=9,即可求出a.
【解答】解:
∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),
∴对称轴是直线x=﹣
=﹣1,
∵当x≥2时,y随x的增大而增大,
∴a>0,
∵﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,
∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9,
∴3a2+3a﹣6=0,
∴a=1,或a=﹣2(不合题意舍去).
故选:
D.
5.(2018•滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案.
【解答】解:
①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,且开口向下,
∴x=1时,y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确;
②当x=﹣1时,a﹣b+c=0,故②错误;
③图象与x轴有2个交点,故b2﹣4ac>0,故③错误;
④∵图象的对称轴为x=1,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),
∴A(3,0),
故当y>0时,﹣1<x<3,故④正确.
故选:
B.
6.(2018•连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是( )
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项,将解析式配方成顶点式可判断D选项.
【解答】解:
A、当t=9时,h=136;当t=13时,h=144;所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同,此选项错误;
B、当t=24时h=1≠0,所以点火后24s火箭离地面的高度为1m,此选项错误;
C、当t=10时h=141m,此选项错误;
D、由h=﹣t2+24t+1=﹣(t﹣12)2+145知火箭升空的最大高度为145m,此选项正确;
故选:
D.
7.(2018•成都)关于二次函数y=2x2+4x﹣1,下列说法正确的是( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立,从而可以解答本题.
【解答】解:
∵y=2x2+4x﹣1=2(x+1)2﹣3,
∴当x=0时,y=﹣1,故选项A错误,
该函数的对称轴是直线x=﹣1,故选项B错误,
当x<﹣1时,y随x的增大而减小,故选项C错误,
当x=﹣1时,y取得最小值,此时y=﹣3,故选项D正确,
故选:
D.
8.(2018•凉州区)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:
①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0;当x=﹣1时,y=a﹣b+c;然后由图象确定当x取何值时,y>0.
【解答】解:
①∵对称轴在y轴右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0,故正确;
②∵对称轴x=﹣
=1,
∴2a+b=0;故正确;
③∵2a+b=0,
∴b=﹣2a,
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a﹣(﹣2a)+c=3a+c<0,故错误;
④根据图示知,当m=1时,有最大值;
当m≠1时,有am2+bm+c≤a+b+c,
所以a+b≥m(am+b)(m为实数).
故正确.
⑤如图,当﹣1<x<3时,y不只是大于0.
故错误.
故选:
A.
9.(2018•岳阳)抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标是( )
A.(﹣2,5)B.(﹣2,﹣5)C.(2,5)D.(2,﹣5)
【分析】根据二次函数的性质y=a(x+h)2+k的顶点坐标是(﹣h,k)即可求解.
【解答】解:
抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标为(2,5),
故选:
C.
10.(2018•宁波)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况,从而可以得到一次函数经过哪几个象限,本题得以解决.
【解答】解:
由二次函数的图象可知,
a<0,b<0,
当x=﹣1时,y=a﹣b<0,
∴y=(a﹣b)x+b的图象在第二、三、四象限,
故选:
D.
11.(2018•达州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.
下列结论:
①abc<0;②9a+3b+c>0;③若点M(
,y1),点N(
,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;④﹣
<a<﹣
.
其中正确结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
①由开口可知:
a<0,
∴对称轴x=
>0,
∴b>0,
由抛物线与y轴的交点可知:
c>0,
∴abc<0,故①错误;
②∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),
对称轴为x=2,
∴抛物线与x轴的另外一个交点为(5,0),
∴x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②正确;
③由于
<2
,
且(
,y2)关于直线x=2的对称点的坐标为(
,y2),
∵
,
∴y1<y2,故③正确,
④∵
=2,
∴b=﹣4a,
∵x=﹣1,y=0,
∴a﹣b+c=0,
∴c=﹣5a,
∵2<c<3,
∴2<﹣5a<3,
∴﹣
<a<﹣
,故④正确
故选:
C.
12.(2018•青岛)已知一次函数y=
x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限,即可得出
<0、c>0,由此即可得出:
二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣
>0,与y轴的交点在y轴负正半轴,再对照四个选项中的图象即可得出结论.
【解答】解:
观察函数图象可知:
<0、c>0,
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣
>0,与y轴的交点在y轴负正半轴.
故选:
A.
13.(2018•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③﹣3<a+b<3
其中,正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【分析】①由抛物线过点(﹣1,0),对称轴在y轴右侧,即可得出当x=1时y>0,结论①错误;
②过点(0,2)作x轴的平行线,由该直线与抛物线有两个交点,可得出方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,结论②正确;
③由当x=1时y>0,可得出a+b>﹣c,由抛物线与y轴交于点(0,3)可得出c=3,进而即可得出a+b>﹣3,由抛物线过点(﹣1,0)可得出a+b=2a+c,结合a<0、c=3可得出a+b<3,综上可得出﹣3<a+b<3,结论③正确.此题得解.
【解答】解:
①∵抛物线过点(﹣1,0),对称轴在y轴右侧,
∴当x=1时y>0,结论①错误;
②过点(0,2)作x轴的平行线,如图所示.
∵该直线与抛物线有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,结论②正确;
③∵当x=1时y=a+b+c>0,
∴a+b>﹣c.
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(0,3),
∴c=3,
∴a+b>﹣3.
∵当a=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∴a+b=2a+c.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴a+b<c=3,
∴﹣3<a+b<3,结论③正确.
故选:
C.
14.(2018•德州)如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.
【解答】解:
A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a<0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下,故选项错误;
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣
>0,故选项正确;
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣
>0,和x轴的正半轴相交,故选项错误;
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,故选项错误.
故选:
B.
15.(2018•威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,下列结论错误的是( )
A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>0
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
(A)由图象开口可知:
a<0
由对称轴可知:
>0,
∴b>0,
∴由抛物线与y轴的交点可知:
c>0,
∴abc<0,故A正确;
(B)由图象可知:
x=﹣1,y<0,
∴y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故B正确;
(C)由图象可知:
顶点的纵坐标大于2,
∴
>2,a<0,
∴4ac﹣b2<8a,
∴b2+8a>4ac,故C正确;
(D)对称轴x=
<1,a<0,
∴2a+b<0,故D错误;
故选:
D.
16.(2018•衡阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:
①3a+b<0;②﹣1≤a≤﹣
;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a,则3a+b=a,于是可对①进行判断;利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断;利用二次函数的性质可对③进行判断;根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断.
【解答】解:
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
而抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1,即b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,所以①正确;
∵2≤c≤3,
而c=﹣3a,
∴2≤﹣3a≤3,
∴﹣1≤a≤﹣
,所以②正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴x=1时,二次函数值有最大值n,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
即a+b≥am2+bm,所以③正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故选:
D.
17.(2018•枣庄)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )
A.b2<4acB.ac>0C.2a﹣b=0D.a﹣b+c=0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac>0可对A进行判断;由抛物线开口向上得a>0,由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c<0,则可对B进行判断;根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断;根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),所以a﹣b+c=0,则可对D选项进行判断.
【解答】解:
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;
∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴ac<0,所以B选项错误;
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,
∴﹣
=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;
∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,所以D选项正确;
故选:
D.
18.(2018•随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:
①2a+b+c>0;
②a﹣b+c<0;
③x(ax+b)≤a+b;
④a<﹣1.
其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,利用对称轴方程得到b=﹣2a,则2a+b+c=c>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣1,0)右侧,则当x=﹣1时,y<0,于是可对②进行判断;根据二次函数的性质得到x=1时,二次函数有最大值,则ax2+bx+c≤a+b+c,于是可对③进行判断;由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,利用函数图象得x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<﹣3+c,然后把b=﹣2a代入解a的不等式,则可对④进行判断.
【解答】解:
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c>0,所以①正确;
∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,
而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣1,0)右侧,
∴当x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,所以②正确;
∵x=1时,二次函数有最大值,
∴ax2+bx+c≤a+b+c,
∴ax2+bx≤a+b,所以③正确;
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,
∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,
即9a+3b+c<﹣3+c,
而b=﹣2a,
∴9a﹣6a<﹣3,解得a<﹣1,所以④正确.
故选:
A.
19.(2018•襄阳)已知二次函数y=x2﹣x+
m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( )
A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>2
【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:
∵二次函数y=x2﹣x+
m﹣1的图象与x轴有交点,
∴△=(﹣1)2﹣4×1×(
m﹣1)≥0,
解得:
m≤5,
故选:
A.
20.(2018•台湾)已知坐标平面上有一直线L,其方程式为y+2=0,且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A,B两点:
与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C,D两点,其中a、b为整数.若AB=2,CD=4.则a+b之值为何?
( )
A.1B.9C.16D.24
【分析】判断出A、C两点坐标,利用待定系数法求出a、b即可;
【解答】解:
如图,
由题意A(1,﹣2),C(2,﹣2),
分别代入y=3x2+a,y=﹣2x2+b可得a=﹣5,b=6,
∴a+b=1,
故选:
A.
21.(2018•绍兴)若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A.(﹣3,﹣6)B.(﹣3,0)C.(﹣3,﹣5)D.(﹣3,﹣1)
【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴,即可找出该抛物线的解析式,利用平移的“左加右减,上加下减”找出平移后新抛物线的解析式,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论.
【解答】解:
∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,
∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),
∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1.
将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣1﹣3=(x+1)2﹣4.
当x=﹣3时,y=(x+1)2﹣4=0,
∴得到的新抛物线过点(﹣3,0).
故选:
B.
22.(2018•安顺)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:
①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2,
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】①由抛物线的开口方向,抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号,即得abc的符号;
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可;
③分别比较当x=﹣2时、x=1时,y的取值,然后解不等式组可得6a+3c<0,即2a+c<0;又因为a<0,所以3a+c<0.故错误;
④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c<0,再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c>0,两个不等式相乘,根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后,得到(a+c)2<b2,
【解答】解:
①由开口向下,可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,然后由对称轴在y轴左侧,得到b与a同号,则可得b<0,abc>0,故①错误;
②由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故②正确;
③当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0
(1)
当x=1时,y<0,即a+b+c<0
(2)
(1)+
(2)×2得:
6a+3c<0,
即2a+c<0
又∵a<0,
∴a+(2a+c)=3a+c<0.
故③错误;
④∵x=1时,y=a+b+c<0,x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴(a+b+c)(a﹣b+c)<0,
即[(a+c)+b][(a+c)﹣b]=(a+c)2﹣b2<0,
∴(a+c)2<b2,
故④正确.
综上所述,正确的结论有2个.
故选:
B.
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- 关 键 词:
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